高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧思考

摘 要：不等式知識(shí)應(yīng)用范圍廣，涉及到的題型更是復(fù)雜多變，文章通過舉例詳細(xì)剖析了不等式的反證解題技巧、不等式的換元解題技巧、不等式的性質(zhì)解題技巧和線性規(guī)劃題的解題技巧等.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式;解題技巧

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）22-0046-03

不等式是用符號(hào)大于、小于、大于等于、小于等于等表示大小關(guān)系的一類式子.在高中數(shù)學(xué)中，涉及題型比較廣泛，包括選擇題、填空題與計(jì)算題等，假如學(xué)生沒有透徹理解不等式知識(shí)，難以熟練掌握解題技巧，他們就無(wú)法很好地解題.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視不等式解題技巧的思考，利用各種常見的題型組織學(xué)生進(jìn)行集中訓(xùn)練，使其結(jié)合具體題目使用相應(yīng)的技巧分析和解答，不斷提高他們的解題水平，反過來(lái)輔助對(duì)理論知識(shí)的深化理解.

1 不等式的反證解題技巧

不等式作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的一部分內(nèi)容，通常以各種題型出現(xiàn)在平常練習(xí)與考試當(dāng)中.解答有關(guān)不等式的題目時(shí)往往要用到各種技巧，其中反證方式應(yīng)用的較為廣泛，這是以正難則反為基礎(chǔ)形成的，在證明類的問題中使用有著不錯(cuò)的效果.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生在處理不等式證明類題目時(shí)采用反證法，使其將整個(gè)證明過程變得更為便捷與簡(jiǎn)單，將不等式證明問題的解答變得更為高效，幫助他們掌握不等式證明題的解題技巧[1].

例1 已知a＋b＋c＞0，ab+bc+ac>0，abc>0，請(qǐng)結(jié)合以上條件證明a＞0，b＞0，c＞0.

解析 根據(jù)題干中提供的條件abc＞0，能夠得出a，b，c均不可能是0，這里要用到反證的方式.

假設(shè)a＜0，則bc＜0，又因?yàn)閍＋b＋c＞0，所以b＋c＞-a，由此可以得到a（b＋c）＜0.

所以a（b＋c）＋bc＜0.

不過這一式子明顯同題干中提供的信息相沖突，所以說這個(gè)假設(shè)是無(wú)法成立的，也就是表明a＞0，b＞0，c＞0.

2 不等式的換元解題技巧

處理部分?jǐn)?shù)學(xué)問題時(shí)，把其中一個(gè)式子當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待，且運(yùn)用一個(gè)變量進(jìn)行替換，從而將問題變得更為簡(jiǎn)單，這就是常用的換元法，廣泛適用于方程、函數(shù)、不等式等解題實(shí)踐中，根本思想是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵在于構(gòu)建“元”與設(shè)置“元”.在高中數(shù)學(xué)不等式解題訓(xùn)練中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用換元解題技巧，把研究對(duì)象進(jìn)行變換，問題轉(zhuǎn)移至新對(duì)象上面，目的是讓非標(biāo)準(zhǔn)的問題變得標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單化，最終讓他們輕松解答不等式問題[2].

例2 已知a，b，c∈R+，請(qǐng)證明abc≥（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）.

解析

使用換元法假設(shè)x＝b＋c-a，y＝c＋a-b，z＝a＋b-c，這時(shí)可以轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明

（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

由于x＝b＋c-a，y＝c＋a-b，z＝a＋b-c，

則a＝12（y＋z），b＝12（x＋z），c＝12（x＋y）.

因?yàn)閍，b，c∈R+，所以當(dāng)xyz＜0時(shí)，可以得到（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

當(dāng)xyz＞0時(shí)，有x，y，z∈R+，假如x，y，z三者當(dāng)中有任意兩個(gè)比0小，那么c≤0與c＞0是相矛盾的，由此得到

x＋y≥2xy＞0，

y＋z≥2yz＞0，

x＋z≥2xz＞0.

則（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

然后把x，y，z代入到原式中可以得到

abc≥（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）.

3 用不等式性質(zhì)解題技巧

在高中數(shù)學(xué)不等式解題教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)的合理運(yùn)用，這是一項(xiàng)最基礎(chǔ)的解題方式與技巧，可以應(yīng)用至各種類型的不等式試題中，不少題目都要用到不等式的基本性質(zhì).如：不等式具有傳遞性，也就是如果a＞b，b＞c，則a＞c；不等式還有可加性特點(diǎn)，假如a＞b，就表明a＋c＞b＋c，c＞0時(shí)，ac＞bc.所以，學(xué)生可以利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解題，能夠快速找到解題的切入口，繼而提高他們解題的準(zhǔn)確率[3].

例3 平面上有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)圓都不相交于同一個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)證明n個(gè)圓將平面分成f（n）＝n2-n＋2個(gè)部分.

解析

（1）歸納法，當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓可以把平面分成兩個(gè)部分，即f（1）=12-1＋2＝2，故命題成立.

（2）假設(shè)n＝k，該命題成立，也就是說k個(gè)圓將平面分成f（k）＝k2-k＋2個(gè)部分，則設(shè)第k＋1個(gè)圓的圓心為O，根據(jù)題意可知它與k個(gè)圓中每個(gè)圓相交于兩個(gè)點(diǎn)，又無(wú)三個(gè)圓相交于同一點(diǎn)，那么與其它k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn)，以此結(jié)合題目中提供的條件有效證明出命題的結(jié)論，這是對(duì)不等式基本性質(zhì)的充分運(yùn)用.

4 線性規(guī)劃題的解題技巧

不等式與線性規(guī)劃結(jié)合到一起也是高中數(shù)學(xué)中一類比較常見的題目，與其它題型相比解題難度稍大，主要求解的是目標(biāo)最大值與最小值，但是學(xué)生在處理這類試題時(shí)十分容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師需給予格外關(guān)注，幫助他們掃除解題障礙，使其掌握相應(yīng)的解題技巧.具體來(lái)說，處理不等式與線性規(guī)劃結(jié)合類的題目時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)精準(zhǔn)掌握求解面積與定義域的相關(guān)知識(shí)，了解不等式性質(zhì)與線性規(guī)劃兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而幫助他們學(xué)會(huì)準(zhǔn)確解答此類試題[4-5].

例4 已知a＞0，參數(shù)x，y會(huì)滿足以下三個(gè)條件，x＋y≤3，x≥1，y≥a（x-3），如果z＝2x＋y的最小值為1，那么a的值是什么？

解析

可以根據(jù)題意畫出圖1所示的坐標(biāo)軸示意區(qū)，當(dāng)所求的目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A區(qū)域時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)是（1，-2a），然后把函數(shù)的目標(biāo)值代入就能求出

a＝12.

5 用數(shù)形結(jié)合解不等式題

數(shù)形結(jié)合指的是“數(shù)”與“形”之間的有機(jī)結(jié)合，這是數(shù)學(xué)思想方法中最為常用的一種，不僅可以用來(lái)解答不等式相關(guān)的試題，還能夠運(yùn)用至其它數(shù)學(xué)試題的解答中，與其它解題技巧相比，數(shù)形結(jié)合能夠?qū)㈩}目變得更為形象與直觀，有助于學(xué)生快速找到解題思路，讓他們高效解題.當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式類題目時(shí)，高中生要注重“以形助數(shù)”的應(yīng)用，將“數(shù)”由“形”的形式呈現(xiàn)出來(lái)，使其找到更簡(jiǎn)便的解題方法，鍛煉他們的解題技巧[6].

例5 已知關(guān)于x的不等式x2≤4-|2x＋m|，如果至少存在一個(gè)x≥0使得該不等式成立，那么m的取值范圍是什么？

解析 對(duì)原不等式進(jìn)行整理后得到|2x+m|≤-x2+4，將不等式的左右兩邊均看作成函數(shù)，即為y＝|2x+m|與y＝-x2+4，這里要從反面思考問題，即：如果對(duì)于任意的x≥0，均有|2x+m|＞-x2+4，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖2所示，根據(jù)圖片信息能發(fā)現(xiàn)當(dāng)m的值發(fā)生變化時(shí)，函數(shù)y＝|2x+m|的圖象將會(huì)沿著x軸進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，圖2中兩個(gè)臨界條件，分別對(duì)應(yīng)于m＞4，或者m＜-5，由此表明要想滿足題意m的取值范圍應(yīng)該是[-5，4].

6 不等式高次題解題技巧

在高中數(shù)學(xué)不等式相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中，高次不等式問題不僅屬于一項(xiàng)重要教學(xué)內(nèi)容，還是一大難點(diǎn)，處理此類不等式問題時(shí)，最經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方就是劃分區(qū)域時(shí)容易混亂，無(wú)法準(zhǔn)確判斷出特殊的區(qū)域或者特殊點(diǎn).對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合高次不等式開展專題訓(xùn)練，指引學(xué)生采用因式分解的方法進(jìn)行解題，借此把高次不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榈痛尾坏仁剑瑥?fù)雜問題作簡(jiǎn)化處理，將問題變得更為清晰明了，使其極易找到解題的切入點(diǎn)，繼而掌握解題技巧[7].

例6 求解不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0.

解析 結(jié)合題目中給出的三次不等式方式能夠畫出如圖3所示的圖象，第一步，畫出一個(gè)坐標(biāo)軸，在坐標(biāo)軸上面標(biāo)出1，2，3三個(gè)點(diǎn)的位置，由此將坐標(biāo)軸劃分為4個(gè)區(qū)間；第二步，把靠近右邊區(qū)間看作為正，其它的看作為正負(fù)相間，在各個(gè)區(qū)間內(nèi)標(biāo)出正負(fù)號(hào)；第三步，用“+”表示不等式大于0，用“-”表示不等式小于0，這樣能更為形象地觀察到不等式的區(qū)域，可明顯得出x的取值范圍是1＜x＜2或者x＞3.

圖3 不等式曲線圖使用“穿根法”進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)先畫出一個(gè)坐標(biāo)軸，再在坐標(biāo)軸上面繪制出不等式的情況，結(jié)合所畫坐標(biāo)軸及穿線順序判斷不等式的大小情況，這一解題技巧顯得簡(jiǎn)單、直觀，解題難度有所降低.

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，解題訓(xùn)練是相當(dāng)關(guān)鍵的構(gòu)成部分，是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問題的主要途徑與渠道，尤其是在不等式教學(xué)實(shí)踐中，教師要充分考慮到不等式知識(shí)的廣泛運(yùn)用，精心設(shè)計(jì)多種多樣的題型展開不等式解題訓(xùn)練，使其通過親身實(shí)踐掌握大量的不等式解題技巧，逐漸樹立起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，全面提升他們的數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 魯亞萍.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)不等式的解題思路研究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2022（17）：9-11.

[2] 李光星.基于高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧分析[J].數(shù)理化解題研究，2021（19）：16-17.

[3] 古智良.高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧分析[J].考試周刊，2021（52）：75-76.

[4] 陳大祥.淺析新課改下高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2021（12）：48-49.

[5] 黃細(xì)盈.高中數(shù)學(xué)不等式難點(diǎn)有效解題方法分析[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2021（02）：81.

[6] 祝永華.高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型解題技巧分析[J].中學(xué)教學(xué)參考，2020（35）：29-30.

[7] 丁曉軍.數(shù)學(xué)思想在高中不等式解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2020（30）：12-13.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡(jiǎn)介：沈子儒（1987.9-），男，安徽省亳州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.