四元數(shù)Lyapunov方程的酉結(jié)構(gòu)解及最佳逼近

黃敬頻,劉廣梅

(廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 南寧 530006)

0 引言

Lyapunov矩陣方程AX+XA*=C在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和最優(yōu)控制等領(lǐng)域有十分廣泛的應(yīng)用,對(duì)這類(lèi)矩陣方程的研究已有較多的成果[1-8],文獻(xiàn)[9]提出了四元數(shù)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一種新的算法,文獻(xiàn)[10-11]研究了四元數(shù)體上酉矩陣的反問(wèn)題和四元數(shù)矩陣方程的一元矩陣反問(wèn)題,但關(guān)于Lyapunov矩陣方程的酉結(jié)構(gòu)解目前未見(jiàn)相關(guān)的研究報(bào)道。酉矩陣是一類(lèi)重要的結(jié)構(gòu)矩陣,它在物理系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)扮演著重要的角色[12-13]。例如,光學(xué)衍射與傳輸過(guò)程可以通過(guò)酉矩陣進(jìn)行描述,光量子的糾纏與相互作用也可以通過(guò)酉矩陣來(lái)刻畫(huà)。目的是探討Lyapunov方程的酉結(jié)構(gòu)解及一類(lèi)最佳逼近問(wèn)題。

主要討論以下2個(gè)問(wèn)題:

問(wèn)題1給定2個(gè)四元數(shù)正規(guī)矩陣A,C∈Qn×n且AC=CA,求四元數(shù)酉矩陣X∈Un×n,使得

AX+XA*=C

(1)

(2)

1 問(wèn)題1的解

tr(AB)=tr(BA),tr(P-1AP)=tr(A)

一般不再成立,但有以下結(jié)果。

引理1[15]設(shè)A,B,P∈Qn×n且P可逆,則

(1) Re[tr(AB)]=Re[tr(BA)];

(2) Re[tr(P-1AP)]=Re[tr(A)]。

對(duì)于一般的四元數(shù)矩陣A∈Qn×n存在上三角Schur分解,而對(duì)角線上的元素正是A的右特征值[14]。進(jìn)一步,當(dāng)A是正規(guī)矩陣時(shí),總有下面的右特征值分解。

引理2[15](右特征值分解) 設(shè)A∈Qn×n是正規(guī)矩陣,rank(A)=r,則存在四元數(shù)酉矩陣U∈Un×n使得

A=Udiag(λ1,…,λr,0,…,0)U*

(3)

其中λ1,…,λr∈C是A的非零右特征值且|λ1|≥…≥|λr|>0,i=1,2,…,r。

引理3四元數(shù)酉矩陣的右特征值的?？偟扔?。

引理4設(shè)A,C∈Qn×n為四元數(shù)正規(guī)矩陣,則AC=CA成立的充要條件是A,C可同時(shí)酉對(duì)角化。

證明充分性。設(shè)rank(A)=r,若A,C可同時(shí)酉對(duì)角化,則存在U∈Un×n使得

(4)

其中

Σr=diag(λ1,…,λr)∈Cr×r,λi≠0,i=1,…,r

Δr=diag(β1,…,βr)∈Cr×r

Δn-r=diag(βr+1,…,βn)∈C(n-r)×(n-r)

由于兩對(duì)角矩陣可交換,從而由式(4)可知AC=CA。

必要性。由于A,C∈Qn×n為四元數(shù)正規(guī)矩陣,則存在U∈Un×n使得式(3)成立。設(shè)

(5)

其中λ1,λ2,…,λs為互不相同的復(fù)數(shù)(s≤n)且n1+n2+…+ns=n。由AC=CA知U*AU和U*CU可交換,于是有

U*CU=diag(C1,C2,…,Cs)

(6)

其中Ci(i=1,2,…,s)為正規(guī)矩陣,從而存在四元數(shù)酉矩陣V1,V2,…,Vs使得

(7)

均為復(fù)對(duì)角矩陣。因此取

V=diag(V1,V2,…,Vs)U

則V∈Un×n且V*AV和V*CV均為對(duì)角矩陣。證畢。

定理1給定A,C∈Qn×n,則問(wèn)題1存在酉結(jié)構(gòu)解的必要條件是

(8)

證明若問(wèn)題1有解,即存在X∈Un×n使得AX+XA*=C,根據(jù)Frobenius范數(shù)的三角不等式及酉乘積不變性可得

即不等式(8)成立。證畢。

定理2設(shè)X∈Un×n,A∈Qn×n是正規(guī)矩陣,rank(A)=r,A的右特征值分解如式(3),則有

(9)

且等號(hào)成立的充分必要條件是

(10)

其中Dr=diag(e-Iθ1, e-Iθ2,…, e-Iθr),θi是λi的輻角主值,G∈U(n-r)×(n-r)是任意的酉矩陣。

證明因?yàn)閄,U∈Un×n,可知U*XU∈Un×n,設(shè)

(11)

其中

X11=(xij)∈Qr×r,X21=(dij)∈Q(n-r)×r

因此有

于是

(12)

由此可得

(13)

其中λi=|λi|eIθi=|λi|(cosθi+Isinθi),由式(12)得,對(duì)任意的1≤i≤r有

(14)

因此有Re(xiieIθi)≤1,從而由式(13)和(14)可得

(15)

當(dāng)Re(xiieIθi)=1時(shí),式(15)等號(hào)成立,且有xii=e-Iθi(i=1,2,…,r),這時(shí)結(jié)合式(12)知

X11=diag(e-Iθ1, e-Iθ2,…, e-Iθr)

X21=0,X12=0,X22=G∈U(n-r)×(n-r)

再由式(11)可知X可表示為式(10)。于是式(9)等號(hào)成立的充分必要條件是式(10)成立。證畢。

根據(jù)定理2,可以推導(dǎo)出方程(1)存在酉結(jié)構(gòu)解的另一個(gè)必要條件:

推論1給定A,C∈Qn×n,A是正規(guī)矩陣,rank(A)=r,A的右特征值分解如式(3),則問(wèn)題1存在酉結(jié)構(gòu)解的必要條件是

(16)

證明若問(wèn)題1有解,即存在X∈Un×n使得AX+XA*=C,根據(jù)引理1可得

Re[tr(C)]=Re[tr(AX+XA*)]=

Re[tr(AX)]+Re[tr(XA*)]=

Re[tr(AX)]+Re[tr(A*X)]=

Re[tr(A+A*)X]

(17)

由于

因此根據(jù)定理2 中不等式(9)和式(17)可得

即不等式(16)成立。證畢。

為給出方程(1)存在酉結(jié)構(gòu)解的充要條件,對(duì)于分解式(4)中的U∈Un×n,記

(18)

于是有下列結(jié)果。

(19)

有解時(shí),其通解表達(dá)式為

(20)

其中

G∈U(n-r)×(n-r)是任意的四元數(shù)酉矩陣。

證明根據(jù)引理4知,存在U∈Un×n使得式(4)成立。因此方程(1)等價(jià)于

U*AUU*XU+U*XU(U*AU)*=U*CU

(21)

把式(4)和式(18)代入式(21)得

(22)

由式(22)可得

X12=0,X21=0,Δn-r=0

(23)

且

(24)

下面求解方程(24)。方程(24)等價(jià)于

(25)

(26)

(27)

根據(jù)式(23)知X12=0,X21=0,因此由式(18)可得

U*XU∈Un×n?X11∈Ur×r,X22∈U(n-r)×(n-r)

再由式(27)得

于是問(wèn)題1有解的充要條件是式(19)成立。有解時(shí),其通解表達(dá)式為式(20)。證畢。

2 問(wèn)題2的解

由問(wèn)題1的求解過(guò)程可知,在定理3的條件下,問(wèn)題1的解集S≠?。當(dāng)M∈Un×n是已知酉矩陣時(shí),對(duì)矩陣U*MU作如下分塊:

(28)

其中U由分解式(4)給出,且

M11∈Qr×r,M12∈Qr×(n-r)

M21∈Q(n-r)×r,M22∈Q(n-r)×(n-r)

設(shè)rank(M22)=k(0≤k≤n-r),并對(duì)M22作奇異值分解如下:

(29)

其中

T,W∈U(n-r)×(n-r)

Σk=diag(η1,η2,…,ηk)>0

下面給出問(wèn)題2的最佳逼近解。

定理4在定理3的條件下,設(shè)問(wèn)題1的解集為S,M∈Un×n是已知酉矩陣,對(duì)矩陣U*MU作分塊式(28),并對(duì)M22作奇異值分解(29),則問(wèn)題2的最佳逼近解存在,且有如下表達(dá)式:

(30)

其中U,Dr由式(20)給出,T,W∈U(n-r)×(n-r)由式(29)給出,Z∈U(n-r-k)×(n-r-k)是任意的。

證明當(dāng)X∈S時(shí),由通解表達(dá)式(20)和式(28),以及Frobenius范數(shù)酉乘積不變性得

(31)

其中G∈U(n-r)×(n-r)。因此由式(31)可知

(32)

又因?yàn)?/p>

(33)

所以由式(33)得

類(lèi)似于定理2的證明可得

Re[tr(M22G*)]=max

當(dāng)且僅當(dāng)

也就是

(34)

其中Ik是k階單位矩陣,Z∈U(n-r-k)×(n-r-k)。把式(34)代入式(20)即得問(wèn)題2的最佳逼近解為式(30)。證畢。

3 求解步驟

根據(jù)定理3和定理4的結(jié)果,給出問(wèn)題1和問(wèn)題2的求解步驟如下:

步驟1對(duì)給定的四元數(shù)正規(guī)矩陣A,C∈Qn×n,寫(xiě)出A,C的復(fù)分解,即

A=A1+A2j,C=C1+C2j,

A,A2,C1,C2∈Cn×n

步驟2檢驗(yàn)條件AC=CA是否成立。若成立,則進(jìn)行下一步。

步驟3對(duì)A,C進(jìn)行右特征值分解,從而得出分解式(4)。

步驟4檢驗(yàn)條件(19)是否成立。若成立,則進(jìn)行下一步。

步驟5按定理3的結(jié)果寫(xiě)出酉結(jié)構(gòu)矩陣(20),即得問(wèn)題1的一般酉結(jié)構(gòu)解X。

步驟6對(duì)矩陣U*MU作四分塊(28),并對(duì)M22作奇異值分解(29)。

最后進(jìn)行誤差檢驗(yàn)。定義問(wèn)題1的誤差值和問(wèn)題2的最佳逼近值如下:

當(dāng)Er(X)是一個(gè)充分小的數(shù)值時(shí),認(rèn)為所得的酉結(jié)構(gòu)解X是接近真值的。

4 數(shù)值例子

給定下列2個(gè)四元數(shù)矩A,C∈Q4×4:

1) 討論Lyapunov方程AX+XA*=C的酉結(jié)構(gòu)解是否存在。若存在,求其酉結(jié)構(gòu)解集S。

解1) 先寫(xiě)出A,C的復(fù)分解:

直接計(jì)算可知A,C是正規(guī)矩陣且滿足交換AC=CA。下面對(duì)四元數(shù)矩陣A,C同時(shí)作右特征值分解可得

其中

λ1=1+4i,λ2=2+i,λ3=0,λ4=0

β1=2i,β2=2.4+3.2i,β3=0,β4=0

且

根據(jù)A,C的右特征值分解式可知rank(A)= rank(C)=2并且

根據(jù)定理3可知,所給方程AX+XA*=C的酉結(jié)構(gòu)解存在,且其酉結(jié)構(gòu)解表達(dá)式為:

其中

diag(i,0.6+0.8i)∈U2×2

G∈U2×2是任意的四元數(shù)酉矩陣。經(jīng)計(jì)算得誤差值為:

2) 當(dāng)M=diag(1,i,j,k)∈U4×4時(shí),得

其中

根據(jù)定理4可得

于是由式(30)可知問(wèn)題2的最佳逼近解為:

經(jīng)計(jì)算可知最佳逼近值為:

5 結(jié)論

Lyapunov方程AX+XA*=C是一類(lèi)應(yīng)用廣泛的矩陣方程,在四元數(shù)體上討論它的酉結(jié)構(gòu)解及最佳逼近問(wèn)題。針對(duì)問(wèn)題1,分析了與A可交換的矩陣的特征結(jié)構(gòu)并利用四元數(shù)矩陣的右特征值分解,以及四元數(shù)矩陣Frobenius范數(shù)酉乘積不變性,得到了四元數(shù)Lyapunov方程存在酉結(jié)構(gòu)解的充要條件并給出一般解的表達(dá)式。針對(duì)問(wèn)題2,利用酉矩陣的性質(zhì)和矩陣的分塊方法,在問(wèn)題1酉結(jié)構(gòu)解集S≠?的前提下,獲得S與預(yù)先給定的四元數(shù)酉矩陣M有極小Frobenius范數(shù)的最佳逼近解。所得結(jié)果拓廣了Lyapunov方程在四元數(shù)體中的新類(lèi)型結(jié)構(gòu)解。