平面幾何常見極值問題的解法探究

黃發(fā)長

【摘 要】 ?在動態(tài)幾何題中，求滿足條件的某個幾何量在運動（變化）過程中達到最大（或?。┲档膯栴}，稱為幾何極值問題．這類題通常作為壓軸題出現(xiàn)在中考選擇題、填空題中．本文從三個“基本事實”出發(fā)，觀察、探究、歸納常見平面幾何極值問題的解法．

【關(guān)鍵詞】 ?幾何；極值；解題技巧

1 兩點之間，線段最短

這類題的解答關(guān)鍵點在于利用軸對稱構(gòu)建對稱點（有時只需在圖中尋找現(xiàn)成的點），把所求問題轉(zhuǎn)化為兩點之間距離大小的問題．“將軍飲馬問題”是此類題中最經(jīng)典的模型．

例1 ??如圖1，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM=2，N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值是 ????．

解析 ??本題解題關(guān)鍵點在于構(gòu)建點D（或M）關(guān)于直線AC的對稱點，相比較而言，構(gòu)建點D的對稱點（即為點B）更為容易．這樣連接MB，即可得最小值是10．

2 垂線段最短

2.1 直接考查

這里所說的“直接考查”是指要求的結(jié)論（即使存在轉(zhuǎn)化而間接求解），直接用到基本事實，是相對下述“2.2”復(fù)合考查而言的．

例2 ??如圖2，在四邊形ABCD中，點P是AB上一動點，點E、F分別在CD、PD上，且DE= 1 3 DP，DF= 1 3 DC，若 sin ∠CBA= 3 4 ，BC=8，則EF的最小值為 ????．

分析 ??易證△DEF∽△DPC，且相似比為 1 3 ，則當(dāng)PC最小時，EF取得最小值．顯然當(dāng) sin ∠CBA= 3 4 ，BC=8時， CP⊥BA是PC取最小值的前提．則易求得EF的最小值為2．

2.2 復(fù)合考查

所謂復(fù)合考查，指要求的結(jié)論在形式上不是一條“整”線段，而是幾部分的和．其解法通常是把結(jié)論中的部分整合為“整體”來求解．此類題型中典型的例子是“胡不歸模型”．

例3 ??如圖3，在△ABC中，AB=AC=10， tan A=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，那么：（1）AE= ；（2）CD+ ?5 ?5 BD的最小值是 ．

分析 ??（1）AE=2 5 ；

（2）解題時把“ ?5 ?5 BD”先轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，

不妨設(shè) ?5 ?5 BD=m，

則有 m BD = ?5 ?5 ，

而 ?5 ?5 = 2 5 ?10 = EA AB ，即有 m BD = EA AB ，

于是過點D作DP⊥AB（如圖4），則 ?5 ?5 BD=DP．

于是求“CD+ ?5 ?5 BD的最小值”便轉(zhuǎn)化為求“CD+DP的最小值”．

顯然當(dāng)三點C、D、P共線時，可滿足要求，過點C作直線AB的垂線CH，即最小值為CH的長．易求得最小值CH=4 5 ．

3 不是課本定理，卻也是“基本事實”

3.1 藏在圖形中卻顯而易見的極值問題

舉個例子來說明“顯而易見”，如在圓中最長的弦是直徑．解此類題，構(gòu)造與所求結(jié)論相關(guān)的直徑是解題關(guān)鍵．

例4 ??如圖5，AB是⊙O的弦，AB=5，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45 ° ，若點M、N分別是AB、AC的中點，則MN長的最大值是 ????．

分析 ??MN是△ABC的一條中位線，則要求MN長的最大值，可轉(zhuǎn)化為求弦BC長的最大值．顯然當(dāng)BC為直徑（易求直徑為5 2 ）時其長最大，所以MN長的最大值是 5 2 ?2 ．

3.2 與軌跡有關(guān)的極值問題

解決這類問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)動點的軌跡．當(dāng)軌跡與圓有關(guān)時，給定條件中往往會有直角，把直角當(dāng)作圓周角，直角頂點便“動”了起來（形成軌跡），接下來確定直角所對的直徑是解題關(guān)鍵．要注意的是，直徑有時是顯現(xiàn)的、有時是隱藏著的，這恰恰是難點所在．

例5 ??如圖６，在△ABC中，AB=5，AC=7，AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足為E，D為BC的中點，則DE= ????；若把條件“AE平分∠BAC”改為“AE為過點A的任意射線”，其他條件均不變，則DE的最大值= ?????．

分析 ??（1）延長BE交AC于點F，易有DE為△BFC的中位線，

則DE= 1 2 FC=1；

（2）求DE的最大值，突破口在先搞清點E的軌跡是什么.由于∠AEB為直角，聯(lián)想到圓．以AB為直徑的圓即為點E的軌跡．于是DE的最大值即為圖6中過圓心O的線段DE′=6．

例6 ??如圖7，在矩形ABCD中，AB =4，BC =3， E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿EA向點A運動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿FC向點C運動，連接PQ，過點B作BH⊥PQ于點H，連接DH．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的過程中，線段DH長度的最小值為 ．

分析 ??從圖上看直角∠BHP所對的斜邊BP長是變化的，本題直徑隱藏著．連接EF交PQ于點M（如圖8），易證△EMP∽△FMQ，且EM∶FM=2∶1，即PQ始終過點M，連接BM，BM即為“隱藏”的直徑．作⊙O，連接DO交⊙O于點H′，則DH′為線段DH長度變化過程中的最小值．由EM∶FM=2∶1可知EM=2，而BE=2，則BM=2 2 ，即半徑OB= 2 ，易得OD= 13 ，則DH′= 13 - 2 ．

4 結(jié)語

解答幾何極值問題，處理好解題與培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)系是關(guān)鍵．具體說，就是通過解題培養(yǎng)直觀想象、應(yīng)用意識等素養(yǎng)；反過來通過直觀想象區(qū)分條件特征，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)“基本事實”解答問題．