關(guān)于勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用探究

張浩

【摘? 要】? 勾股定理廣泛應(yīng)用于折疊問題中，求解時(shí)根據(jù)題干信息題理解折疊過程，提取或構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理來推導(dǎo)其中的線段長.本文結(jié)合實(shí)例探究三種類型問題，剖析解題過程，總結(jié)方法策略.

【關(guān)鍵詞】? 勾股定理；折疊；最值

折疊問題是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)問題，該類問題求解時(shí)需要理解折疊過程，利用折疊特性解析.同時(shí)勾股定理也常用于線段長推導(dǎo)中，思路構(gòu)建時(shí)，需要提取其中的直角三角形，再結(jié)合勾股定理來開展線段推導(dǎo)或構(gòu)建線段方程求解.下面結(jié)合實(shí)例探究，分情形進(jìn)行應(yīng)用探究.

類型一? 圖形翻折求最值

例1? 如圖1-（a），在邊長為4的菱形ABCD中，，M是AD邊上的一點(diǎn)，且，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿MN所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___________.

解析? 過點(diǎn)M作交CD延長線于點(diǎn)H，連接CM，

菱形ABCD中，，.

已知，

則AM=1，MD=3.

由于，

則，

可推知，

則，

所以，

.

在Rt△MCH中，由勾股定理可得.

由題干可知將沿MN所在直線翻折得到，

所以，

則點(diǎn)在以M為圓心，AM為半徑的圓上，

分析可知：當(dāng)點(diǎn)在線段MC上時(shí)，長度有最小值，

可求得最小值為.

評(píng)析? 上述為圖形折疊求線段最值問題，求解時(shí)提取其中的Rt△MCH，利用勾股定理求解線段MC.后續(xù)確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合圓性質(zhì)和共線定理求解.其中勾股定理應(yīng)用時(shí)，有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是作輔助線構(gòu)建直角三角形；二是確定線段對(duì)應(yīng)長度.

類型2? 雙折疊求面積

例2? 如圖2所示，將梯形ABCD（紙片）折疊，使點(diǎn)B與AD邊上的點(diǎn)G重合，直線AE為折痕；點(diǎn)C也與AD邊上的點(diǎn)G重合，直線DF為折痕.已知，，CF=4，則的面積是__________.

解析? 根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=GE，，

，，

所以，.

過G作于H，如圖2所示.

由于，

則是等腰直角三角形

，結(jié)合勾股定理可得.

由于，

則，

從而可求得的面積.

評(píng)析? 上述為雙折疊求面積問題，涉及兩個(gè)三角形折疊，需要分別理解其中的折疊過程，再結(jié)合特性求解.而使用勾股定理時(shí)，涉及了特殊情形，即對(duì)于等腰直角三角形，可靈活運(yùn)用勾股定理直接獲得線段關(guān)系，即三角形的腰長為斜邊的.

類型三? 折疊中的多情形討論

例3? 如圖3，將長為4，寬為3的矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E為CD三等分點(diǎn)時(shí)，MN的長為______.

解析? 如圖3所示，過點(diǎn)M作于H，

則四邊形ABHM，CDMH均為矩形，

設(shè)EF，BC交于T，

則.

由折疊的性質(zhì)可知，

.

情形1? 當(dāng)點(diǎn)E是CD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，

，.

設(shè)，

則.

在中，，

由勾股定理得，

則，解得，

所以，.

角度推導(dǎo)可得，

，

所以.

設(shè)，

則，

已知，，

則，則有，

所以，

可解得，則，，

由勾股定理可得；

情形2? 同理：可知當(dāng)E為CD靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，；

綜上所述，或.

評(píng)析? 上述為圖形折疊中的多情形討論問題，討論的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)E的位置分兩種情形.而在使用勾股定理時(shí)，需要注意兩點(diǎn)：一是根據(jù)矩形及折疊性質(zhì)提取其中的直角三角形；二是合理設(shè)定參數(shù)，結(jié)合勾股定理構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程.

結(jié)語

綜上可知，上述對(duì)勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用進(jìn)行了具體探究，分為了三種情形，涉及了折疊求最值、雙折疊求面積、折疊中的多情形討論.問題的綜合性較強(qiáng)，探究解析需要理解折疊過程，提取其中的直角三角形，靈活運(yùn)用勾股定理或變形式直接求線段或Q構(gòu)建關(guān)于線段參數(shù)方程.