基于混沌粒子群算法的壓電微納平臺(tái)遲滯模型參數(shù)辨別

趙一炘,須 穎,安 冬

(沈陽(yáng)建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110168)

0 引言

壓電陶瓷作為一種智能材料,經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展,已經(jīng)在工業(yè)制造上獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。目前,以壓電材料作為驅(qū)動(dòng)元件的微納定位平臺(tái)已經(jīng)在顯微鏡、納米制造系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用并取得了良好的效果[2]。我國(guó)目前在粗定位技術(shù)上已經(jīng)比較成熟,但是在精確定位技術(shù)上仍然還有許多不足。因此,對(duì)壓電微納平臺(tái)的深入研究,對(duì)我國(guó)精密運(yùn)動(dòng)控制以及精密儀器的工業(yè)制造具有重要意義。

壓電微納系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)設(shè)備是壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器,其優(yōu)勢(shì)在于輸出位移的高穩(wěn)定性以及良好的重復(fù)性,能適應(yīng)高納米級(jí)動(dòng)態(tài)分辨率的技術(shù)要求。然而,由于壓電陶瓷的材料特性,驅(qū)動(dòng)器的電壓輸入與位移輸出間存在明顯且較為復(fù)雜的遲滯非線性現(xiàn)象[3-4]。由于Bouc-Wen模型具有模擬各種遲滯行為的能力,被廣泛應(yīng)用于模擬具有遲滯特性的結(jié)構(gòu)材料與系統(tǒng)中[5-7]。

可由于實(shí)際的遲滯回線通常是不對(duì)稱(chēng)的,而標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen模型是近似中心對(duì)稱(chēng)模型,所以對(duì)遲滯曲線的描述并不完全準(zhǔn)確。為了解決這個(gè)問(wèn)題,文獻(xiàn)[8]提出了一種歸一化Bouc-Wen模型,利用對(duì)內(nèi)部的遲滯變量進(jìn)行歸一化處理去消除冗余參數(shù)。文獻(xiàn)[9]改變?cè)Ｐ偷膯巫兞啃问?提出了一種新的多變量滯后Bouc-Wen模型。雖然他們都對(duì)Bouc-Wen模型進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn),但仍然無(wú)法達(dá)到非常精確地對(duì)遲滯現(xiàn)象進(jìn)行描述。本文通過(guò)增加一個(gè)遲滯非線性項(xiàng),將原對(duì)稱(chēng)模型改為非對(duì)稱(chēng)模型,添加初值補(bǔ)償因數(shù),更加真實(shí)地對(duì)系統(tǒng)的初始情況進(jìn)行反映。改進(jìn)后的Bouc-Wen模型可更為準(zhǔn)確地描述壓電微納平臺(tái)的遲滯情況。

遲滯模型的精確程度決定了能否準(zhǔn)確地對(duì)遲滯現(xiàn)象進(jìn)行描述,遲滯模型的參數(shù)較多會(huì)使得辨識(shí)出來(lái)的參數(shù)精確度不高,所以要尋找簡(jiǎn)單有效的方法對(duì)遲滯模型的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別[10]。本文通過(guò)使用粒子群算法對(duì)改進(jìn)后的遲滯模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。但由于傳統(tǒng)粒子群算法,容易陷入局部極值。對(duì)多參數(shù)對(duì)象辨識(shí)時(shí),會(huì)出現(xiàn)效率低、模型準(zhǔn)確率差等問(wèn)題。為解決此問(wèn)題,本文引入混沌映射,選用Logistic混沌作為混沌粒子群優(yōu)化算法中的慣性權(quán)重,來(lái)增強(qiáng)粒子群的優(yōu)化能力,實(shí)現(xiàn)更為準(zhǔn)確的遲滯曲線擬合。

1 壓電微納平臺(tái)遲滯模型

1.1 平臺(tái)原理與遲滯機(jī)理

壓電微納平臺(tái)主要是由壓電驅(qū)動(dòng)器和機(jī)械結(jié)構(gòu)平臺(tái)兩部分構(gòu)成,主要利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)。當(dāng)電場(chǎng)作用于介質(zhì)極化方向時(shí),在一定的方向上會(huì)發(fā)生壓力或變形,外加電場(chǎng)消失時(shí)變形和應(yīng)力也會(huì)隨之恢復(fù),這一過(guò)程將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。壓電微納平臺(tái)能夠引起位移變化正是利用了壓電材料的逆壓電效應(yīng)。

在外加驅(qū)動(dòng)電壓的控制下,壓電陶瓷的位移輸出未達(dá)到理想的線性關(guān)系,表現(xiàn)為升壓階段與降壓階段曲線并不是斜率恒定的曲線,且輸入與輸出曲線不重合,存在明顯的位移差,這種現(xiàn)象就稱(chēng)為壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象。

1.2 Bouc-Wen遲滯模型

Bouc-Wen模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單,模型參數(shù)數(shù)量不多,當(dāng)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整時(shí)能夠得到各種遲滯環(huán)。這些遲滯環(huán)可以描述出大部分遲滯特性,因此在對(duì)遲滯特性進(jìn)行擬合時(shí)常選用Bouc-Wen模型。Bouc-Wen模型是一種典型的由微分方程式所建立,來(lái)表示輸出信號(hào)隨輸入信號(hào)的變化關(guān)系的模型。本文主要對(duì)Bouc-Wen模型進(jìn)行研究。具有遲滯特性的壓電陶瓷執(zhí)行器可以用Bouc-Wen模型[11]表示為

(1)

式(1)中,h表示Bouc-Wen遲滯模型的遲滯部分,參數(shù)k0和k1為權(quán)重系數(shù),A、B、C、n為Bouc-Wen遲滯模型的用于描述遲滯特性的參數(shù),t為時(shí)間,用微分方程來(lái)表征輸出位移y隨輸入電壓u的變化關(guān)系。

雖然傳統(tǒng)Bouc-Wen模型可詳細(xì)描述出對(duì)稱(chēng)的遲滯現(xiàn)象,但是實(shí)際的遲滯回線通常是不對(duì)稱(chēng)的。所以本文根據(jù)壓電微納定位平臺(tái)實(shí)際情況,對(duì)傳統(tǒng)的Bouc-Wen模型進(jìn)行改進(jìn)。

2 改進(jìn)Bouc-Wen遲滯模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 改進(jìn)Bouc-Wen遲滯模型

由于傳統(tǒng)Bouc-Wen模型是近似中心對(duì)稱(chēng)模型,而實(shí)際系統(tǒng)所形成的遲滯曲線通常是不對(duì)稱(chēng)的。并且傳統(tǒng)Bouc-Wen模型不能反映系統(tǒng)真實(shí)的初始情況,所以需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen模型進(jìn)行改進(jìn)。

改進(jìn)的方法是在標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上,首先增加一個(gè)遲滯非線性項(xiàng)φ,以便于將原對(duì)稱(chēng)模型改為非對(duì)稱(chēng)模型。然后增加一個(gè)初值補(bǔ)償因數(shù)d,更加真實(shí)地對(duì)系統(tǒng)的初始情況進(jìn)行反映。改進(jìn)的Bouc-Wen模型如下:

(2)

式(2)中,h表示Bouc-Wen模型改進(jìn)部分,遲滯特性參數(shù)分別為α、φ1、φ2、φ3、φ4,d為初值補(bǔ)償因數(shù)。

為了驗(yàn)證改進(jìn)Bouc-Wen模型可以有效地模擬壓電微納平臺(tái)遲滯回線情況,采用頻率為1 Hz的正弦波作為輸入,采用粒子群算法分別對(duì)傳統(tǒng)Bouc-Wen遲滯模型和改進(jìn)Bouc-Wen模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),得出電壓與位移曲線。圖1為標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen遲滯模型擬合情況,圖2為改進(jìn)Bouc-Wen遲滯模型擬合情況。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen遲滯模型擬合情況

圖2 改進(jìn)Bouc-Wen遲滯模型擬合情況

從圖1、圖2中可以看出標(biāo)準(zhǔn)Bouc-Wen遲滯模型可以基本描述壓電微納定位平臺(tái)的遲滯現(xiàn)象,但是擬合情況仍存有較大誤差。改進(jìn)后的Bouc-Wen遲滯模型則明顯可以更好地模擬真實(shí)遲滯曲線,說(shuō)明本文的改進(jìn)Bouc-Wen模型比原模型對(duì)遲滯情況的描述更為精準(zhǔn)。

2.2 粒子群算法

粒子群算法[12]是于1995年由計(jì)算機(jī)專(zhuān)家Ebberhar等提出的。粒子群算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單,不需要像遺傳算法一樣,對(duì)個(gè)體進(jìn)行交叉和變異等操作,運(yùn)算速度較快。粒子群算法是從隨機(jī)初始值出發(fā),經(jīng)過(guò)不斷搜索尋找最佳解。通過(guò)跟蹤當(dāng)前的局部最優(yōu)預(yù)測(cè)值來(lái)確定全局最優(yōu)解[13-14]。

基本的粒子群算法步驟如下:

1) 初始化粒子群:對(duì)粒子位置xi、速度vi、集群的大小N、最大迭代數(shù)G和學(xué)習(xí)因子c1、c2等粒子速度和位置進(jìn)行初始化;

2) 計(jì)算適應(yīng)度值:將每個(gè)粒子數(shù)據(jù)引入到Bouc-Wen模型中,經(jīng)過(guò)計(jì)算后獲得輸出值,將數(shù)據(jù)帶入到適應(yīng)度函數(shù)中,算出適應(yīng)度值;

3) 計(jì)算模型精度,判斷其是否滿(mǎn)足要求;

4) 對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行更新;

5) 步驟循環(huán):對(duì)上述步驟循環(huán),直至種群適應(yīng)度值滿(mǎn)足模型的精度要求,或者達(dá)到最大迭代數(shù),則退出循環(huán)。

在粒子群算法中,模型中粒子速度和位置如下:

(3)

式(3)中,pi是自身最佳的位置,p是整個(gè)種群的最佳位置,w為慣性權(quán)重,c1和c2為學(xué)習(xí)因子,r1和r2為[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),vi為粒子速度,xi為粒子位置,k為當(dāng)前迭代次數(shù),kmax為最大迭代次數(shù),wmax為迭代開(kāi)始時(shí)的慣性權(quán)重,wmin為迭代結(jié)束時(shí)的慣性權(quán)重。

2.3 混沌粒子群算法

粒子群算法在尋優(yōu)過(guò)程中,極易陷入局部極值。對(duì)多參數(shù)對(duì)象辨識(shí)時(shí),會(huì)出現(xiàn)效率低、模型準(zhǔn)確率差等問(wèn)題。其主要原因是基礎(chǔ)的粒子群算法中的慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子都是常量,不具有動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)能力,無(wú)法隨著迭代的進(jìn)行而進(jìn)行實(shí)時(shí)改變,從而導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu)。為解決上述問(wèn)題,本文通過(guò)利用混沌映射[15-16]的遍歷性和隨機(jī)性,實(shí)現(xiàn)粒子群算法的局部深搜索,增強(qiáng)其局部尋優(yōu)能力。本文利用混沌粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行模型的參數(shù)辨別,選用Logistic混沌作為混沌粒子群優(yōu)化算法中的慣性權(quán)重,來(lái)增強(qiáng)粒子群的優(yōu)化能力。

Logistic混沌映射[17]的非線性方程如下:

(4)

式(4)中,μ表示控制參數(shù)。μ為4時(shí),Logistic混沌在[0,1]內(nèi)隨機(jī)分布。

2.4 改進(jìn)Bouc-Wen遲滯模型的參數(shù)辨識(shí)方法

為了獲取壓電微納平臺(tái)遲滯回線,采用理想位移是幅值為10 V,頻率為1 Hz的正弦信號(hào)激勵(lì)壓電微納平臺(tái),得到壓電微納平臺(tái)的各種數(shù)據(jù)并將其保存。獲得數(shù)據(jù)后,接下來(lái)通過(guò)混沌粒子群算法對(duì)改進(jìn)Bouc-Wen模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。參數(shù)辨別流程如圖3所示。

圖3 參數(shù)辨別流程圖

混沌粒子群算法步驟如下:

1) 初始化粒子群:對(duì)粒子位置xi、速度vi、集群的大小N、最大迭代數(shù)G和學(xué)習(xí)因子c1、c2等粒子速度和位置進(jìn)行初始化。

2) 計(jì)算適應(yīng)度值:本文的適應(yīng)度函數(shù)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與改進(jìn)Bouc-Wen模型的建模數(shù)據(jù)來(lái)建立,公式為

(5)

3) 位置、速度更新:引入混沌粒子后0更新位置及速度為

(6)

式(6)中,μ表示控制參數(shù),xi為粒子位置,k為迭代次數(shù),vi為粒子速度,w為慣性權(quán)重,c1和c2為學(xué)習(xí)因子,r1和r2為[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),pi是自身最佳的位置,pg是整個(gè)種群的最佳位置。

4) 計(jì)算粒子更新后適應(yīng)度:將更新后參數(shù)代入適應(yīng)度函數(shù)中進(jìn)行計(jì)算。

5) 步驟循環(huán):判斷是否滿(mǎn)足迭代次數(shù)要求,未滿(mǎn)足繼續(xù)循環(huán),滿(mǎn)足要求則跳出循環(huán)。

最后將所有辨識(shí)出來(lái)的參數(shù)帶入到改進(jìn)Bouc-Wen模型中得到遲滯曲線,將其與實(shí)際測(cè)量出來(lái)的壓電微納平臺(tái)的遲滯曲線進(jìn)行比較。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

為了驗(yàn)證混沌粒子群對(duì)改進(jìn)Bouc-Wen模型參數(shù)辨識(shí)的有效性,建立了壓電微納平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要由德國(guó)PI公司生產(chǎn)的P563.3CD型壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器PEA、壓電放大器E-725、PEA內(nèi)置電容式位移傳感器和由Matlab的仿真系統(tǒng)組成。利用參考位移yd信號(hào)頻率為1 Hz位移區(qū)域?yàn)椤?0的正弦波和方波來(lái)完成實(shí)驗(yàn)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

改進(jìn)的Bouc-Wen模型分別有權(quán)重系數(shù)k0和k1,遲滯性參數(shù)α、φ1、φ2、φ3、φ4以及初值補(bǔ)償系數(shù)d。為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)粒子群算法的不足,使用混沌粒子群對(duì)改進(jìn)的Bouc-Wen模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

以頻率為1 Hz的正弦波和三角波為輸入,使用最小二乘法(LS)、遺傳算法(GA)粒子群(PSO)與混沌粒子群優(yōu)化算法(CPSO)對(duì)改進(jìn)Bouc-Wen模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。正弦波輸出位移滯后曲線和位移誤差圖如圖4、圖5所示,三角波輸出位移滯后曲線和位移誤差圖如圖6、圖7所示,正弦波適應(yīng)度曲線如圖8所示。

圖4 正弦波輸出位移滯后曲線圖

圖5 正弦波誤差對(duì)比圖

圖6 三角波輸出位移滯后曲線圖

圖7 三角波誤差對(duì)比圖

圖8 正弦波適應(yīng)度曲線圖

從圖4和圖6中可以看出,最小二乘法獲得參數(shù)的擬合圖偏差最大,遺傳算法和粒子群算法辨識(shí)參數(shù)要優(yōu)于最小二乘法。而混沌粒子群相較于其他三種算法辨識(shí)參數(shù)額數(shù)據(jù)擬合精度有較大提高。而圖5和圖7中顯示的誤差對(duì)比圖也說(shuō)明了混沌粒子群參數(shù)辨識(shí)的有效性。同時(shí)從圖8可以看出,混沌粒子群算法在10代左右就達(dá)到了收斂,而粒子群算法在40代后才開(kāi)始收斂,遺傳算法在100代都沒(méi)有到達(dá)收斂。而且混沌粒子群優(yōu)化的平均誤差和均方根誤差都要小于其他算法,因此可說(shuō)明混沌粒子群算法更加適用于改進(jìn)Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識(shí)。

表1所示為混沌粒子群算法辨識(shí)出的改進(jìn)Bouc-Wen模型輸如頻率為1 Hz的正弦波與三角波參數(shù)。

表1 CPSO識(shí)別改進(jìn)Bouc-Wen模型參數(shù)

表2所示為各種算法辨識(shí)參數(shù)優(yōu)化下正弦波與三角波的辨識(shí)誤差。為了判斷數(shù)據(jù)的整體準(zhǔn)確性和數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精密度,本文使用平均誤差和均方根誤差來(lái)確認(rèn)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。其中,平均誤差表示所有值的隨機(jī)誤差的算數(shù)平均值,可以顯示整體數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,而均方根誤差對(duì)數(shù)據(jù)中特大和特小誤差反應(yīng)非常靈敏,所以,均方根誤差能更好地反映出數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的精密度。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明,混沌粒子群能夠更加準(zhǔn)確地對(duì)改進(jìn)Bouc-Wen模型的遲滯現(xiàn)象進(jìn)行描述。

表2 辨識(shí)誤差

由表1和表2可知,本文使用的CPSO算法在優(yōu)化結(jié)果上均優(yōu)于其他三種對(duì)比算法,在平均誤差和和均方根誤差都小于其他算法優(yōu)化結(jié)果。綜合來(lái)看本文算法在微納米平臺(tái)遲滯研究中參數(shù)辨識(shí)結(jié)果最優(yōu),進(jìn)一步分析得出

1) 本文所使用混沌粒子優(yōu)化群算法在10代左右達(dá)到收斂,而其他算法達(dá)到收斂的迭代次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于混沌粒子群算法,說(shuō)明本文引入混沌因子方法可有效避免模型出現(xiàn)局部極值問(wèn)題,具有更快的收斂速度和更好的辨識(shí)精度。

2) 粒子群算法相比最小二乘法和遺傳算法無(wú)論正弦波還是三角波誤差都有較大程度降低。以正弦波為例,平均誤差降低了0.061 μm和0.016 7 μm,均方根誤差降低了0.068 2 μm和0.015 4 μm。說(shuō)明選用粒子群算法為基礎(chǔ)算法對(duì)改進(jìn)Bouc-Wen模型進(jìn)行參數(shù)辨別更為有效。

3) 本文所使用混沌粒子優(yōu)化群算法比未進(jìn)行改進(jìn)的粒子群算法對(duì)實(shí)際遲滯曲線描述誤差更小。以正弦波為例,平均誤差降低了0.022 2 μm,均方根誤差降低了0.024 6 μm。說(shuō)明引入混沌因子后,模型學(xué)習(xí)因子具有動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)能力,增強(qiáng)了模型局部尋優(yōu)能力,提升了計(jì)算精度。

4 結(jié)論

由于傳統(tǒng)Bouc-Wen模型無(wú)法準(zhǔn)確描述壓電微納平臺(tái)的遲滯現(xiàn)象,本文通過(guò)引入遲滯因子對(duì)傳統(tǒng)Bouc-Wen模型進(jìn)行改進(jìn),使用粒子群算法對(duì)其進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),證明改進(jìn)模型與真實(shí)遲滯曲線擬合情況更好。針對(duì)改進(jìn)Bouc-Wen模型參數(shù)多、難以辨識(shí)的特點(diǎn),使用了混沌粒子群優(yōu)化算法對(duì)慣性權(quán)重、個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行改進(jìn),以此改善算法的收斂速度和整體優(yōu)化能力。