這兩道題很難嗎

雷添淇

2023年中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用科普活動將于9月初接受注冊申請，全國科普日期間正式啟動，12月初進(jìn)行創(chuàng)新探索體驗(yàn)挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，2024年5月科技周期間進(jìn)行能力拓展競技展示環(huán)節(jié).

本期兩道試題來源于2021年中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用科普活動，由全國青少年數(shù)學(xué)創(chuàng)新系列活動組織委員會提供.

真題呈現(xiàn)

試題1 如圖1，已知[2∠1+∠2=113°]，[∠1+2∠6=145°]，[2∠2+∠3=111°]，[2∠3+∠4=153°]，[2∠4+∠5=107°]，[2∠5+∠6=109°]，則[α+β+γ+η=]_____________．

試題2 請你任意想出一個四位數(shù)（4個數(shù)字不可以全都相同），進(jìn)行如下操作：將四位數(shù)的4個數(shù)字重新組合成可能的最大數(shù)和最小數(shù)，再將最大數(shù)與最小數(shù)作差，得到一個新四位數(shù)（若不足四位時，則首位用0補(bǔ)齊）；再對新的四位數(shù)重復(fù)上述同樣操作……周而復(fù)始，則經(jīng)過2021次操作后，得到的數(shù)字是_____________．

精講精析

試題1 觀察發(fā)現(xiàn)每個方程都是以兩個角為變量，角標(biāo)號小的前面的系數(shù)為2，角標(biāo)號大的前面的系數(shù)為1（可以想象成[∠7] = [∠1]）.

[2∠1+∠2=113°]①；[∠1+2∠6=145°]②，

[2∠2+∠3=111°]③，[2∠3+∠4=153°]④，

[2∠4+∠5=107°]⑤，[2∠5+∠6=109°]⑥，

由① + ② + ③ + ④ + ⑤ + ⑥，

得3（[∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6]） [=738°]，

記[i=16∠i=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6]，其中[∑]是西格瑪求和符號，

進(jìn)而[i=16∠i=] 246°.

連接AC，CE，F(xiàn)H，HJ，

由三角形的內(nèi)角和為180°，考慮△ABC、△CDE、△FGH、△HIJ，

則有[i=714∠i+α+β+γ+η=720°]⑦，

連接CH，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，考慮四邊形ACHJ和四邊形CEFH有[i=114∠i=360°×2=720°]⑧，

由⑦和⑧可得[i=714∠i+α+β+γ+η=i=114∠i]，則[α+β+γ+η=i=16∠i=246°].

故應(yīng)填246°.

試題2 此題設(shè)計背景為“數(shù)字黑洞”. 題目中說任意一個四位數(shù)（4個數(shù)字不可以全相同），這樣的四位數(shù)有很多個（990個，想想為什么，如何計算），然后還要2021次操作！對1個四位數(shù)操作兩千多次就已經(jīng)很麻煩了（猜想有限的幾次操作后應(yīng)該會有規(guī)律呈現(xiàn)出來），難道我們需要將這990個數(shù)都一遍一遍地操作下來嗎？ 當(dāng)然不需要！這里可以運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，隨便舉一兩個滿足條件的四位數(shù)試試看.

現(xiàn)以1234為例，進(jìn)行題目中的操作，步驟如下：

1234對應(yīng)4321和1234，則4321 - 1234 = 3087；

3087對應(yīng)8730和0378，則8730 - 378 = 8352；

8352對應(yīng)8532和2358，則8532 - 2358 = 6174；

6174對應(yīng)7641和1467，則7641 - 1467 = 6174.

再往后一直是6174，就如同一個“黑洞”，一旦陷入便無法脫身.

若你不敢確定答案，就再隨便找個滿足條件的四位數(shù)，如2323，操作步驟如下：

2323對應(yīng)3322和2233，則3322 - 2233 = 1089；

1089對應(yīng)9810和0189，則9810 - 0189 = 9621；

9621對應(yīng)9621和1269，則9621 - 1269 = 8352；

8352對應(yīng)8532和2358，則8532 - 2358 = 6174. 仍然掉進(jìn)6174這個“數(shù)字黑洞”.

因此猜想：對任意滿足條件的四位數(shù)，經(jīng)過有限次（遠(yuǎn)少于2021）操作都會掉進(jìn)6174這個“數(shù)字黑洞”. 故應(yīng)填6174.

感興趣的同學(xué)可以嘗試證明上面的猜測，或查閱了解更多有關(guān)“數(shù)字黑洞”的內(nèi)容.數(shù)學(xué)中還有更多有趣好玩的奧妙等待同學(xué)們?nèi)チ私?、去探索、去發(fā)現(xiàn)……

〔作者單位：世界創(chuàng)新（遼寧）教育科技中心〕