環(huán)形牙滾柱絲杠?chē)Ш蠙C(jī)理研究

付曉軍, 李欣, 馬尚君, 佟瑞庭, 劉更

(西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

環(huán)形牙滾柱絲杠(ring-shaped roller screw mechanism,RRSM)是一種通過(guò)具有環(huán)形凸牙的滾柱與具有環(huán)形凹牙的螺母和多頭絲杠?chē)Ш蠈⑿D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的螺旋傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。由于采用滾柱作為絲杠和螺母的傳力零件,RRSM具有與行星滾柱絲杠相同的高承載、長(zhǎng)壽命和高精度優(yōu)點(diǎn)。此外,因?yàn)椴捎铆h(huán)形牙結(jié)構(gòu),保證了滾柱相對(duì)螺母無(wú)軸向運(yùn)動(dòng),且滾柱直徑無(wú)需隨著絲杠直徑的增加而增加。因此,在重載工況下,RRSM與行星滾柱絲杠相比具有更小的徑向尺寸與質(zhì)量。RRSM在重型車(chē)輛、大型船舶、海洋裝備和冶金機(jī)械等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。

現(xiàn)有研究多以行星滾柱絲杠為對(duì)象進(jìn)行,主要集中于承載特性[1-2]、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[3-4]、動(dòng)力學(xué)分析[5-6]和摩擦潤(rùn)滑[7]等。在嚙合機(jī)理研究方面,Blinov等[8]通過(guò)在絲杠和滾柱以及螺母和滾柱軸向重疊區(qū)域中劃分多個(gè)網(wǎng)格,將曲面嚙合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算大量網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處軸向距離的數(shù)值問(wèn)題,討論了滾柱名義半徑增加對(duì)接觸位置和軸向間隙的影響規(guī)律。Jones等[9]利用螺旋曲線(xiàn)的Frenet坐標(biāo)系推導(dǎo)了計(jì)算絲杠、滾柱和螺母之間接觸位置的嚙合方程,并分析了螺紋牙型參數(shù)對(duì)接觸特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明,增加滾柱牙型輪廓半徑能夠有效提高行星滾柱絲杠的接觸強(qiáng)度。使用中徑螺旋升角代替接觸點(diǎn)處螺旋升角,Liu等[10-11]給出了計(jì)算接觸位置的嚙合方程,并對(duì)比了滾柱牙型輪廓曲線(xiàn)分別為圓弧、橢圓和拋物線(xiàn)時(shí)行星滾柱絲杠的接觸位置。徐強(qiáng)等[12]根據(jù)嚙合區(qū)域的空間幾何關(guān)系,建立了差動(dòng)式行星滾柱絲杠的空間嚙合模型。Fu等[13]基于絲杠、滾柱和螺母的螺旋曲面方程,推導(dǎo)了能夠考慮制造和裝配誤差的行星滾柱絲杠?chē)Ш戏匠?并分析了零件偏斜對(duì)接觸位置和間隙的影響規(guī)律。劉佳等[14]采用類(lèi)似Blinov模型[8]的數(shù)值方法計(jì)算了行星滾柱絲杠螺紋牙的接觸位置和在接觸區(qū)域附近的間隙變化。Xing等[15]利用螺紋螺旋曲面方程計(jì)算了絲杠和滾柱以及螺母和滾柱接觸位置,并研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)行星滾柱絲杠磨損特性的影響。上述數(shù)值模型計(jì)算效率低,解析模型中的嚙合方程僅適用于特定結(jié)構(gòu)滾柱絲杠的嚙合特性分析,缺乏面向RRSM結(jié)構(gòu)和嚙合特點(diǎn)的嚙合機(jī)理研究。然而,通過(guò)嚙合機(jī)理研究所獲得RRSM接觸位置和間隙計(jì)算結(jié)果,是進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配設(shè)計(jì)、強(qiáng)度剛度計(jì)算、運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)分析和壽命預(yù)估的基礎(chǔ)。

本文根據(jù)RRSM的結(jié)構(gòu)和嚙合特點(diǎn),建立絲杠、滾柱和螺母的螺旋曲面方程。推導(dǎo)了用于計(jì)算絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間接觸位置的嚙合方程。根據(jù)嚙合方程,提出了保證RRSM正確嚙合的結(jié)構(gòu)參數(shù)約束條件。給出RRSM軸向間隙以及零間隙牙厚設(shè)計(jì)量的計(jì)算公式。對(duì)比了本文解析公式和現(xiàn)有數(shù)值模型的接觸位置和軸向間隙計(jì)算結(jié)果。分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)RRSM嚙合特性的影響規(guī)律。

1 結(jié)構(gòu)組成和曲面方程

1.1 結(jié)構(gòu)組成

RRSM的結(jié)構(gòu)組成如圖1所示,主要由外環(huán)形滾柱(見(jiàn)圖2a))、內(nèi)環(huán)形螺母(見(jiàn)圖2b))、多頭螺紋絲杠、內(nèi)齒圈和保持架組成。多個(gè)滾柱被保持架分隔,且均勻分布在絲杠周?chē)?。滾柱環(huán)形凸牙同時(shí)與絲杠螺紋和螺母環(huán)形凹牙相嚙合。當(dāng)絲杠旋轉(zhuǎn)時(shí),滾柱在螺母內(nèi)部做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng);絲杠螺旋曲面與滾柱環(huán)形曲面相嚙合,驅(qū)動(dòng)滾柱和螺母沿軸向移動(dòng)。

圖1 環(huán)形牙滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)組成

圖2 環(huán)形牙結(jié)構(gòu)

RRSM取消了滾柱和螺母的螺紋結(jié)構(gòu),所以滾柱始終和螺母無(wú)相對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)。因此,螺母名義半徑rN和滾柱名義半徑rq之間無(wú)需滿(mǎn)足rN=nSrq的比例關(guān)系約束,其中nS為絲杠頭數(shù)。同時(shí),絲杠名義半徑rS和滾柱名義半徑rq之間也無(wú)需滿(mǎn)足rq=rS/(nS-2)的比例關(guān)系約束。因此,在RRSM中,滾柱名義半徑可遠(yuǎn)小于絲杠名義半徑,從而能夠極大地縮小整個(gè)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的徑向尺寸并減輕其質(zhì)量。為了描述絲杠、滾柱和螺母之間的相對(duì)位置,建立如圖1所示的固定坐標(biāo)系O-XYZ。Z軸與絲杠軸線(xiàn)重合,X軸與滾柱#q的軸線(xiàn)相交,q=1,2,…,nroller,nroller表示滾柱的數(shù)量。螺母為如圖2b)所示的環(huán)形凹牙結(jié)構(gòu),磨削時(shí)無(wú)需考慮砂輪軸傾斜角問(wèn)題。螺母磨削難度不隨絲杠螺紋頭數(shù)的增加而增加。

圖3a)～3b)分別給出了RRSM在絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間通過(guò)接觸點(diǎn)的剖面。ΠSU和ΠSB表示絲杠螺紋的上下螺旋曲面;ΠqU和ΠqB分別表示滾柱環(huán)形牙的上下曲面;ΠNU和ΠNB分別表示螺母環(huán)形牙的上下曲面。如圖3a)所示,絲杠與滾柱接觸點(diǎn)將偏離兩者軸線(xiàn)所形成的平面。如圖3b)所示,螺母與滾柱接觸點(diǎn)位于兩者軸線(xiàn)所形成的平面內(nèi)。依據(jù)受力方向的不同,螺母所受的外部負(fù)載能夠通過(guò)ΠNU→ΠqB→ΠqU→ΠSB或者ΠNB→ΠqU→ΠqS→ΠSU路徑傳遞給絲杠。

圖3 絲杠和滾柱以及螺母和滾柱的接觸點(diǎn)剖面

1.2 曲面方程

絲杠、滾柱和螺母的軸截面分別如圖4a)～4c)所示。oi-xiyizi為零件坐標(biāo)系,i=S,N,q表示絲杠、螺母或滾柱#q。ri,ci和βi(i=S,N,q)分別表示零件的名義半徑、半牙厚和牙側(cè)角。P表示絲杠螺距或滾柱和螺母的環(huán)形牙牙距。設(shè)圖4a)中xS軸與絲杠第1條螺紋相交,則絲杠第j條螺紋在坐標(biāo)系oS-xSySzS中的螺旋曲面方程為

圖4 絲杠、滾柱和螺母的軸截面

(1)

式中,j=1, 2,…,nS,nS為絲杠頭數(shù);uS和θS為曲面坐標(biāo);ξS=1或-1分別表示曲面ΠSU或ΠSB;?j為第j條螺紋的相位角

(2)

圖4b)中,kq表示第kq個(gè)滾柱環(huán)形牙,kq=1,2,…,nT,nT為環(huán)形牙數(shù)量。rTq為牙型圓弧半徑。設(shè)xq軸穿過(guò)第1個(gè)滾柱環(huán)形牙的中心,則滾柱#q的第kq個(gè)環(huán)形牙在坐標(biāo)系oq-xqyqzq中的曲面方程為

(3)

式中:uq和θq為曲面坐標(biāo);ξq=1或-1分別表示曲面ΠqU或ΠqB,uTq和wTq分別表示為

圖4c)中,kN表示第kN個(gè)螺母環(huán)形牙,kN=1,2,…,nT,nT為環(huán)形牙數(shù)量。螺母環(huán)形牙在坐標(biāo)系oN-xNyNzN中的曲面方程為

(6)

式中:uN和θN為曲面坐標(biāo);ξN=1或-1分別表示曲面ΠNU或ΠNB。

絲杠、螺母和滾柱零件坐標(biāo)系oi-xiyizi(i=S,N,q)在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置如圖5所示。零件坐標(biāo)系oi-xiyizi向固定坐標(biāo)系O-XYZ的變換矩陣為

(7)

式中

(8)

(9)

式中,ψq為滾柱#q的相位角。

(10)

由(1)、(3)、(6)和(7)式可知,絲杠,螺母和滾柱曲面方程在固定坐標(biāo)系O-XYZ可分別表示為

2 嚙合方程

絲杠和滾柱之間接觸點(diǎn)在XOY平面內(nèi)的投影點(diǎn)OSq如圖6所示。rSq和rRsq分別表示絲杠和滾柱的嚙合半徑;φSq和φRsq分別表示絲杠和滾柱的嚙合偏角。由(11)式和圖6可得,絲杠接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置向量可表示為

圖6 絲杠和滾柱之間的接觸位置

(14)

式中:zSq為絲杠接觸點(diǎn)的Z軸坐標(biāo)值;ζSq為絲杠接觸點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的相位角

ζSq=φSq+?j-ψq

(15)

假設(shè)滾柱沿Z軸移動(dòng)δSq距離后,絲杠和滾柱相接觸。由(13)式和圖6可得,滾柱的絲杠側(cè)接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置向量為

(16)

式中,zRsq為滾柱未移動(dòng)前所對(duì)應(yīng)的接觸點(diǎn)Z坐標(biāo)值。當(dāng)ξS=1時(shí),表示絲杠上曲面ΠSU和滾柱下曲面ΠqB相接觸;當(dāng)ξS=-1時(shí),表示絲杠下曲面ΠSB和滾柱上曲面ΠqU相接觸。

由(11)式和(14)式可得,絲杠曲面在接觸點(diǎn)處的外法線(xiàn)向量為

(17)

式中

(18)

由(13)和(16)式可得,滾柱曲面在接觸點(diǎn)處的外法線(xiàn)向量為

(19)

式中

(20)

由曲面相切接觸條件可知,絲杠和滾柱在接觸點(diǎn)處具有相同的位置向量且外法線(xiàn)向量共線(xiàn)。由(14)～(19)式可得,絲杠和滾柱的嚙合方程為

(21)

求解(21)式能夠獲得絲杠和滾柱#q(q=1,2,…,nroller)的嚙合半徑和嚙合偏角。

為了保證RRSM的正確嚙合條件,各個(gè)滾柱應(yīng)具有相同的嚙合偏角和嚙合半徑,即

(22)

將(22)式代入(21)式中可得

?j-ψq=0

(23)

將(2)式和(10)式代入(23)式中可得

nS=nroller

(24)

由(14)、(16)和(23)式可得,絲杠和滾柱之間的間隙量為

螺母和滾柱之間接觸點(diǎn)在XOY平面內(nèi)的投影點(diǎn)ONq如圖7所示。rNq和rRnq分別表示螺母和滾柱的嚙合半徑;φNq和φRnq分別表示螺母和滾柱的嚙合偏角。

采用推導(dǎo)絲杠和滾柱嚙合方程相同的方法,可得滾柱和螺母之間的嚙合方程為

(27)

式中

(28)

求解(27)式能夠獲得螺母和滾柱#q(q=1,2,…,nroller)的嚙合半徑和嚙合偏角。由(27)式可知,若使得螺母和滾柱的接觸點(diǎn)位于兩零件中徑的切點(diǎn)處,則螺母和滾柱需滿(mǎn)足如下結(jié)構(gòu)關(guān)系

將(29)～(30)式代入(27)式可得

由(3)、(6)和(31)～(33)式可得,螺母和滾柱之間的間隙量δNq為

(34)

(35)

3 模型驗(yàn)證

Blinvo等[8]在絲杠和滾柱螺紋牙軸向重疊區(qū)域內(nèi)劃分多個(gè)網(wǎng)格,通過(guò)計(jì)算大量網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處滾柱曲面與絲杠曲面的zPq坐標(biāo)差的最小值,進(jìn)而獲得絲杠和滾柱之間的接觸位置和軸向距離。雖然Blinvo等僅計(jì)算了行星滾柱絲杠的嚙合特性,但該方法也適用于RRSM的嚙合特性分析。

一組RRSM的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。采用本文模型和Blinvo模型[8]計(jì)算得到的絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間的接觸位置和間隙量如表2所示。Δu和Δθ分別表示Blinvo模型網(wǎng)格的徑向增量和周向增量。在表2中給出了每次分析的計(jì)算時(shí)間(CPU型號(hào):Intel(R) Xeon(R) Gold 6230R)。本文模型的計(jì)算時(shí)間為0.031 s。當(dāng)網(wǎng)格劃分的精度逐步提高時(shí),Blinvo模型計(jì)算結(jié)果將趨近于本文模型的計(jì)算結(jié)果。于此同時(shí),Blinvo模型的計(jì)算時(shí)間也在大幅增加。當(dāng)Δu=10-2mm,Δθ=(10-2)°時(shí),Blinvo模型的計(jì)算時(shí)間為0.514 s;當(dāng)Δu=10-3mm,Δθ=(10-3)°時(shí),該模型計(jì)算時(shí)間達(dá)到了47.687 s。因此,本文模型能夠?qū)崿F(xiàn)RRSM嚙合特性的快速準(zhǔn)確計(jì)算。

表1 RRSM基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 不同嚙合模型的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算時(shí)間

4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)嚙合特性的影響

4.1 絲杠名義半徑和頭數(shù)

當(dāng)rS=20,30和40 mm時(shí),絲杠和滾柱在不同絲杠頭數(shù)下的接觸位置變化如圖8a)～8c)所示。由螺母和滾柱之間的嚙合方程(27)式可知,當(dāng)螺母的名義半徑始終滿(mǎn)足(29)式且螺母和滾柱具有相同牙側(cè)角時(shí),不論絲杠中徑rS如何變化,螺母和滾柱之間的接觸點(diǎn)始終位于兩零件的中徑切點(diǎn)位置。

圖8 當(dāng)rS=20,30和40 mm時(shí),絲杠和滾柱在不同絲杠頭數(shù)下的接觸位置

由圖8可得,絲杠曲面ΠSU上的接觸點(diǎn)位于坐標(biāo)系xPqoPqyPq的第一象限。曲面ΠSB上的接觸點(diǎn)位于第四象限,且和曲面ΠSU的接觸點(diǎn)關(guān)于xPq軸對(duì)稱(chēng)。因此,在不考慮誤差狀態(tài)下,絲杠兩曲面ΠSU和ΠSB所對(duì)應(yīng)的接觸點(diǎn)具有相同的嚙合半徑和嚙合偏角。在圖8a)中,坐標(biāo)(20,0)為滾柱和絲杠中徑的切點(diǎn)位置。當(dāng)絲杠名義半徑rS不變且絲杠頭數(shù)nS增加時(shí),接觸點(diǎn)近似沿著yPq軸遠(yuǎn)離切點(diǎn)位置(20,0)。對(duì)比圖8a)～8c)可得,若絲杠頭數(shù)不變且其名義半徑增加時(shí),接觸點(diǎn)逐漸接近絲杠和滾柱中徑的切點(diǎn)位置。

圖9 當(dāng)rS=20～50 mm時(shí),絲杠和滾柱在不同絲杠頭數(shù)下的零間隙牙厚設(shè)計(jì)量

4.2 滾柱名義半徑和牙型輪廓半徑

當(dāng)滾柱名義半徑rq=5,7.5,10 mm且滾柱牙型輪廓半徑rTq∈[5,85]mm時(shí),滾柱和絲杠之間的接觸點(diǎn)位置如圖10所示。圖中同時(shí)繪制了不同滾柱名義半徑所對(duì)應(yīng)的中徑曲線(xiàn)。當(dāng)滾柱名義半徑rq增加時(shí),接觸點(diǎn)將沿著yPq軸偏離絲杠和滾柱中徑的切點(diǎn)處(30,0)。當(dāng)滾柱牙型輪廓半徑rTq增加時(shí),接觸點(diǎn)將沿著xPq軸向絲杠牙底圓緩慢偏移。

圖10 當(dāng)rq=5,7.5,10 mm時(shí),絲杠和滾柱在不同滾柱螺紋牙輪廓半徑下的接觸位置

4.3 絲杠和滾柱的牙側(cè)角

由螺母和滾柱之間的嚙合方程(27)式可知,為了保證接觸點(diǎn)始終位于兩零件的切點(diǎn)處,螺母和滾柱需具有相同的牙側(cè)角。當(dāng)滾柱牙側(cè)角βq=30°,45°和60°且ΔβSq=-2°,-1°,0°,1°和2°時(shí),絲杠和滾柱的接觸位置如圖12所示。ΔβSq表示絲杠和滾柱的牙側(cè)角差值,ΔβSq=βS-βq。

圖12 當(dāng)βq=30°,45°和60°且ΔβSq=-2°,-1°,0°,1°和2°時(shí),絲杠和滾柱之間的接觸位置

由圖12可得,當(dāng)滾柱牙側(cè)角βq增加時(shí),接觸點(diǎn)將沿著yPq軸靠近絲杠和滾柱中徑的切點(diǎn)處。當(dāng)ΔβSq<0時(shí),接觸點(diǎn)將隨著ΔβSq的減小向絲杠牙頂圓快速偏移;當(dāng)ΔβSq>0時(shí),接觸點(diǎn)將隨著ΔβSq的增加向滾柱牙頂圓快速偏移。當(dāng)ΔβSq=0時(shí),絲杠和滾柱的接觸位置位于兩者中徑附近。

圖13 當(dāng)βq=30°,45°和60°且ΔβSq=-2°～2°時(shí),絲杠和滾柱的零間隙牙厚設(shè)計(jì)量

5 結(jié) 論

1) 本文根據(jù)環(huán)形牙滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),推導(dǎo)了計(jì)算絲杠和滾柱以及螺母和滾柱之間接觸位置的嚙合方程,給出了軸向間隙和零間隙牙厚設(shè)計(jì)量的計(jì)算方程,提出了保證環(huán)形牙滾柱絲杠正確嚙合的設(shè)計(jì)條件。通過(guò)與現(xiàn)有數(shù)值模型的接觸位置和間隙計(jì)算結(jié)果相對(duì)比,驗(yàn)證了本文解析方程的正確性。

2) 分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)環(huán)形牙滾柱絲杠接觸位置和軸向間隙等嚙合特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明,較大的絲杠名義半徑和較小的滾柱名義半徑有利于接觸點(diǎn)接近兩零件的中徑切點(diǎn)位置;相比于滾柱名義半徑,滾柱牙型輪廓半徑對(duì)接觸位置的影響較小;絲杠和滾柱之間的接觸位置對(duì)兩零件的牙側(cè)角差值十分敏感。當(dāng)螺母和滾柱牙側(cè)角相同時(shí),兩零件的接觸點(diǎn)位于中徑切點(diǎn)位置。

3) 不考慮加工和裝配誤差時(shí),螺母和滾柱之間的零間隙牙厚設(shè)計(jì)量等于絲杠螺距的一半。絲杠和滾柱之間的零間隙牙厚設(shè)計(jì)量小于絲杠螺距的一半。絲杠名義半徑增加、滾柱名義半徑減小或絲杠和滾柱牙側(cè)角同時(shí)增加時(shí),兩零件之間的零間隙牙厚設(shè)計(jì)量隨之增加。滾柱牙型輪廓半徑對(duì)零間隙牙厚設(shè)計(jì)量幾乎無(wú)影響,而絲杠和滾柱牙側(cè)角的差值對(duì)其有著顯著的影響。