基于橢球理論的衛(wèi)星入軌位置隨機誤差估計方法

吳煥芹, 王茂才,2, 宋志明,2, 陳曉宇,2

1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 計算機學(xué)院， 湖北武漢 430074；2.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 智能地學(xué)信息處理湖北省重點實驗室， 湖北武漢 430074

衛(wèi)星入軌位置精準(zhǔn)度受多種因素的影響,不可避免地存在系統(tǒng)誤差和隨機誤差。系統(tǒng)誤差可以在設(shè)計或?qū)嶋H操作過程中予以考慮并削減,而隨機誤差是由偶然因素引起的,難以預(yù)測和控制。隨機誤差亦會導(dǎo)致衛(wèi)星入軌空間位置的不確定,并在衛(wèi)星組網(wǎng)和運行過程中傳播,對工作效能產(chǎn)生影響。工程實際中對于高價值的重要航天器,一般是通過發(fā)動機點火等方式對軌道進行校正和調(diào)整,但對于小衛(wèi)星和微納衛(wèi)星,由于其體積小攜帶有限,進行自身軌道修正的代價較高或遠超其設(shè)計發(fā)射成本,況且大規(guī)模星群也沒法進行廣泛的軌道修正。但不同用途的衛(wèi)星對位姿精度要求不同,如果能準(zhǔn)確快速地估計其位置偏差,可以讓工作者做出正確的決策。

當(dāng)前已經(jīng)有很多學(xué)者對衛(wèi)星定位精度及運行誤差進行了相關(guān)研究,并取得了一定成果。如針對衛(wèi)星的定位精度,Knogl等[1]利用LEO衛(wèi)星通信信道對GEO衛(wèi)星進行精確定位。Vighnesam等[2]研究了通過位置差確定IRS運行軌道的系統(tǒng)方法。Zhou等[3]針對北斗衛(wèi)星定軌提出了一種基于反單點定位的近實時無推力建模方法。Li等[4]實現(xiàn)了利用衛(wèi)星激光測距分析北斗3號衛(wèi)星的軌道精度。Larki等[5]研究了基于梯度法確定衛(wèi)星軌道的方法。白顯宗[6]基于歷史軌道數(shù)據(jù)研究了空間目標(biāo)軌道預(yù)報誤差與碰撞概率問題。賀若飛等[7]提出一種基于蒙特卡羅卡爾曼濾波的目標(biāo)定位算法,并應(yīng)用于無人機目標(biāo)定位中,取得較好效果。閻海峰等[8]針對偽衛(wèi)星空中基站位置不易精確確定的問題,建立了組合導(dǎo)航系統(tǒng)和非線性數(shù)學(xué)模型,提出了一種抗差自適應(yīng)高斯混合Sigma點粒子濾波算法。文獻[9]基于多項式區(qū)間參數(shù)分析法,針對探測器著陸過程動態(tài)特性,提出基于非線性有限元建模的探測器著陸區(qū)間分析流程,計算得到探測器著陸動響應(yīng)上界和下界。文獻[10]對分布式InSAR目標(biāo)三維定位的空間幾何關(guān)系,給出了定位精度指標(biāo)與系統(tǒng)參數(shù)精度指標(biāo)之間關(guān)系的解析表達式。文獻[11]針對三星編隊系統(tǒng),將衛(wèi)星位置誤差源分為體現(xiàn)誤差相關(guān)性的整體絕對位置誤差和體現(xiàn)誤差非相關(guān)性的星間相對位置誤差,從而對存在相關(guān)性誤差的衛(wèi)星編隊系統(tǒng)進行定位精度分析。在運行誤差分析中,文獻[12]對影響遙感衛(wèi)星覆蓋的不確定性因素進行歸一化量化,對具有不確定性因素影響的指標(biāo)進行求解,得到具有統(tǒng)計特性的指標(biāo)結(jié)果。文獻[13]提出一種線性回歸近似替代不確定性,將不確定性參數(shù)對于效能影響降維為一個線性組合系數(shù)進行求解。文獻[14]給出了降維表示方法中功率譜密度函數(shù)的解析隨機誤差,并通過數(shù)值算例加以證明。文獻[15]提出了一種用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代不確定性的分析方法,通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在擬合回歸分析上的非線性特性,研究分布式衛(wèi)星系統(tǒng)概念設(shè)計中的不確定性參數(shù)。文獻[16]引入模擬誤差場對不確定進行描述,從而獲得比較精確的估計數(shù)值。

綜上可知,目前針對衛(wèi)星軌道位置精度或誤差描述主要有解析法、數(shù)值法或通過第三方測量獲得;研究對象主要是中、高軌單個高價值衛(wèi)星或低軌少量衛(wèi)星系統(tǒng)。相關(guān)研究中的解析法是將某時刻衛(wèi)星位置用軌道根數(shù)的解析函數(shù)表示,為便于建模學(xué)者一般采用簡化模型或?qū)Σ淮_定性因素做近似處理。該方法在衛(wèi)星數(shù)量不多的情況下適用性較好,但影響計算精度,也不適用于大規(guī)模星群。數(shù)值法在抽樣數(shù)量足夠多的前提下,可實現(xiàn)對樣本的無偏估計,但在衛(wèi)星規(guī)模較大情況下,又存在計算效率低、耗時長等缺點。通過第三方介入測量,又存在過程復(fù)雜、成本高等問題。顯然上述方法不能滿足近幾年大量衛(wèi)星發(fā)射入軌,對位置誤差多、精、快的評估要求。

本文結(jié)合解析法和數(shù)值法,采用概率論的知識和誤差橢球理論進行研究。首先針對衛(wèi)星發(fā)射入軌位置隨機誤差,依據(jù)衛(wèi)星入軌六根數(shù)不確定性矩陣,利用協(xié)方差陣傳播率確定地心慣性坐標(biāo)系下衛(wèi)星入軌位置在3個坐標(biāo)軸方向的位置不確定性,構(gòu)建了描述衛(wèi)星入軌位置隨機誤差的一種橢球理論,給出衛(wèi)星入軌在一定空間范圍內(nèi)的概率計算公式。然后利用STK軟件和蒙特卡羅方法,模擬隨機因素影響下低軌微納衛(wèi)星入軌位置,驗證誤差理論模型與實際工況的一致性。實驗結(jié)果表明本文構(gòu)建的誤差橢球理論可以很好地用于估計入軌位置隨機誤差,尤其是估計大規(guī)模星群位置誤差,本文方法具有高效性,很好地克服了已有方法的局限性。

1 衛(wèi)星發(fā)射入軌位置表達式

衛(wèi)星發(fā)射入軌位置通常用軌道六根數(shù)表示。在航天工程中,衛(wèi)星六根數(shù)期望值根據(jù)效能要求精準(zhǔn)確定,而衛(wèi)星實際入軌位置的離散程度通?？赏ㄟ^六根數(shù)的不確定性矩陣表示。

1.1 入軌位置不確定性矩陣

假設(shè)衛(wèi)星入軌位置六根數(shù)用向量X表示,即:

X=[XaXeXiXEXωXf]T

向量X中Xa,Xe,Xi,XE,Xω,Xf分別表示衛(wèi)星軌道的半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角和衛(wèi)星入軌位置的真近點角。

在衛(wèi)星發(fā)射過程中考慮隨機因素的影響,其入軌位置為隨機變量。設(shè)其軌道參數(shù)向量X的數(shù)學(xué)期望為

(1)

衛(wèi)星軌道位置六根數(shù)向量X的方差用DXX表示,即

(2)

DXX的主對角線上的元素為軌道六根數(shù)隨機變量Xa,Xe,Xi,XE,Xω,Xf的方差,非主對角線中的元素是描述2個軌道參數(shù)之間相關(guān)性的協(xié)方差。由于在衛(wèi)星軌道六根數(shù)中,各參數(shù)相互獨立,即協(xié)方差為零,故向量X的方差陣可進一步寫為

(3)

由于衛(wèi)星入軌位置受許多相互獨立的隨機因素的影響,且每個因素所產(chǎn)生的影響都很小,由中心極限定理,可假設(shè)入軌位置六根數(shù)服從正態(tài)分布。

1.2 衛(wèi)星入軌位置隨機誤差表示

圖1 衛(wèi)星入軌點位置誤差示意圖

(4)

式中,rx,ry,rz為空間位置誤差r在x,y,z軸上的分量。顯然

(5)

所以

(6)

(7)

2 衛(wèi)星入軌位置誤差模型構(gòu)建

衛(wèi)星入軌位置誤差σP可以用來評定入軌位置精度,但不能顯示在哪個方向上的位差,在討論衛(wèi)星或星群的空間碰撞安全、對地覆蓋或其他效能時,需要考慮衛(wèi)星所處軌道位置在哪個方向上的偏差,為此,需要確定衛(wèi)星在三維空間內(nèi)的位置矢量差。衛(wèi)星入軌位置等概率密度點的集合可形成一閉合曲面,該曲面能把各個方向上的誤差表示出來(見圖2)。但該曲面不是一種典型的曲面,作圖也不方便,但其形狀與橢球很相似,為便于分析,以橢球近似,稱之為等概率密度誤差橢球(見圖3),簡稱誤差橢球。

圖2 等概率密度點 圖3 誤差橢球示意圖曲面示意圖

2.1 誤差橢球模型函數(shù)

在隨機誤差下,衛(wèi)星入軌位置在地心慣性坐標(biāo)系下呈三維正態(tài)分布,其聯(lián)合分布密度函數(shù)為

(8)

式中:Dxx為地心慣性坐標(biāo)系下衛(wèi)星入軌位置的不確定性矩陣;|Dxx|為不確定性矩陣的行列式。Dxx的表達式為

(9)

2.2 不確定性矩陣Dxx的確定

已知軌道六根數(shù)的協(xié)方差陣DXX,根據(jù)協(xié)方差傳播率[17]可以計算不確定性矩陣Dxx

Dxx=ADXXAT

(10)

式中,矩陣A為一個3×6的矩陣,可用(11)式表示。

(11)

2.3 誤差橢球軸長的確定

根據(jù)聯(lián)合分布密度函數(shù)(8)式,該三維正態(tài)分布空間內(nèi)概率密度相同點的表達式為

(12)

令x-rx=x′,y-ry=y′,z-rz=z′,則(12)式可寫為

(13)

(13)式是地心慣性坐標(biāo)系下一個相似橢球族表達式,k為放大因子,給定一個k值,就得到一個橢球。為方便分析,進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,求出其在主軸坐標(biāo)系OUVW(如圖4所示)內(nèi)的表達式。

圖4 地心坐標(biāo)與主軸坐標(biāo)示意圖

圖4中橢球族的主軸為OU,OV,OW。因為Dxx為實對稱矩陣,則存在正交矩陣M,使得

(14)

對(14)式兩邊同時取逆,得到

(15)

進一步變換形式,得到

(16)

令

(17)

得到

(18)

展開得到

(19)

(19)式為在主軸坐標(biāo)系下的誤差橢球方程,其半軸長平方分別為k2λ1,k2λ2,k2λ3,這里k為前面定義的放大因子,λ1,λ2,λ3為協(xié)方差陣Dxx的特征值。已知協(xié)方差陣,給定k值,即可確定相應(yīng)的橢球軸長。

2.4 誤差橢球軸向的確定

(14)式中的正交矩陣M=(aij)3×3即是從地心慣性坐標(biāo)系OXYZ轉(zhuǎn)換到主軸坐標(biāo)系OUVW的旋轉(zhuǎn)矩陣,由此可以確定橢球3個軸分別與Z軸的夾角。以軸OU為例,如圖5所示,OU軸與OZ軸的夾角為α(0°≤α<180°),OU軸在OXY平面的投影與OX軸的夾角為β(0°≤β<360°),由于M為旋轉(zhuǎn)矩陣,則可以直接根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的元素計算相應(yīng)角度,并轉(zhuǎn)換到α,β規(guī)定的范圍內(nèi),即

圖5 橢球軸與地心慣性坐標(biāo)軸的夾角示意圖

α=arccosa31

(20)

β可由a21,a31通過Matlab中雙變量反正切函數(shù)確定。

同理,可以計算OV和OW分別與OZ軸的夾角,及其在XOY平面的投影與OX軸的夾角。

3 衛(wèi)星入軌位置在一定誤差范圍內(nèi)的概率

根據(jù)概率密度函數(shù)(8)式和誤差橢球方程(19),衛(wèi)星入軌在誤差橢球內(nèi)的概率可寫為[18]

(21)

令

(22)

代入(21)式得到

(23)

(24)

圖6 P與k的關(guān)系曲線圖

從圖6可以看出,在隨機誤差下衛(wèi)星入軌位置基本都在4倍的橢球軸長范圍內(nèi)。當(dāng)然,衛(wèi)星入軌位置在不同的誤差范圍內(nèi)的概率亦可得到。

4 算例分析及仿真驗證

計劃一顆離地526 km的太陽同步圓形軌道衛(wèi)星發(fā)射升空,在真近點角60°入軌,分析其在隨機因素影響下衛(wèi)星入軌位置的隨機誤差。

4.1 確定相關(guān)參數(shù)

根據(jù)已知要求和給定條件,確定衛(wèi)星相關(guān)參數(shù)。

衛(wèi)星軌道位置采用六根數(shù)表示,地球半徑按6 378.14 km計算,則其軌道及位置參數(shù)如下:

軌道長半軸a=6 904.14 km;軌道偏心率e=0;軌道傾角i=97.5°;軌道近地點幅角ω=0°;軌道升交點赤經(jīng)Ω=0°;衛(wèi)星真近點角f=60°。

根據(jù)衛(wèi)星研究所提供的經(jīng)驗數(shù)值,依據(jù)(3)式確定軌道六根數(shù)的協(xié)方差陣DXX為

DXX=

(25)

衛(wèi)星入軌位置在地心慣性坐標(biāo)系下的位置表達式

(26)

將軌道參數(shù)期望值代入(26)式得到地心慣性坐標(biāo)系下期望入軌位置

(27)

根據(jù)(11)式,對(26)式中x,y,z表達式分別對軌道六根數(shù)求偏導(dǎo),并計算在近似值(期望值)的結(jié)果,得到偏導(dǎo)數(shù)矩陣A

(28)

根據(jù)(10)式得到地心慣性坐標(biāo)系下的不確定性矩陣

(29)

將Dxx和rx,ry,rz代入(8)式即可得到該衛(wèi)星入軌位置誤差橢球函數(shù)。

4.2 誤差橢球分析結(jié)果

對衛(wèi)星入軌位置誤差橢球函數(shù)進行計算,得到正交矩陣M和對應(yīng)的對角陣

(30)

(31)

據(jù)此確定衛(wèi)星入軌位置誤差矢量。當(dāng)放大因子k取1時計算結(jié)果見表1,當(dāng)k取2.8時(95%的概率落在橢球范圍內(nèi))誤差橢球如圖7所示。

表1 橢球分析結(jié)果

圖7 衛(wèi)星入軌位置橢球仿真結(jié)果

進一步地,利用誤差橢球理論分析衛(wèi)星在不同真近點角處的誤差橢球、軸長、軸向分別如圖8～10所示。

圖8 不同真近點角處誤差橢球示意圖

圖9 不同真近點角下誤差橢球三根軸長示意圖

圖10 不同真近點角處誤差橢球三根軸軸向示意圖

4.3 蒙特卡羅仿真結(jié)果

采用同樣的軌道六根數(shù)協(xié)方差陣(15)式,通過STK軟件模擬該衛(wèi)星入軌位置仿真10 000次,則入軌位置分布如圖11所示。

圖11 蒙特卡羅仿真衛(wèi)星入軌位置

對10 000次入軌位置求平均值,得到入軌位置x,y,z的平均值(3 452.056 888,-780.432 294 9,5 927.999 303),根據(jù)(7)式可得到入軌位置點位方差為15.191 1 km2,入軌位置中誤差為3.897 6 km,衛(wèi)星入軌在一定誤差范圍內(nèi)的概率用頻度表示,其概率密度直方圖如圖12所示。

圖12 在一定誤差范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率直方圖

對蒙特卡羅仿真結(jié)果通過主成分分析,得到衛(wèi)星分布橢球3個軸長及軸向,如表2所示。

表2 蒙特卡羅結(jié)果主成分分析

4.4 2種方法分析結(jié)果比較

從表1和表2的結(jié)果可以看出,誤差橢球分析和蒙特卡羅仿真結(jié)果非常接近。

為進一步驗證誤差橢球理論的合理性,在此采用提出的橢球模型計算衛(wèi)星落入的概率,并與蒙特卡羅實驗仿真方法比較,在特定k值時,2種分析方法呈現(xiàn)的概率結(jié)果如表3所示。

表3 衛(wèi)星落在一定誤差范圍內(nèi)的概率

在放大因子k從0～4整個區(qū)間,誤差橢球理論估算的衛(wèi)星入軌位置概率和模擬仿真的結(jié)果比較,如圖13所示。

圖13 2種方法分析衛(wèi)星入軌誤差概率曲線比較圖

從圖中可以看出,2個結(jié)果非常接近,且誤差橢球計算概率略低于蒙特卡羅仿真結(jié)果,說明該誤差橢球理論模型可以可靠地估計衛(wèi)星在隨機誤差下的入軌位置。

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了描述衛(wèi)星入軌位置隨機誤差的一種橢球理論模型并驗證了其合理性。根據(jù)隨機誤差下入軌位置六根數(shù)的不確定性矩陣,把入軌位置隨機誤差等概率密度曲面近似為橢球,確定橢球三根軸的長度及軸向,并給出衛(wèi)星入軌在一定誤差范圍內(nèi)概率的計算方法。利用蒙特卡羅方法,借助STK軟件模擬了一顆低軌微納衛(wèi)星在隨機因素影響下發(fā)射入軌的實驗,得到實驗衛(wèi)星入軌位置實際分布,并與誤差橢球模型下入軌位置的概率分布對比,結(jié)果表明橢球模型分析結(jié)果與仿真結(jié)果一致,從而說明誤差橢球理論可以用于估計入軌位置隨機誤差,尤其是高效估計大規(guī)模星群位置誤差,對大規(guī)模星群設(shè)計及發(fā)射具有較好參考價值。

精確地估計衛(wèi)星入軌位置隨機誤差,對于計算衛(wèi)星運行中的碰撞安全、衛(wèi)星對地覆蓋效果等都有很重要的意義,后期可以結(jié)合入軌位置誤差橢球理論及誤差傳遞特性進一步研究任意時刻衛(wèi)星運行軌道的誤差及對效能的影響。