基于數據意識進階的“平均數”單元整體教學

宋煜陽　陳金波

【編者按】《義務教育數學課程標準（2022年版）》中將原來的“數據分析觀念”細分成了“數據意識”與“數據觀念”，明確要求：在小學階段，學生要形成對數據的意義和隨機性的感悟，初中階段則要形成對數據相關屬性的清晰認識。從中體現出學生核心素養(yǎng)的整體性、一致性與階段性。教師需要在教學中重視對學生數據意識的培養(yǎng)，幫助學生理解現實生活中的隨機現象，掌握數據的表達方式等。那么，培養(yǎng)學生數據意識的教學如何實施？本期專輯一起探討。

【摘 要】“平均數”單元整體教學設計，要基于數據意識素養(yǎng)表現，強化教學中學生對平均數的代表性、統(tǒng)計意義的過程體驗和實踐探索。通過“平均數的代表性與計算—平均數特點與實際應用—平均數統(tǒng)計意義與綜合實踐”的單元整體教學，實現學生對平均數的理解從算法水平向概念水平、統(tǒng)計水平進階，實現數據意識素養(yǎng)表現的認知進階。

【關鍵詞】單元整體教學 數據意識 平均數

一、平均數的數據意識素養(yǎng)的主要表現

平均數的數據意識素養(yǎng)表現，需要基于數據意識的內涵在平均數統(tǒng)計作用、理解水平兩個層面來分析。

平均數具有描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計的作用。從描述統(tǒng)計作用角度來說，平均數被用來描述一組數據的平均水平或整體水平，以“代表性”反映了“對數據的意義感悟”“知道同一組數據可以用不同方式表達”的數據意識內涵。從推斷統(tǒng)計作用角度來說，平均數具有推斷、預測功能，能根據平均數對實際問題進行預測分析，知道每個數據波動會引起平均數的變化，導致預測結果不能百分之百正確，以“隨機性”反映了“只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規(guī)律”“形成數據意識有助于理解生活中的隨機現象”的數據意識內涵。

平均數的理解主要包括算法水平、概念水平和統(tǒng)計水平三個層次。算法水平主要表現為利用“求和均分”“移多補少”等方法計算出一組數據的平均值，是理解平均數的重要基礎。概念水平主要表現為知道平均數是代表一組數據整體（平均）水平的量值，它介于最大數與最小數之間，平均數具有容易受極端數據影響等特點。統(tǒng)計水平主要表現為體會平均數作為“代表”的合理性，根據實際需求和數據特點建立聯系，感受數據的集中趨勢，平均數可以幫助人們對事件作出預測和判斷，但有時會出現“翻車”的意外，并非所有情境都適合用平均數作為代表。平均數的理解層次，也反映了“數據的意義感悟”“形成數據意識”等數據意識素養(yǎng)內涵的不同水平。

簡要地說，平均數的數據意識素養(yǎng)表現主要指向平均數的代表性、區(qū)間性與敏感性、隨機性三個維度。

二、平均數的單元學習目標與整體教學實施

（一）課標啟示與單元學習目標設定

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在多處指明了平均數教學的意義與重要性。其中，“理解平均數的意義”“探索平均數的意義”，強調了教學中要重視學生對平均數意義形成過程的理解；“用平均數解決實際問題”，強調了數據描述的現實意義；“知道平均數的統(tǒng)計意義”“要引導學生在熟悉的情境中理解平均數所具有的代表性”，則明確了“代表性”是學生理解平均數意義的重點，重視對平均數統(tǒng)計水平的理解。

因此，“平均數”主題單元的學習目標可以設定為：（1）在具體情境中理解平均數的意義，理解并體會平均數具有代表性；知道并體會平均數區(qū)間性、敏感性等特點。（2）會計算平均數，能用平均數的知識解決相關實際問題。探索平均數的統(tǒng)計意義，能運用平均數對實際問題做一些簡單的統(tǒng)計推斷分析。（3）感受樣本數據集中趨勢能表達總體數據的集中趨勢。體會平均數在生活生產中的廣泛應用，了解平均數在數據描述中的適用性，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數據意識。

（二）單元學習內容劃分與課時學習目標定位

筆者通過前測發(fā)現，學生在選取一組數據的代表時，偏向于最高值與中間數，對于不在數據中的平均數選用比例較低。再由常態(tài)課的后測發(fā)現，學生對平均數含義的算法理解、概念理解明顯優(yōu)于統(tǒng)計意義理解。為此，“平均數”單元學習目標的達成，需要加強學生對平均數的代表性、統(tǒng)計意義的過程體驗和實踐探索。筆者打破了常態(tài)化“一節(jié)新授課+一節(jié)練習課”的單元內容組合思路，把學習內容劃分為“平均數的代表性與計算”“平均數特點與實際應用”“平均數的統(tǒng)計意義理解與綜合實踐”三個課時，每個課時學習目標定位如下表所示。通過單元整體教學，促使學生對平均數含義的理解從算法水平、概念水平向統(tǒng)計水平進階，數據意識素養(yǎng)表現在側重平均數的區(qū)間性、敏感性的基礎上向代表性、隨機性全面進階。

（三）課時學習表現性任務設計與教學實施

第一課時：平均數的代表性與計算。

【學習路徑】先通過“尋找一組身高數據的代表數”活動，激活學生的數據代表經驗，了解平均數的算法、含義和特點，初步認識平均數的代表性；再通過 “尋找兩組踢毽子比賽數據的代表數”活動，體會平均數作為代表的必要性；最后通過“60米跑步訓練中的平均數”“旅游景區(qū)中的平均數”等任務內化鞏固，進一步理解平均數的代表性。

【活動實施】

1.尋找一組身高數據的代表數。

（1）引入。聊聊自己的身高在小組、全班處于怎樣的水平。

（2）尋找代表數。給出第一大組7位男生的身高數據“138、141、142、141、143、141、148”，討論：如果用一個數去代表這組男生的整體身高水平，你覺得哪個數合適？

（3）反饋交流。學生得出的代表數有：最大數148，眾數141，中間數141和142，平均數142。邀請學生介紹得到代表數的思考過程，其中平均數的“求和均分”算法、“移多補少”算法結合直觀圖進行解讀。說說平均數“142”表示的含義。

（4）挑選代表數。圍繞最大數、眾數、中間數、平均數，討論：哪個數代表這組同學身高整體水平更合適？ 得出，最大數只代表最高水平，不能代表整體水平；眾數、中間數、平均數都可以代表整體水平，平均數更勻稱更合適。

（5）感知平均數特點。討論：平均數與其他代表數（眾數、中間數）相比，有什么不同？平均數“142”和這組數據中的“142”含義一樣嗎？

2.尋找兩組踢毽子比賽數據的代表數。

（1）尋找代表數。踢毽子比賽中男生隊5個同學的數據“19、15、16、20、15”，女生隊4個同學的數據“19、23、16、14”，哪支隊伍的成績更好？寫出你的思考過程。

（2）反饋交流評價。對“比總數”“比最多的”“比較平均數”進行分析，得出“用平均數反映一組數據的整體水平比較合適”的結論。

（3）討論平均數算法的含義。追問：計算平均數時，為什么男生隊除以5，女生隊卻除以4？

3.歸納小結平均數的代表性。

問：你對平均數有哪些認識？特別指出：平均數是反映一組數據整體水平的常用代表。

4.60米跑步訓練中的平均數。

出示聰聰連續(xù)5天參加60米跑步訓練的成績，分別為14秒、15秒、12秒、10秒、14秒，他的平均成績是多少？估一估，算一算，說一說。交流討論：平均成績在哪個范圍？沒有一天跑出13秒，為什么可以用來代表平均成績？

5. 旅游景區(qū)中的平均數。

給出溪口旅游景區(qū)國慶長假期間平均每天接待游客數量（人次）：2018年16.38萬人次，2019年20.56萬人次。判斷說理：（1）2018年10月1日的游客人數一定比2019年10月1日少嗎？（2）2019年國慶節(jié)游客人數一定比2018年國慶節(jié)多嗎？

第二課時：平均數特點與實際應用。

【學習路徑】通過生活實際問題進一步認識平均數的特點和適用性?！霸u分問題”讓學生認識極端數據對平均數的影響，體會其敏感性；“座位與身高問題”需借助平均數和個體數據進行辨析，讓學生進一步體會平均數的敏感性；“推選隊員問題”幫助學生認識到根據實際問題合理使用平均數來進行決策分析。

【活動實施】

1.評分問題。

（1）問題引入。學校組織合唱比賽，四（1）班和四（2）班的評分情況如下表所示，哪個班的成績好？

（2）交流辨析。計算得出四（1）班平均成績86分、四（2）班平均成績84.9分的基礎上，引發(fā)對極端數據“96”“75”的討論，指出：“平均數”很敏感，容易受極端數據的影響而產生較大的變化。通常在比賽評分時會去掉一個最高分與一個最低分，然后取平均數。

2.座位與身高問題。

（1）出示座位圖（圖略），提問：你認為第一組的平均身高和第一排的平均身高相比，哪個高？說明理由。判斷說理后，給出表3、表4，組織學生計算進行驗證。

（2）小明是這個班的學生，身高134 cm。根據以上3個表格中的信息，你認為小明在班級里是偏高還是偏矮？說明理由。

（3）新學期轉進一個新同學，全班平均身高會發(fā)生什么變化？

3.推選隊員問題。

根據兩個隊員七天訓練得分情況，你會選擇哪一個隊員參加比賽？

第三課時：平均數的統(tǒng)計意義理解與綜合實踐。

【學習路徑】圍繞“數據得到的過程”“決策原因”兩個核心問題，讓學生在三個真實情境中經歷大數據抽樣調查和分析決策過程，體會平均數的統(tǒng)計意義；在此基礎上給出課外實踐調查問題，讓學生在具身體驗中加深對平均數統(tǒng)計意義的理解。

【活動實施】

1. 寧波地鐵兒童免費新規(guī)問題。

在新的《寧波市軌道交通乘客守則》里，身高不滿1.3米的兒童乘車時可以免票。討論：“1.3米”免票線是怎樣制訂的？免票身高會從1.2米增長到1.3米的原因是什么？

2.人均壽命問題。

據一項數據統(tǒng)計顯示，2021年寧波市人均預期壽命是82.40歲。李奶奶今年80歲了，看到這個消息，心里可焦慮了，你想對李奶奶說些什么？2021年寧波市人均預期壽命82.40歲，這個數據是怎么得到的？寧波市人均預期壽命不斷在提高，壽命增長的原因是什么？

3.人均課外閱讀量問題。

“全國國民閱讀調查”顯示：我國小學生的人均課外閱讀量2011年為7.3本，2013年為8.3本，2020年為10.71本。人均課外閱讀量是怎樣得到的？預測一下2023年人均課外閱讀量，說說你的想法。

4.課外調查實踐問題。

（1）調查記錄自己一周內每天上學途中所需要的時間，用圖表、平均數表達上學的平均時間。

（2）調查能夠體現我國社會發(fā)展或科技進步的實例，運用平均數加以分析與評價。

三、平均數的單元學習表現性任務測評與分析

筆者選擇的測評對象為鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校四年級的2個班，實驗班以前文分析的三課時進行教學，對照班根據人教版教材進行教學。平均數的表現性任務測評圍繞平均數的代表性、區(qū)間性與敏感性、隨機性展開。

針對平均數的代表性、區(qū)間性與敏感性，筆者設計了一組以“某學校四年級各班參加‘愛閱讀書香班級評選”為情境的表現性任務：兩張統(tǒng)計表，表1給出各班最低、最高年閱讀量和班級人數；表2給出各班年閱讀量分段的統(tǒng)計。問題1求某班年平均閱讀量；問題2給出某班原來年平均閱讀量和新轉來一個同學的年閱讀量，判斷現在班級的年平均閱讀量；問題3給出某班一個同學的閱讀量，分析他在班級、年級里閱讀量的水平高低。數據顯示，實驗班對平均數的區(qū)間性（問題1）、敏感性（問題2）和代表性（問題3）的理解程度都優(yōu)于對照班，其中平均數的代表性更為明顯。

平均數隨機性，筆者設計了以“李明20次投籃成績統(tǒng)計”為情境的表現性任務：提供李明投籃成績條形統(tǒng)計圖（數據集中在12個、14個），問題為“李明第21次投籃可能會投進幾個，最有可能是幾個（選項為5、13、15、20）”。認為第21次投進個數四個選項都有可能，實驗班占比明顯高于對照班。對于“最有可能”選項，實驗班從平均數角度思考的占比更高；從投籃技術越來越穩(wěn)定角度思考的，實驗班與對照班的數據相近。

基于上述數據分析顯示，教學實施后學生的數據意識素養(yǎng)實現了進階發(fā)展，表明“平均數的代表性與計算—平均數特點與實際應用—平均數的統(tǒng)計意義理解與綜合實踐”的單元整體教學是合理可行的。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022 年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章勤瓊，達尼·本茲威.統(tǒng)計素養(yǎng)：小學階段“統(tǒng)計教學”關注的重點——以色列海法大學教授達尼·本茲威訪談錄［J］.小學教學（數學版），2016（12）：4-7.

［3］章勤瓊.計算平均成績是否合適——小學階段統(tǒng)計量教學的一些思考［J］.教學月刊小學版（數學），2020（01，02）：95-98.

［4］劉加霞.“平均數”的本質及小學生理解水平解析［J］.湖北教育（教育教學），2021（02）：36-38.

［5］宋煜陽，劉加霞，沙國祥.求實達理，不斷推進“學習進階”研究——宋煜陽老師訪談錄［J］.教育視界，2022（29）：31-38，30.