WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和完全收斂性及其應(yīng)用

張玉

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 安徽 合肥 238024)

0 引言

概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)早期主要成果是關(guān)于隨機(jī)變量的大數(shù)定律、中心極限定理,這些理論都要求隨機(jī)樣本是相互獨(dú)立的,但生活實(shí)際中往往隨機(jī)變量之間內(nèi)部存在著相互關(guān)系這就引入了相依隨機(jī)變量的概念.相依隨機(jī)變量序列由于其自身的性質(zhì)在天文學(xué)、地質(zhì)學(xué)、保險(xiǎn)、時(shí)間序列等等都有廣泛的涉及.有學(xué)者于20世紀(jì)90年代提出負(fù)相協(xié)NA(negatively association)隨機(jī)變量序列[1],這是目前最簡單的一種相依隨機(jī)變量序列,WOD隨機(jī)變量序列由WANG等[2]于2013年提出的,其相關(guān)應(yīng)用也十分廣泛,下面給出相關(guān)定義:

定義0.1[3]如果對(duì)于一有限的實(shí)數(shù)序列{gU(n),n≥1}滿足對(duì)?n≥1,及所有x1,x2,…,xn∈,都有

(1)

則隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是寬上象限相依(WUOD)的.

(2)

則隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是寬下象限相依(WLOD)的.如果隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}既是WUOD又是WLOD的,則稱隨機(jī)變量序列為WOD隨機(jī)變量序列,{gU(n),gL(n),n≥1},稱為控制系數(shù).隨機(jī)變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}是WOD的,如果對(duì)?n≥1,{Xni,n≥1}是WOD隨機(jī)變量序列.當(dāng)gU(n)=gL(n)=M,對(duì)于一些固定的M,隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}滿足(1)、(2)式則分別稱為寬負(fù)上象限相依(ENUOD)和寬負(fù)下象限相依(ENLOD)隨機(jī)變量序列;如果既是ENUOD又是ENLOD的,那么稱隨機(jī)變量序列為寬負(fù)象限相依(ENOD)隨機(jī)變量序列.當(dāng)gU(n)=gL(n)=1,隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}滿足式(1)、(2),則分別稱為負(fù)上象限相依(NUOD)和負(fù)下象限相依(NLOD)隨機(jī)變量序列;如果既是NUOD又是NLOD的,那么稱隨機(jī)變量序列為負(fù)象限相依(NOD)隨機(jī)變量序列.WOD隨機(jī)變量序列概念提出后很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究,SHI WU[3]研究了具有同分布的WOD隨機(jī)變量序列樣本下密度函數(shù)核估計(jì)的強(qiáng)相合性;WANG等[4]利用Marcinkiewicz-Zygmund和Rosenthal不等式研究了WOD隨機(jī)變量加權(quán)和完全收斂性并且給出應(yīng)用;劉振等[5]將NA樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性推廣到WOD隨機(jī)變量序列;WANG等[6]探討了WOD隨機(jī)變量序列下密度函數(shù)最近鄰估計(jì)的一致性;胡學(xué)平等[7]利用Rosenthal-型矩不等式和Bernstein-型指數(shù)不等式研究了WOD樣本下密度函數(shù)核估計(jì)的收斂性;林君潔等[8]研究了非負(fù)WOD 隨機(jī)變量的第K小矩不等式;ZHANG等[9]研究了WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和收斂性;LU等[10]研究了WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和最大值完全收斂性和矩收斂性;章茜等[11]根據(jù)不同的控制系數(shù)獲得了WOD隨機(jī)變量序列完全收斂性;譚希麗等[12]獲得了WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和幾乎處處收斂性;KADDOU等[13]獲得了WOD隨機(jī)變量序列中心不等式和完全收斂性,在前面學(xué)者的研究基礎(chǔ)上采用新的證明方法獲得WOD隨機(jī)變量序列完全收斂性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出完全收斂性的定義以及證明要用到的隨機(jī)控制的定義.

定義1.1[14]{Xn,n≥1}是定義在概率空間{Ω,F,P}上的隨機(jī)變量序列,a為任意常數(shù),對(duì)?ε>0,

那么隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}完全收斂于a.

定義1.2[14]如果隨機(jī)變量{Xn,n≥1}被稱為被一隨機(jī)變量X隨機(jī)控制,如果存在一正常數(shù)C使得對(duì)所有的x≥0和n≥1滿足:P(|Xn|>x)≤CP(|X|>x).

隨機(jī)變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}被稱為被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制,如果存在一正常數(shù)C使得對(duì)所有的x≥0,和n≥1滿足:P(|Xni|>x)≤CP(|X|>x).

獲得完全收斂性之后,再將完全收斂性應(yīng)用到WOD隨機(jī)變量誤差的非參數(shù)估計(jì)中,考慮如下非參數(shù)回歸模型:

(3)

其中,xni為已知固定來自于集合A點(diǎn)的列,A∈Rn,n≥1為正整數(shù),g(·)為未知的定義在集合A上的回歸函數(shù),εni為隨機(jī)誤差,假設(shè)對(duì)?n≥1,隨機(jī)誤差εni服從相同的分布,那么g(·)作為一個(gè)估計(jì)它的加權(quán)回歸估計(jì)為:

(4)

其中,Wni(x)=Wni(x;xn1,xn2,…,xnn),i=1,2,…,n為權(quán)函數(shù).

非參數(shù)回歸模型很多學(xué)者做了大量研究,周興才等[15]研究了負(fù)相依NA樣本誤差下最小二乘估計(jì)以及加權(quán)最小二乘估計(jì)的矩相合性;于德明等[16]研究了混合隨機(jī)變量序列誤差下回歸函數(shù)加權(quán)核估計(jì)的一致性;張鴿等[17]研究了漸近幾乎負(fù)相依AANA(asymptotically almost negatively associated)隨機(jī)變量序列的回歸模型的一致性;唐玲等[18]探討了φ-混合序列滑動(dòng)和過程回歸模型的相合性;彭智慶等[19]探討了誤差為NOD樣本下的非參數(shù)回歸模型估計(jì)的相合性;張水利等[20]探討了NOD誤差下非參數(shù)回歸函數(shù)積分權(quán)估計(jì)的完全相合性.

為了獲得WOD隨機(jī)變量序列完全收斂性要用到如下引理.

引理1.1[6]如果隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是WOD隨機(jī)變量序列,且f1,f2,…,fn全是非降或非增函數(shù),則f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)也是WOD隨機(jī)變量序列.

引理1.2[6]設(shè){Xn,n≥1}是WOD隨機(jī)變量序列,那么對(duì)任意n≥1和任意常數(shù)s∈R,

引理1.3[6]設(shè){Xn,n≥1}是被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制的隨機(jī)變量序列,則對(duì)任意的α>0和b>0,有下面兩式成立:

E|Xn|αI(|Xn|≤b)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)]+bαP(|X|>b),

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b).

2 主要結(jié)果及證明

定理1若{Xni,i≥1,n≥1}是被隨機(jī)變量X控制的WOD隨機(jī)變量陣列,EXni=0,g(n)是控制系數(shù),若α>2β,β>0,An≤Kn-α-2,E|X|<∞,那么對(duì)?ε>0,

(5)

定理1的證明

(6)

(7)

(8)

(9)

根據(jù)集合間的關(guān)系可知:

(10)

記(10)式中的后面為T1+T2+T3,要獲得(5)式的結(jié)果,現(xiàn)只要證明T1+T2+T3<∞,根據(jù)(6)式以及引理1.1、集合間關(guān)系,下證T1<∞.

(11)

記(11)式中后面等式為:T11+T12+T13.

因?yàn)閨ani|≤KAn,An≤Kn-α-2由馬爾可夫不等式可知:

(12)

下證T12<∞.

如果隨機(jī)變量X≤1,那么存在事實(shí):EeX≤eEX+EX2,令0

Eexp{t|aniYni|/An}≤exp{E(t|aniYni|/An)+E(t2ani2Yni2/An2)}

≤exp{t2ani2EYni2/An2}

(13)

(14)

根據(jù)(12)、(13)式所以:

(15)

不妨取t=n-2β-2,那么:

(16)

T11+T12+T13<∞,這就完成了T1<∞的證明.

下證T2<∞.

由(7)式以及集合間關(guān)系:

(17)

記(17)式后面部分為T21+T22.

由引理1.1～1.3可知:

(18)

再由馬爾可夫不等式可知:

(19)

T21+T22<∞,這就完成了T2<∞的證明.

根據(jù)(8)式:

(20)

證明T3<∞的過程與證明T2<∞的過程類似,在此省去證明.

綜上所述可得T1+T2+T3<∞,這就獲得了WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和的完全收斂性.

下面將獲得的WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和完全收斂性應(yīng)用到非參數(shù)回歸模型中,得到如下結(jié)論.

那么對(duì)任意的x∈C(g)(C(g)為g(x)在集合A上的點(diǎn)列),有

Egn(x)→g(x)

(21)

定理2的證明對(duì)任意的x∈C(g),a>0,依據(jù)(3)、(4)式可得:

(22)

由于x∈C(g)對(duì)ε>0,存在δ>0,使得當(dāng)‖x′-x‖<δ時(shí),|g(x′)-g(x)|<ε,取a∈(0,δ),由(22)式可得:

根據(jù)條件I)～Ⅲ)可知:

(23)

根據(jù)(23)式,獲得(21)式只要證明:

(24)

(25)

由定理可知令Xni=εni,ani=Wni即可獲得(25)式成立,這就完成了定理的證明.

3 結(jié)束語

回歸模型在實(shí)際應(yīng)用中十分廣泛,以相依隨機(jī)變量序列為誤差的非參數(shù)回歸是重要的模型之一,涉及多方面的應(yīng)用領(lǐng)域.依據(jù)WOD隨機(jī)變量序列本身特點(diǎn),結(jié)合隨機(jī)變量尾截技術(shù)以及引理2的創(chuàng)新應(yīng)用,獲得WOD隨機(jī)變量序列加權(quán)和完全收斂性,再將結(jié)果應(yīng)用到非參數(shù)回歸模型,推廣了NA等隨機(jī)變量序列收斂性的應(yīng)用,豐富了概率極限理論,以及回歸模型的應(yīng)用.