基于相位校正LESO的飛行器姿態(tài)控制

王明欣,劉麗霞,王 欣

(北京控制與電子技術(shù)研究所,北京 100038)

1 引言

高速飛行器在主動段飛行過程中,飛行包絡(luò)大、馬赫數(shù)雷諾數(shù)變化范圍大、氣動特性變化劇烈,存在著很大的參數(shù)攝動、各通道耦合和外干擾,造成其控制難度更大,傳統(tǒng)的控制方法很難維持其姿態(tài)角的穩(wěn)定。

自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC)是中科院研究員韓京清提出的綜合非線性控制方法[1]。由過渡過程(Tracking Differentiator,TD)、非線性誤差反饋率(Nonlinear State Error Feedback,NLSEF)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer,ESO)三部分的組合達(dá)到對被控對象快速、平穩(wěn)、抗擾地達(dá)到對指令信號的跟蹤控制。同時由于這三部分互相獨(dú)立,可以根據(jù)控制需求靈活選擇,自抗擾控制目前已廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)[2,3]、化工過程[4,5]、飛行器控制等領(lǐng)域[6-9]。

對于自抗擾控制而言,其核心是起到“抗擾”作用的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器ESO。傳統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器使用了非線性函數(shù)fal,雖然保證了對干擾的快速無超調(diào)估計(jì),但是其非線性項(xiàng)導(dǎo)致其缺乏一種有效的增益系數(shù)配制方法[10]。文獻(xiàn)[11,12]對ESO使用的非線性函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),使其在分段點(diǎn)處光滑,但是增益系數(shù)的確定仍依靠仿真試湊。

文獻(xiàn)[13]通過使用線性函數(shù)替代非線性項(xiàng)構(gòu)造了線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器LESO,并且引入“帶寬”的概念給出了LESO增益系數(shù)的配置,文獻(xiàn)[14,15]發(fā)現(xiàn)通過增大增益系數(shù),LESO對干擾的估計(jì)能力將得到提升。但是與非線性的NESO相比,LESO需要更大的增益才能達(dá)到同樣的效果,而過高的增益會使觀測器對高頻信號過分敏感。文獻(xiàn)[16,17]對LESO進(jìn)行了傳遞函數(shù)和頻域的分析,但是其穩(wěn)定性分析主要針對使用PD控制器的整個控制回路,缺乏對LESO的改進(jìn)。

本文基于二階系統(tǒng)的LESO,從傳遞函數(shù)與頻域入手,對其干擾估計(jì)的原理進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)LESO的等效于一個微分濾波器,在此基礎(chǔ)上對LESO進(jìn)行降階與相位校正,改進(jìn)后的LESO在小增益系數(shù)的基礎(chǔ)上提升了對干擾的估計(jì)能力,增強(qiáng)了控制系統(tǒng)的魯棒性,并結(jié)合飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)給出仿真驗(yàn)證。

2 LESO的頻域分析

對于具有積分串聯(lián)形式的二階系統(tǒng):其狀態(tài)方程可以表示如下

(1)

其中,f是包含了系統(tǒng)未知狀態(tài)、外干擾等的總擾動[18],u為控制器輸出的控制量,b為控制量對系統(tǒng)加速度影響的放大倍數(shù),本文假設(shè)放大倍數(shù)b為精確值。則對于如上系統(tǒng),可構(gòu)造二階LESO如下

(2)

對于一般使用LESO的控制系統(tǒng),其控制器往往能夠直接得到的系統(tǒng)狀態(tài)量的測量值x1,x2,所以LESO唯一的作用是生成干擾估計(jì)信號z3,則線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可視作一個以系統(tǒng)輸出量y和控制量u為輸入、干擾估計(jì)值z3為輸出的系統(tǒng)。則由式(2)寫出z3的傳遞函數(shù)如下

(3)

(4)

其不同帶寬參數(shù)下幅相頻域特性如下

由圖1可見,使用帶寬法配置增益系數(shù)時,LESO傳遞函數(shù)具有單一極點(diǎn),其頻域特性表現(xiàn)為:帶寬ω0以內(nèi)以等幅值小相位延遲傳遞、帶寬外以大幅值衰減大相位延遲傳遞,該三階環(huán)節(jié)可以近似看作一個低通濾波器,將干擾信號中低頻分量近似完整地表現(xiàn)出來,同時忽略高頻部分以免對執(zhí)行器產(chǎn)生不利影響。

圖1 不同帶寬的二階LESO頻域特性

由圖1同樣可見LESO對干擾估計(jì)產(chǎn)生誤差的原因:雖然帶寬ω0內(nèi)的幅值增益近似為1,相位延遲較小,但是對于轉(zhuǎn)折頻率ω0附近的頻率卻具有很大的相位延遲的同時其幅值沒有得到充分的衰減,因此造成大量高延遲的信號進(jìn)入干擾估計(jì)值中。

3 降階LESO及參數(shù)選擇

由式(3)可見,只要滿足“干擾=加速度-控制量”即可由系統(tǒng)中已知條件得到干擾估計(jì)值,LESO的遞推結(jié)構(gòu)近似于一個微分器,保證了能由系統(tǒng)輸出Y微分得到系統(tǒng)加速度量,再濾掉其中的高頻部分,但是其頻域特性中的相位延遲卻導(dǎo)致干擾估計(jì)值滯后于干擾真值,由此產(chǎn)生誤差。

對于飛行器控制,其姿態(tài)角和姿態(tài)角速度之間是單純的積分關(guān)系,因此可以將“角加速度—角速度—角增量”的二階系統(tǒng)退化為“角加速度—角速度”的一階系統(tǒng),并構(gòu)造一階LESO如下

(5)

其傳遞函數(shù)為

(6)

可見,一階LESO的極點(diǎn)多項(xiàng)式從三次降為二次,對于帶寬參數(shù)ω0相同的二階LESO和一階LESO,一階LESO相位延遲更小,其干擾估計(jì)值將更為精確。同時一階LESO的輸入量從角度量變?yōu)榻撬俣攘?對于飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)而言,機(jī)體角速度和角度均由敏感元件測量得到,無需根據(jù)角度信息額外設(shè)置微分器求取角速度,因此具有工程實(shí)現(xiàn)意義。

進(jìn)一步,將式(6)的極點(diǎn)多項(xiàng)式的冪次再次降低,可得降階LESO如下

(7)

整理為觀測器形式如下

(8)

選擇帶寬參數(shù)ω0=20構(gòu)造二階LESO、一階LESO、降階LESO,其頻域特性如下

由圖2可見,對于帶寬ω0固定的LESO,通過降低觀測器階數(shù),能夠降低干擾估計(jì)值z3的相位延遲,使得干擾估計(jì)能力得到了提升。

圖2 不同階數(shù)LESO頻域特性

圖3 相位校正的一階LESO

對于常用的增大帶寬參數(shù)ω0提升干擾估計(jì)能力,可視作將頻域特性曲線右移,則對于帶寬內(nèi)的某一頻率而言其相位延遲能夠得到減小,但是以對數(shù)為橫軸的頻域特性,想要顯著減小帶寬內(nèi)相位延遲,帶寬參數(shù)往往要增加一個數(shù)量級,因此LESO往往依靠很大的增益系數(shù)。而由頻域特性可見,無論ω0取值如何,其在帶寬頻率點(diǎn)ω0附近一定具有很大的相位延遲,因此增大帶寬參數(shù)只是將高相角延遲的部分向更高頻轉(zhuǎn)移了。

增大帶寬參數(shù)ω0將在控制回路中引入更多高頻部分,對整個系統(tǒng)產(chǎn)生影響,與文獻(xiàn)[19,20]類似,對于使用降階LESO作為干擾補(bǔ)償、控制器使用PD控制時產(chǎn)生的控制信號如下

(9)

(10)

由式(10)可見,降階LESO對使用PD控制器的控制系統(tǒng)的影響可以近似等效于在原PD控制器的基礎(chǔ)上加入了新的PID成分,其對整個控制回路的影響也與這個PID近似相同,當(dāng)選擇帶寬參數(shù)ω0=100時,降階LESO近似于一個系數(shù)都在幾百的PID控制器。對于飛行器控制系統(tǒng)而言,過大的控制器系數(shù)將導(dǎo)致控制器對小偏差過于敏感,在姿態(tài)角誤差、姿態(tài)角速度誤差很小時就輸出一個很大的控制信號,產(chǎn)生很大的控制力矩,導(dǎo)致飛行器達(dá)到期望姿態(tài)角時仍存在角速度繼續(xù)運(yùn)動形成反向誤差,這將最終導(dǎo)致飛行器在期望姿態(tài)角度值附近來回震蕩,這會對機(jī)體執(zhí)行器件和氣動性能造成很大的影響。

可見,雖然增大帶寬參數(shù)ω0能夠改善LESO的干擾估計(jì)能力,但是由于干擾補(bǔ)償回路引入了更多高頻分量,將對控制回路產(chǎn)生嚴(yán)重的影響,因此實(shí)際應(yīng)用中很難在LESO中應(yīng)用大帶寬參數(shù)。

4 相位校正的LESO

由以上兩節(jié)可見,LESO的本質(zhì)就是由系統(tǒng)的狀態(tài)量得到加速度,減去控制量后經(jīng)過濾波環(huán)節(jié)。而LESO對干擾的估計(jì)誤差來源于這個濾波環(huán)節(jié)的相位延遲,通?？梢允褂玫臏p小延遲的方法包括降低觀測器階數(shù)、增大觀測器帶寬ω0,而帶寬過大不但使系統(tǒng)對高頻信號過于敏感,帶寬ω0處也依舊存在高延遲高幅值的部分。

為了降低帶寬內(nèi)LESO的相位延遲,首先降低LESO的階數(shù),對于可以獲得角速度信號的飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)而言,雖然降階LESO相位延遲最小但是由于其帶寬外衰減程度較低且需要額外設(shè)置積分器,故選擇一階LESO作為控制回路的干擾觀測器。其次,帶寬法將LESO極點(diǎn)配置在同一位置上,能夠保證帶寬內(nèi)相位延遲最小,帶寬外幅值衰減最大,因此依舊使用帶寬法設(shè)計(jì)觀測器增益系數(shù)。最后對于大帶寬參數(shù)對系統(tǒng)的影響,采用小帶寬參數(shù)配合無源超前網(wǎng)絡(luò),提升低頻部分的相位,而不改變頻域特性的高頻部分。

以帶寬ω0=50時,選擇超前滯后校正網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)如下

(11)

可見,對于低頻部分,超前校正使校正后的LESO傳遞函數(shù)相位滯后大大減小了,頻率8rad/s處相位延遲從-22°降低到了-10.2°。對于高頻部分,滯后網(wǎng)絡(luò)提供了幅值衰減,使相位延遲較大的信號被充分濾掉,同時對于更高頻部分仍保持了幅值-40的斜率衰減。通過頻域校正的辦法,對于飛行器存在的某些固有頻率干擾,也可以根據(jù)其頻率對應(yīng)的幅相特性重點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)償。

使一階LESO與相位校正的一階LESO對某一包含了斜坡、正弦和方波的干擾信號進(jìn)行估計(jì),其結(jié)果如下圖所示。

由圖4可見,相位校正后的一階LESO對干擾收斂速度有所提高,對于0-1s的斜坡干擾和1-2s的正弦干擾,其估計(jì)誤差大大降低了;但是對2-4s的方波干擾觀測時存在超調(diào),這是因?yàn)橄辔恍Ｕ蟮母蓴_估計(jì)值z3不再滿足阻尼比ξ=1的無超調(diào)結(jié)構(gòu)。但是由圖5可見,相位校正的一階LESO雖然存在超調(diào),但是其估計(jì)誤差的絕對值仍小于原LESO。

圖4 相位校正LESO對干擾估計(jì)量

圖5 相位校正LESO干擾估計(jì)誤差

對于干擾補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)而言,設(shè)被控系統(tǒng)所受總擾動為f,系統(tǒng)受到補(bǔ)償效果為,則補(bǔ)償后系統(tǒng)所受的擾動殘差f-。對于擾動補(bǔ)償而言,首要任務(wù)是降低系統(tǒng)受到擾動殘差的幅值,則對于補(bǔ)償殘差f-和擾動f的大小關(guān)系如下表所示。

由表1可見,相位校正的LESO雖然破壞了帶寬法具備的無超調(diào)特性,其超調(diào)部分的估計(jì)誤差絕對值更小,則補(bǔ)償殘差幅值|f-|小于原LESO,同時對于飛行器姿態(tài)控制而言,其所受的總擾動大多為快變連續(xù)形式,更接近于三角波和正弦波的形式,因此相位校正的LESO具有更好的補(bǔ)償效果。

表1 補(bǔ)償殘差f-和擾動f的大小關(guān)系

表1 補(bǔ)償殘差f-和擾動f的大小關(guān)系

補(bǔ)償殘差大小補(bǔ)償效果|f-^f|<|f|正作用|f-^f|>|f|反作用|f-^f|=|f|無作用

5 仿真分析

以某飛行器主動段為例,采用空氣舵進(jìn)行姿態(tài)控制,對俯仰角φ、偏航角ψ分別使用相位校正的LESO,控制器選用PD控制,在考慮各種典型干擾的條件下進(jìn)行仿真,仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖見圖6。

圖6 仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

為了證明相位校正的LESO能夠具有更好的低頻特性,同時又避免了大參數(shù)帶來的引入高頻信號的問題。設(shè)置帶寬參數(shù)如表2的三組一階LESO進(jìn)行對比試驗(yàn)。

表2 帶寬參數(shù)

仿真結(jié)果如下:

圖7-8是加入某典型干擾條件下俯仰角、偏航角與指令姿態(tài)角的誤差曲線。由對比結(jié)果可見,在機(jī)體具有較大姿態(tài)角速度擾動的條件下,在0-8s時由于三組的俯仰舵、偏航舵均已經(jīng)飽和,無法更多地執(zhí)行補(bǔ)償信號,因此這段時間內(nèi)三組誤差大致相等。

圖7 俯仰角誤差

在9-15s時,相較于第1組,第2組的俯仰角誤差收斂較快,偏航角誤差震蕩較小,表明相位延遲小的LESO能夠更好地對擾動進(jìn)行補(bǔ)償。

但是由圖7可見,第3組在15s后俯仰角誤差出現(xiàn)了較大波動,導(dǎo)致其在三組中最慢收斂至0;由圖8可見20s后偏航角誤差持續(xù)震蕩并最終也沒有收斂至0。由圖10可見,第3組的偏航角速度在20s后出現(xiàn)了明顯的高頻震蕩,這就是過大的帶寬參數(shù)ω0引入更多高頻分量導(dǎo)致的。此時控制信號中的高頻震蕩最終導(dǎo)致偏航角誤差無法收斂,嚴(yán)重影響了控制效果,并表明:單純依靠增大帶寬參數(shù)來提升觀測器性能的方法并不一定能改善控制品質(zhì)。而第2組相位校正的LESO因?yàn)橐种屏烁哳l部分的幅值而避免了這個問題。

圖8 偏航角誤差

圖9 俯仰角速度

圖10 偏航角速度

仿真結(jié)果表明:相位校正的LESO不但通過低頻段相位補(bǔ)償有效地提升了系統(tǒng)的抗擾動能力,還通過高頻段幅值衰減避免了高頻信號造成震蕩發(fā)散,使機(jī)體姿態(tài)控制品質(zhì)得到提升。

選取第2組中相位校正前后LESO觀測誤差的絕對值|f-|如下圖所示。

由圖11-12可見,相位校正后的LESO對擾動的估計(jì)誤差絕對值小于原LESO。統(tǒng)計(jì)仿真中0-60s的數(shù)據(jù),在俯仰通道中相位校正LESO的干擾估計(jì)誤差92.92%的部分更小;在偏航通道中87.55%的部分更小,說明相位校正后的干擾估計(jì)值整體更接近于干擾真值。

圖11 俯仰估計(jì)誤差

圖12 偏航估計(jì)誤差

6 結(jié)論

本文針對LESO進(jìn)行了頻域分析,發(fā)現(xiàn)LESO本質(zhì)是以系統(tǒng)輸出微分得到系統(tǒng)加速度量,再減去其中的控制量影響,即得到系統(tǒng)所受的總干擾,并將其低通濾波后加入控制量中進(jìn)行補(bǔ)償,而LESO的相位延遲直接導(dǎo)致干擾估計(jì)量滯后于干擾真值產(chǎn)生誤差。傳統(tǒng)方法依靠增大帶寬參數(shù)減小相位延遲提升干擾估計(jì)精度的辦法同時引入大量高頻信號,導(dǎo)致系統(tǒng)震蕩。本文基于降低LESO相位延遲的目的對LESO進(jìn)行降階,并通過安排校正網(wǎng)絡(luò)的辦法保證了帶寬參數(shù)較小的情況下低頻部分相位延遲降低。仿真結(jié)果表明,本文的方法能夠有效提升干擾估計(jì)精度、提升系統(tǒng)抗干擾能力,達(dá)到更好的控制精度。該方案在解決飛行器主動段氣動干擾較強(qiáng),以及大初始姿態(tài)誤差等控制問題上有著較大的優(yōu)勢。