Alpha穩(wěn)定分布噪聲下基于特征值之差頻譜感知算法

陳增茂, 汪楷淋, 孫志國(guó),*, 孫溶辰, 阿爾斯楞

(1. 哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學(xué)工業(yè)和信息化部先進(jìn)船舶通信與信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

頻譜感知作為認(rèn)知無線電的基礎(chǔ),是認(rèn)知無線電領(lǐng)域的重點(diǎn)研究問題之一[1-3],其本質(zhì)是在不干擾授權(quán)用戶正常通信的前提之下,次級(jí)用戶利用各種檢測(cè)技術(shù)快速準(zhǔn)確地識(shí)別授權(quán)用戶信號(hào)的存在與否[4],為其動(dòng)態(tài)頻譜接入提供先驗(yàn)信息,提高了無線電頻譜資源的利用率。目前,高斯噪聲背景下的頻譜感知技術(shù)已經(jīng)相當(dāng)成熟[5],但當(dāng)存在非高斯背景的脈沖噪聲時(shí),很多現(xiàn)有的頻譜感知算法的性能下滑比較明顯,復(fù)雜的環(huán)境給頻譜感知帶來了很大挑戰(zhàn)[6]。

Alpha穩(wěn)定分布噪聲模型是目前描述真實(shí)通信環(huán)境中噪聲最優(yōu)秀的噪聲之一,其符合廣義中心極限定理[7],包括了高斯分布(特征指數(shù)α=2)和分?jǐn)?shù)低階分布(特征指數(shù)α<2)兩種情況。Alpha穩(wěn)定分布噪聲模型在信號(hào)處理領(lǐng)域得到了快速的發(fā)展和應(yīng)用,所以Alpha穩(wěn)定分布噪聲下頻譜感知模型的建立與理論分析是一個(gè)重要的問題。

1925年,Furutsu等在研究廣義中心極限定義時(shí)提出了Alpha穩(wěn)定分布噪聲模型[8]。Nikias借助積分和離散傅里葉變換等運(yùn)算,提出了Alpha穩(wěn)定分布噪聲下的基于最大似然感知的最優(yōu)檢測(cè)器,但運(yùn)算過程復(fù)雜難以實(shí)際應(yīng)用。Tsihrintzis等提出了加入限幅器的線性檢測(cè)器,并通過將檢測(cè)器的α設(shè)定為2,降低了計(jì)算過程的復(fù)雜度[9],但其所處環(huán)境中Alpha穩(wěn)定噪聲的特征指數(shù)α波動(dòng)時(shí),其感知性能會(huì)惡化。同樣,將α設(shè)定為1的柯西檢測(cè)器,也面臨特征指數(shù)α小于1時(shí),檢測(cè)器的檢測(cè)性能急劇下降的問題。Tsihrintzis等在Alpha穩(wěn)定分布重尾噪聲中,提出了一種基于未知噪聲矩陣和信號(hào)長(zhǎng)度的廣義似然比檢測(cè)器[10],通過仿真分析了其算法的感知性能。Kuruoglu等通過采用有限個(gè)數(shù)的高斯模型混合來近似Alpha穩(wěn)定分布模型,提出了近似最優(yōu)檢測(cè)器[11],雖然提升了對(duì)Alpha穩(wěn)定噪聲的適應(yīng)能力,但設(shè)計(jì)混合高斯模型的過程復(fù)雜,難以實(shí)際應(yīng)用。

上述的方法均是想要通過給出Alpha穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的近似表達(dá),從而解決Alpha穩(wěn)定分噪聲環(huán)境下的頻譜感知問題,一方面其計(jì)算過程復(fù)雜,另一方面其檢測(cè)性能會(huì)受噪聲特征指數(shù)的制約,不具備魯棒性。

另外一種次優(yōu)方法就是在線性檢之前采用非線性預(yù)處理,然后采用似然比進(jìn)行授權(quán)用戶信號(hào)檢測(cè)[12],此方法可以提升檢測(cè)性能,但由于其實(shí)現(xiàn)過于復(fù)雜導(dǎo)致感知效果往往并不理想。根據(jù)Alpha穩(wěn)定分布的特性,其雖不存在二階統(tǒng)計(jì)量和高階統(tǒng)計(jì)量,但所有階數(shù)小于特征指數(shù)α的統(tǒng)計(jì)量都是有限的,并稱之為分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量[13],其中的分?jǐn)?shù)低階矩已成為研究Alpha穩(wěn)定分布的不可或缺的工具。Jiang等總結(jié)描述了分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜、廣義分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差和廣義分?jǐn)?shù)低階高次譜等[14],并分析展示了這些統(tǒng)計(jì)量在信號(hào)檢測(cè)中應(yīng)用的價(jià)值。趙春暉等在正定矩陣特征值分解的推導(dǎo)過程中,提出了分?jǐn)?shù)低階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量[15],提升了基于循環(huán)特征檢測(cè)在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下的感知性能,但其計(jì)算過程復(fù)雜。朱衛(wèi)平等通過提出一種基于分?jǐn)?shù)低階矩的變式能量感知算法[16],實(shí)現(xiàn)了Alpha穩(wěn)定分布噪聲下的能量感知,但隨著噪聲背景的動(dòng)態(tài)變化,每次感知過程都需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算,難以在工程上實(shí)現(xiàn)。宋永健等采取分?jǐn)?shù)低階矩采樣協(xié)方差來降低非高斯特性[17],實(shí)現(xiàn)了Alpha穩(wěn)定分布噪聲下的基于特征值的感知算法,但其在低信噪比條件下感知性能不佳。Liu等利用多個(gè)接收天線合作,將最大廣義熵的概念引進(jìn)了頻譜感知算法之中[18],但其局限于對(duì)稱Alpha穩(wěn)定分布噪聲模型。

在現(xiàn)代多天線的無線電移動(dòng)通信系統(tǒng)中,越來越多的通信設(shè)備配備了多天線用于提高通信鏈路可靠性和改進(jìn)通信質(zhì)量[19],因此基于特征值的感知算法也吸引了越來越多的學(xué)者關(guān)注[20]?；谔卣髦档念l譜感知算法是通過接收信號(hào)樣本協(xié)方差矩陣來計(jì)算接收信號(hào)之間的相關(guān)性,從而對(duì)授權(quán)用戶信號(hào)的存在與否做出判斷[21],此類方法極大程度地提升了次級(jí)用戶對(duì)授權(quán)用戶信號(hào)的感知能力。例如,Zeng等利用采樣信號(hào)協(xié)方差矩陣的最大最小特征值在授權(quán)用戶存在和不存在時(shí)的差異,提出了一種最大-最小特征值之比(ratio of maximum-minimum eigenvalue,MME)的感知算法[22]。隨后,Wang等提出了基于采樣信號(hào)協(xié)方差矩陣最大-最小特征值之差(difference between the maximum and minimum,DMM)的感知算法[23],DMM算法與MME算法相比,消除了噪聲不確定性的影響,具有更好的感知性能,但MME算法和DMM算法也存在只利用極端特征值的缺陷,其感知性能有待進(jìn)一步提升。Zhang等在廣義似然比檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上利用所有特征值的算術(shù)平均和幾何平均構(gòu)建了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量[24],提出了一種算數(shù)均值與幾何均值之比(arithmetic means togeometric means,AGM)的感知算法。Wang等提出了于采樣信號(hào)協(xié)方差矩陣最大特征值與跡之比(ratio of maximum eigenvalue to trace,MET)的算法[25],在瑞利衰落信道下獲得了較好的感知性能。Pillay等提出了于采樣信號(hào)協(xié)方差矩陣最大特征值與特征值幾何均值之比(ratio of the maximum eigenvalue to geometric mean of eigenvlues,MEGM)的算法,在Nakagami衰落信道下獲得了良好的感知性能[26]。MET算法和MEGM算法更加適用于高斯白噪聲下衰落信道背景,但在Alpha穩(wěn)定分布噪聲為背景下的感知性能不佳。

基于上述分析,本文在Alpha穩(wěn)定分布噪聲為背景,提出了一種基于對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)低階矩和歸一化預(yù)處理的最大特征值與特征值幾何均值之差(difference between maximun eigenvalue and geometric mean of eigenvalue,DMGM)的頻譜感知算法,通過預(yù)處理降低噪聲的脈沖特性,后利用預(yù)處理后的采樣數(shù)據(jù)構(gòu)建采樣協(xié)方差矩陣,并利用矩陣的最大特征值與幾何均值之差構(gòu)建感知統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)隨機(jī)矩陣?yán)碚摵秃闾摼怕蕼?zhǔn)則推導(dǎo)了感知門限與虛警概率的關(guān)系式。通過蒙特卡羅仿真分析算法的感知性能,與傳統(tǒng)的基于分?jǐn)?shù)低階矩采樣協(xié)方差矩陣的MME算法以及DMM算法進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明,與MME算法和DMM算法相比,本文所提DMGM算法在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下有較好的感知性能。

1 系統(tǒng)模型

1.1 頻譜感知系統(tǒng)模型

頻譜感知問題是一個(gè)經(jīng)典的信號(hào)檢驗(yàn)問題,授權(quán)用戶的存在與否決定了次級(jí)用戶占用頻譜的機(jī)會(huì),通常將其視為一個(gè)二元假設(shè)問題,包含H0和H1兩個(gè)假設(shè),假設(shè)H0表示授權(quán)用戶信號(hào)不存在,假設(shè)H1表示授權(quán)用戶信號(hào)存在。次級(jí)用戶配備具有M個(gè)天線的多天線接收器進(jìn)行信號(hào)接收處理,每根天線的采樣點(diǎn)數(shù)為N,建立如下假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?

(1)

式中:m=1,2,…,M;n=1,2,…,N;zm(n)是次級(jí)用戶的第m根天線接收到的第n個(gè)時(shí)隙收到的信號(hào);s(n)是第m根天線檢測(cè)到的授權(quán)用戶信號(hào);hm表示授權(quán)用于與第m根天線之間的信道增益;ωm(n)為Alpha穩(wěn)定分布噪聲。授權(quán)用戶信號(hào)s(n)是服從零均值的任意分布。s(n)和ωm(n)都是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,且滿足彼此獨(dú)立的條件。不失一般性,假定檢測(cè)期間內(nèi)信道增益hm保持不變。

1.2 Alpha穩(wěn)定分布模型

Alpha穩(wěn)定分布很好地?cái)M合了通信系統(tǒng)中的脈沖噪聲分布[27],如大氣噪聲、人為噪聲等。鑒于Alpha穩(wěn)定分布堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)以及對(duì)脈沖噪聲的良好擬合效果,其已被廣泛應(yīng)用于描述通信系統(tǒng)中的噪聲模型。Alpha穩(wěn)定分布最為顯著的特征就是概率分布函數(shù)具有厚重的拖尾,其特征函數(shù)表示為

φ(t)=exp{jμt-γ|t|α[1+jβsign(t)ω(t,a)]}

(2)

(3)

(4)

式中:α為特征指數(shù);γ為尺度參數(shù);β為位置參數(shù)和a為對(duì)稱參數(shù)。從圖1可以看出,特征指數(shù)α可以控制整個(gè)分布拖尾的厚度,α的值越大,其概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)的拖尾越輕薄,噪聲的非高斯性越弱,出現(xiàn)大幅值樣本的概率越小;反之,α的值越小,其PDF的拖尾越厚重,噪聲的非高斯性越強(qiáng),出現(xiàn)大幅值樣本的概率越大。因此,Alpha穩(wěn)定分布噪聲背景下的頻譜感知算法需要考慮降低這些較大的噪聲樣本值,來降低感知算法的虛警概率。

圖1 Alpha穩(wěn)定分布Fig.1 Alpha stable distribution

2 本文所提算法

2.1 DMGM感知算法設(shè)計(jì)

雖然Alpha穩(wěn)定分布沒有二階統(tǒng)計(jì)量,但可以通過對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理將其轉(zhuǎn)換。本文采用分?jǐn)?shù)低階矩和歸一化處理對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理,進(jìn)而獲得分?jǐn)?shù)低階矩樣本協(xié)方差矩陣,再對(duì)分?jǐn)?shù)低階矩樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,利用其特征值構(gòu)建感知統(tǒng)計(jì)量。通過分?jǐn)?shù)低階矩和歸一化達(dá)到降低Alpha穩(wěn)定分布噪聲中過大的樣本值的目的,從而提高脈沖噪聲下算法的感知性能,并且低階矩p值的選擇直接影響感知性能。預(yù)處理過程表示如下:

(5)

(6)

在尺度參數(shù)γ已知的情況下,對(duì)接收信號(hào)均值進(jìn)行歸一化處理并不會(huì)影響其方差,歸一化之后的樣本方差為

(7)

特征值指數(shù)α=1.6的Alpha穩(wěn)定分布噪聲經(jīng)過預(yù)處理后的概率密度函數(shù)和高斯加性噪聲的分布函數(shù)如圖2所示?？梢钥闯?預(yù)處理后的Alpha穩(wěn)定分布噪聲的概率密度函數(shù)與高斯噪聲的概率密度函數(shù)接近重合,這說明Alpha穩(wěn)定分布噪聲經(jīng)過預(yù)處理后服從高斯分布,適用中心極限定理,證明了分?jǐn)?shù)低階矩和歸一化處理對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理的有效性。

(8)

(9)

(10)

2.2 算法的理論基礎(chǔ)

基于近年來的隨機(jī)矩陣?yán)碚摰难芯砍晒?在此引入關(guān)于樣本協(xié)方差矩陣的最大特征值的相關(guān)性質(zhì)。

根據(jù)性質(zhì)2可知:

(11)

2.3 DMGM算法的感知門限理論推導(dǎo)

這里TDMGM和ηDMGM分別表示為感知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和感知門限。其中,ηDMGM的選取直接決定了感知性能的好壞。

DMGM算法的虛警概率可表示為

(12)

基于定理1,則有:

(13)

(14)

綜上,DMGM算法步驟如下。

步驟 3將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量TDMGM與感知門限ηDMGM進(jìn)行比較,得到判決結(jié)果,如果TDMGM>ηDMGM,則判決為H1,反之則判決為H0。

本文所提DMGM算法屬于全盲檢測(cè)感知算法,通過利用采樣數(shù)據(jù)來做出判決而無需知曉信號(hào)及信道的先驗(yàn)信息。在運(yùn)算時(shí)間復(fù)雜度方面,DMM算法和MME算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(M3+MlogM+1)。與DMM算法和MME算法相比,DMGM算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(M3+MlogM+M+1),其增加的O(M)與求樣本協(xié)方差矩陣特征值所需的O(M3)相比,是可以忽略不計(jì)的。

3 算法仿真與分析

本節(jié)將通過仿真實(shí)驗(yàn)評(píng)估所提出DMGM算法的有效性。本文的仿真條件設(shè)定參考了已有文獻(xiàn),即假設(shè)授權(quán)用戶獨(dú)立發(fā)送正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)信號(hào),次級(jí)用戶的接收天線數(shù)為4,采樣點(diǎn)數(shù)為2 000,并在每個(gè)預(yù)設(shè)的信噪比下進(jìn)行10 000次蒙特卡羅仿真,并對(duì)不同算法的接收機(jī)工作特征曲線(receiver operating characteristic curve,ROC)性能進(jìn)行對(duì)比,能夠直觀地看出不同算法的感知性能差異。需要特殊說明的是,由于Alpha穩(wěn)定分布噪聲下二階統(tǒng)計(jì)量不再收斂,傳統(tǒng)的信噪比失去了意義,因此定義廣義信噪比(generalized signal to noise ratio,GSNR)[28]為

(15)

實(shí)驗(yàn) 1DMGM算法的判決門限的有效性。

以α=1.5為例,首先驗(yàn)證了所推導(dǎo)出的DMGM算法的判決門限的有效性,結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?檢測(cè)判決門限ηDMGM與采樣點(diǎn)數(shù)N有關(guān),且隨采樣點(diǎn)數(shù)的增加而降低;在只有噪聲存在的情況下,實(shí)際檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量是略小于理論門限值的,但由于虛警概率Pfa的存在,會(huì)有少數(shù)感知統(tǒng)計(jì)量越過了理論門限閾值曲線,且隨著采樣點(diǎn)數(shù)N的增加,大部分的傳感結(jié)果都分布在理論門限閾值曲線以下的區(qū)域,證明了本文對(duì)DMGM算法門限推導(dǎo)有效性。

圖3 DMGM算法門限的有效性Fig.3 Effectiveness of DMGM algorithm thresholds

實(shí)驗(yàn) 2以α=1.8為例,接下來將本文所提的DMGM算法與MME算法以及DMM算法進(jìn)行對(duì)比。

3種算法的檢測(cè)概率隨GSNR的變換情況如圖4所示?？梢钥闯?本文所提的DMGM算法在所有的信噪比區(qū)域內(nèi)尤其是低信噪比區(qū)域內(nèi)的感知性能均優(yōu)于MME算法以及DMM算法。例如,當(dāng)GSNR為-5 dB時(shí),DMM算法的檢測(cè)概率不足0.5, MME算法的檢測(cè)概率為0.7左右,而DMGM算法的檢測(cè)概率為0.9。原因在于本文所提的DMGM算法采用了不易受極端特征值影響的特征值均值代替了最小特征值,利用了更多的特征信息,檢測(cè)性能有所提升,且特征值的幾何均值與信號(hào)的平均功率近似相等,該功率特性保證了DMGM算法能在低信噪比情況下的檢測(cè)性能。

圖4 檢測(cè)概率隨GSNR變化的ROC性能對(duì)比Fig.4 ROC performance comparison of detection probability as GSNR changes

實(shí)驗(yàn) 3在GSNR=-5 dB條件下,以α=1.5為例,驗(yàn)證了天線數(shù)目變化對(duì)3種算法感知性能的影響。

參與感知的天線數(shù)目M對(duì)算法檢測(cè)概率影響的結(jié)果如圖5所示?？梢钥闯?隨著天線數(shù)M的增加,DMGM算法的檢測(cè)概率得以提升且優(yōu)于MME算法和DMM算法。原因在于特征值幾何均值包含了所有的特征值信息,更能體現(xiàn)出采樣信號(hào)矩陣的“特性”,且隨著天線數(shù)M的增加,特征值數(shù)量也增加,特征值幾何均值的優(yōu)勢(shì)更加明顯,因此DMGM算法感知性能更佳。

圖5 檢測(cè)概率隨天線數(shù)變化的ROC性能對(duì)比Fig.5 ROC performance comparison of detection probability varying with the number of antennas

實(shí)驗(yàn) 4在GSNR=-5 dB條件下,以α=1.5為例,驗(yàn)證了不同虛警概率Pfa對(duì)算法檢測(cè)概率的影響。

不同虛警概率Pfa對(duì)算法檢測(cè)概率的影響的結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?隨著虛警概率Pfa增加,DMGM算法的檢測(cè)概率提升最快,在Pfa=0.5的情況下檢測(cè)概率接近0.9,明顯優(yōu)于MME算法和DMM算法,也進(jìn)一步表明了低信噪比條件下,本文所提的DMGM算法的優(yōu)越性。

圖6 檢測(cè)概率隨虛警概率變化的ROC性能對(duì)比Fig.6 ROC performance comparison of detecting probability changing with false alarm probability

實(shí)驗(yàn) 5以p=0.3為例,接下來驗(yàn)證了Alpha穩(wěn)定分布噪聲的特征指數(shù)α對(duì)DMGM算法感知性能的影響。

特征指數(shù)α對(duì)DMGM算法感知性能的影響的結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?當(dāng)分?jǐn)?shù)階次p固定時(shí),特征指數(shù)越α趨近于2,Alpha穩(wěn)定分布噪聲的脈沖性越弱,DMGM算法的感知性能越好。

圖7 檢測(cè)概率隨噪聲的特征指數(shù)變化的ROC性能對(duì)比Fig.7 ROC performance comparison of detection probability changing with noise characteristic index

實(shí)驗(yàn) 6以α=1.8為例,接下來驗(yàn)證了不同分?jǐn)?shù)階次p對(duì)DMGM算法檢測(cè)概率的影響。

不同分?jǐn)?shù)階次p對(duì)檢測(cè)概率影響的結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯?隨著分?jǐn)?shù)階次p的降低,DMGM算法的檢測(cè)概率得以提升。原因在于特征值指數(shù)α固定時(shí),分?jǐn)?shù)階次p越低,預(yù)處理過程對(duì)Alpha穩(wěn)定分布噪聲的非高斯性降低越有效,DMGM算法的感知性越好。

圖8 不同分?jǐn)?shù)階次下DMGM算法的ROC性能對(duì)比Fig.8 ROC performance comparison of DMGM algorithm under different fractional order

4 結(jié) 論

本文在Alpha穩(wěn)定分布噪聲背景下,通過分?jǐn)?shù)低階矩和歸一化預(yù)處理降低了Alpha穩(wěn)定分布噪聲的脈沖特性,消除噪聲中大樣本值對(duì)感知性能的損害?；陔S機(jī)矩陣?yán)碚?提出了DMGM頻譜感知算法,且推導(dǎo)出與其相對(duì)應(yīng)的感知門限。理論分析與仿真表明,該算法在Alpha穩(wěn)定分布噪聲條件下比基于分?jǐn)?shù)低階的MME算法以及DMM算法具有更好的感知性能。