基于速度預測的防空導彈中制導末段協(xié)同彈道規(guī)劃方法

崔正達, 魏明英, 李運遷

(1. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854; 2. 北京仿真中心, 北京 100854)

0 引 言

遠程防空導彈攔截目標時,由于相距目標更遠,目標指示信息精度低,散布區(qū)域大,傳統(tǒng)中制導方法難以實現(xiàn)中、末制導交班。在中制導末段增加多攔截彈協(xié)同搜索過程可拓展交班空域,提升導引頭對目標捕獲概率,增強攔截彈對低精度目指信息的適應能力,是遠程防空制導技術(shù)的重要研究方向[1-2]。

飛行器協(xié)同中制導本質(zhì)是復雜多約束條件下的軌跡規(guī)劃問題。目前,時間約束中制導多以高超聲速飛行器再入為背景,通過解析或數(shù)值的方法得到剩余飛行時間與控制參數(shù)之間的映射關(guān)系。研究思路可歸結(jié)為調(diào)整剩余飛行航程和調(diào)整飛行速度兩種策略。航程調(diào)整來自常規(guī)導彈橫、縱平面分離的設計思想,李文等[3]基于一致性理論和小角度線性化模型,取相對距離和接近速度為協(xié)調(diào)變量,設計側(cè)向航程調(diào)整策略解決了時間協(xié)同打擊問題。喬浩等[4]采用公共軌跡長度作為協(xié)調(diào)變量,建立了機動系數(shù)與飛行時間的對應關(guān)系,設計了一致性靜態(tài)協(xié)同方法。Yu等[5]在恒值升阻比條件下考慮地球自轉(zhuǎn)影響,推導出了滑翔段高精度解析解,給出可規(guī)避禁飛區(qū)的再入制導律。并在此基礎上推導剩余飛行時間解析表達式[6],降低了飛行時間預測難度。周宏宇等[7]在滑翔段將軌跡調(diào)制到特定形式獲得滑翔彈運動狀態(tài)解析解,并借助強化學習改進粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法參數(shù),提高了在線優(yōu)化效率。受限于復雜動力學模型,現(xiàn)有調(diào)整飛行速度的文獻僅在簡單場景下有所應用[8],Li等[9]將傾側(cè)角剖面指令參數(shù)化,在阻力加速度剖面內(nèi)采用數(shù)值預測校正方法調(diào)整飛行速度,實現(xiàn)高超聲速飛行器協(xié)同打擊靜止目標。王肖等[10]提出速度-高度剖面規(guī)劃方法,數(shù)值計算高度軌跡與剩余飛行時間關(guān)系,實現(xiàn)了再入時間控制。王浩凝等[11]在此基礎上進一步拓展了動態(tài)攻角剖面,將攻角也作為控制量實現(xiàn)了時間約束制導。

上述文獻有效解決了高超聲速飛行器時間協(xié)同彈道規(guī)劃和靜止、慢速移動目標協(xié)同打擊問題,在各自的場景中取得了很好的效果。在協(xié)同搜索空中動目標背景下,為了給導引頭創(chuàng)造良好的探測交班條件,中制導末段協(xié)同彈道規(guī)劃對搜索起始時間、空間、速度和速度矢量角均有嚴格約束。但是該階段飛行高度、飛行動壓均存在大幅變化,飛行速度在氣動力作用下快速衰減,基于“平衡滑翔假設”和“阻力系數(shù)常值假設”的解析解法會帶來較大誤差?？紤]到時域動力學模型中,高度、速度、彈道傾角為縱向參數(shù),耦合空氣密度后顯著影響飛行器的速度變化規(guī)律,且中制導目標點為預測交班點,尚未引入目標機動。所以可在縱平面內(nèi)研究滿足時、空、角一致性約束的中制導末段協(xié)同彈道規(guī)劃方法。

本文針對中制導末段多彈協(xié)同搜索空中動目標問題,考慮阻力系數(shù)隨彈道時變的影響,提出一種基于速度預測的縱平面協(xié)同彈道規(guī)劃算法,實現(xiàn)多彈協(xié)同搜索起始點的時間、空間、角度一致性。具體內(nèi)容如下:① 考慮阻力系數(shù)變化給出半解析時間預測方法,建立了剩余飛行時間、飛行速度變化規(guī)律與彈道參數(shù)之間的聯(lián)系,可解析推算攔截彈飛行能力邊界,減少規(guī)劃算法需處理的約束量;② 通過彈道整形變量的選取將多彈協(xié)同規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題;③ 采用改進PSO算法進行協(xié)同規(guī)劃問題求解,引入動態(tài)自適應權(quán)重系數(shù),根據(jù)種群收斂/發(fā)散趨勢平衡搜索速度和精度,結(jié)合借鑒花卉授粉算法和高斯擾動取代無效粒子,提高粒子利用率并規(guī)避局部最優(yōu)解;④ 結(jié)合反饋線性化跟蹤制導律,設計基于改進PSO算法的在線協(xié)同軌跡規(guī)劃方法,通過在線預測多次規(guī)劃的方式克服彈道散布和參數(shù)偏差,得到可行域內(nèi)的協(xié)同彈道和縱平面內(nèi)規(guī)劃能力邊界;⑤ 最后考慮工程實現(xiàn),通過數(shù)學仿真分析了算法對指令計算耗時和參數(shù)偏差的適應性,驗證了中制導末段協(xié)同彈道規(guī)劃方法的快速性和有效性。

1 中制導末段彈道協(xié)同規(guī)劃模型

1.1 攔截彈運動模型

假設地球為無轉(zhuǎn)動的勻質(zhì)圓球,得到

(1)

式中:V為攔截彈相對地面速度標量;r為攔截彈地心距;θ為當?shù)貜椀纼A角,定義為速度方向與當?shù)厮矫娴膴A角,向上為正;m為攔截彈質(zhì)量;g為當?shù)匾铀俣?Y和D為攔截彈所受的升力及阻力;CL、CD分別表示攔截彈升力、阻力系數(shù);ρ為空氣密度,Sref為攔截彈參考面積,由于只考慮縱平面的運動所以控制量只有攻角α。定義攔截彈地心距r與地球半徑之差為高度h;從當前位置到終端位置剩余距離在地面投影長度為射程RL。

1.2 中制導彈道形狀

飛行彈道采用的彈道形狀,以剩余射程RL為自變量,飛行高度h為因變量,設計滿足位置約束并方便求解終端角度的縱向飛行剖面[12]軌跡為

(2)

式中:

(3)

若采用空氣密度指數(shù)表達式,非線性特性可被消除,方便解析降階:

(4)

該方程有a0～a5共6個未知變量,除去初始高度h0、初始彈道傾角θ0、終端高度hf、終端彈道傾角θf外,記h1,h2分別為航程1/3、2/3處高度值。則可將6個參數(shù)作為約束條件代入式(2)線性解算未知變量,得到滿足位置、高度和角度約束的彈道,彈道中段形狀完全由h1,h2兩個參數(shù)決定,選取這兩個變量為單攔截彈彈道整形變量,記為U=(h1,h2)T,不同取值對應不同的交班時速。

1.3 高精度半解析交班時速求解

由運動學方程可得

(5)

(6)

式中:

(7)

并以剩余距離RL為自變量求導,根據(jù)彈道剖面表達式(2)求得另一組關(guān)于彈道傾角及其變化率的表達式:

(8)

(9)

聯(lián)立式(6)和式(9),得到升力簡化表達式:

(10)

為了求得剩余時間和交班速度的解析解,式(10)得到需用升力與彈道參數(shù)的關(guān)系后,還需要尋找阻力與彈道剖面表達式的關(guān)系。升力與阻力之間的關(guān)系與攻角、馬赫數(shù)有關(guān),所以從氣動力系數(shù)表達式入手。

氣動力系數(shù)CL和CD可以表示為攻角和馬赫數(shù)的函數(shù):

CL=CL0+CLαα+CLα2α2

(11)

CD=CD0+CDα2α2+CDM2Mach2

(12)

攔截彈采用軸對稱外形,零攻角升力很小,CL0約在0.02量級,將其作為小量忽略,式(11)寫為

CLα2α2+CLαα-CL=0

(13)

由求根公式反解α有:

(14)

根據(jù)物理含義舍掉負解,結(jié)合式(1)得

(15)

以Y+代表升力Y的絕對值,將攻角表達式代入式(12),考慮攻角α對阻力系數(shù)CD的影響得到:

(16)

在彈道高度變化范圍內(nèi),當?shù)芈曀僭?00～290 m/s范圍內(nèi),所以取平均值295 m/s并且認為是常數(shù)。根據(jù)動力學方程有:

(17)

聯(lián)立式(16)及式(17)可得

(18)

式中:Y+=|mg+f″(RL)mV2|,可由式(10)解析求出。

對式(18)進行數(shù)值積分可快速得到交班時刻速度和交班剩余飛行時間。觀察式(18)等號右側(cè)各項代表的含義:第1項兼顧阻力系數(shù)常值項帶來的影響,第2項是阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)變化主導項,第3項是勢能和動能轉(zhuǎn)化項,第4項及以后是平衡重力和改變彈道形狀需要的攻角主導的影響。從4個維度改進了算法對速度的估計,提升預報精度。

圖1給出了中制導不同階段彈道預報和數(shù)學仿真的比較,藍色為全彈道仿真,紅色為阻力系數(shù)常值預報方法,綠色為半解析預報方法,可見本文提出的半解析預報方法具有良好適應能力。

圖1 半解析預測算法對不同彈道的預報偏差Fig.1 Error between semi-analytical estimation and simulation in various trajectory

1.4 協(xié)同中制導末段彈道約束

中制導末段彈道約束分為終端約束和過程約束。終端約束為導引頭創(chuàng)造良好的探測條件,主要包括:時間、高度、射程和彈道傾角;過程約束保證規(guī)劃彈道在攔截彈飛行能力范圍內(nèi),攔截彈穩(wěn)定受控。本文將攔截彈中末制導交班時間作為指標函數(shù),故在此不作約束。歸納得到過程約束:

終端約束:

式中:下標“f”表示實際終端狀態(tài);下標“d”表示期望終端狀態(tài)。值得注意的是,過載約束中最大過載在實際應用中受到兩方面限制:其一是攔截彈結(jié)構(gòu)設計時,根據(jù)結(jié)構(gòu)強度所規(guī)定的彈體最大可承受過載nTmax,其二是攔截彈過載能力由氣動力提供,中制導末段攔截彈最大可用氣動過載分布受全程動壓q影響,其值為nSmax。同樣以剩余射程RL為自變量,最大過載的表達式可簡化為

nmax(RL)=min(nTmax,nSmax(RL))

(19)

由第1.2節(jié)可知,彈道形狀表達式(2)可自動滿足彈道終端高度、位置、角度約束。彈道形狀確定后每一位置的需用升力Y+都可以隨著半解析積分式(18)實時計算。本文利用動壓實現(xiàn)約束轉(zhuǎn)換:

(20)

式(20)可解讀為最大升力約束等價于當前條件下的最大升力系數(shù)約束。如果可以快速求解來流動壓q,則可以避開彈道積分而預知攔截彈過載能力是否在約束范圍內(nèi)。文獻[12]中仿真結(jié)果表明:相對于速度變化和時間積分,本方法對動壓的預報要直接且精準得多。

(21)

對比半解析方法預報的未來可用過載、需用過載和彈道仿真如圖2所示,可快速求解攔截彈控制能力余量,為參數(shù)偏差條件下規(guī)劃彈道的可實現(xiàn)性提供新的視角。

圖2 半解析預測算法得到過載能力邊界Fig.2 Acceleration constraint using semi-analytical estimation

1.5 協(xié)同探測性能指標及待優(yōu)化變量

記Ui=(hi1,hi2)T為第i枚攔截彈的彈道尋優(yōu)參數(shù)、tfi為半解析預測的交班剩余飛行時間。本文設計3枚攔截彈協(xié)同飛行場景,改進PSO算法優(yōu)化3枚攔截彈各自的彈道參數(shù)?？紤]到半解析方法主要預報量為交班時間、交班速度、控制余量,可將上述預報量作為性能指標評價標準時間差值小、控制余量大、交班速度偏差小的彈道為優(yōu),κ和λ可根據(jù)協(xié)同探測能力選擇。則協(xié)同探測問題表述為最小化性能指標函數(shù)J:

(22)

式中:等號右側(cè)第1項為交班時間誤差絕對值;第2項為交班速度誤差絕對值,希望此二項越小越好;第3項為需用過載減去可用過載的時間積分項,同樣是越小越好。增加第3項的原因是高度下降過程中同一個交班時、速可能對應多條彈道,引入第3項可在同樣效果的彈道中選擇控制余量更大的彈道。

可簡化指標函數(shù),僅以交班時間為主要指標如下:

(23)

待優(yōu)化的彈道整形變量U寫為

U=(U1,U2,U3)T=(h11,h12,h21,h22,h31,h32)T

(24)

為高效應用優(yōu)化算法,將彈道整形變量歸一化處理:

(25)

式中:hu=h0-hf為歸一化參數(shù),與分布式相對,本方法在拓撲結(jié)構(gòu)上屬于集中式,以同時對3條彈道尋優(yōu)的方式實現(xiàn)時間一致性。

2 改進PSO算法

PSO算法在拓展能力、收斂性、求解效率上具有一定的優(yōu)勢,故本文基于PSO算法求解協(xié)同軌跡優(yōu)化問題。針對PSO算法的局部最優(yōu)解和收斂速度等問題,采用自適應慣性權(quán)重系數(shù)選擇方法和無效粒子再利用策略,進行綜合改進。

2.1 動態(tài)自適應慣性權(quán)重系數(shù)選取

基本PSO算法適用于連續(xù)非時滯系統(tǒng)的尋優(yōu)問題,同其他智能算法一樣,PSO的結(jié)果在一定程度上也受隨機性的影響,最優(yōu)解的好壞和收斂速度受初始分布影響?？紤]Logistic混沌映射[13]具有一致性和均勻分布的優(yōu)勢,可更為全面的搜索歸一化空間,其基本公式為

xn+1=μxn(1-xn)

(26)

當μ≥3.569 945 7時該系統(tǒng)被證明有無窮種混沌映射,且較均勻的分布在[0,1]區(qū)間內(nèi)。

采用慣性權(quán)重的PSO算法可以調(diào)節(jié)種群全局搜索和局部搜索的能力,在搜索過程中線性減少慣性權(quán)重值可大大提升解的質(zhì)量和收斂速度[14]。但是實際的PSO搜索不一定是按照預先制定的線性規(guī)律收斂的,所以本文采取更加合理的自適應慣性權(quán)重表達式[15]:

wk=e-αk/αk-1

(27)

(28)

2.2 無效粒子再利用

對于第1.5節(jié)中給出的復雜約束優(yōu)化問題,可行解的范圍通常比較小且分布離散,大多數(shù)初始猜想解距離可行域較遠。借鑒花卉授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)中的全局授粉思想[16],提出一種可行解授粉策略,具體實現(xiàn)過程如下:優(yōu)化一定周期后找到個體最優(yōu)解依舊未發(fā)生改變的粒子視為為無效粒子,用可行域中的粒子對無效粒子進行取代,并在可行粒子的原位置上引入高斯變異[17],對原可行粒子的速度加以小范圍偏移。具體取代公式為

(29)

式中:N(0,1)為期望為0、標準差為1的正態(tài)分布隨機數(shù);xfs為可行粒子的位置;vfs可行粒子的速度;ρ為速度漂移半徑;U(0,1)代表在區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻分布的隨機數(shù)。

對于粒子飛出可行解的情況,則采用外點法的思想對違反約束的粒子進行更新,即

(30)

式(30)表明,當粒子逃逸出可行解邊界后,會按固定比例向著自己的歷史最佳位置靠近,從可行解外部逐漸接近可行域直到回歸可行域內(nèi)。

3 基于改進PSO的協(xié)同彈道規(guī)劃方法

綜合上述優(yōu)化模型和改進PSO算法,本文提出可針對攔截空中動目標的大氣層內(nèi)多約束協(xié)同中制導末段彈道規(guī)劃方法,流程如下。

步驟 1根據(jù)攔截彈初始狀態(tài),以RL為自變量規(guī)劃各架攔截彈協(xié)同彈道形狀。

步驟 2應用研究完備的反饋線性化方法跟隨標稱彈道,直到抵達目標。

步驟 3采用高精度半解析交班時間求解方法,在線預測各攔截彈的交班時間,評價現(xiàn)有彈道的適應度;若由于跟蹤延遲和未知干擾,導致彈道產(chǎn)生偏離,超出時間偏差容許范圍te,則以當前狀態(tài)為初始狀態(tài),回到步驟1重新規(guī)劃協(xié)同彈道。

上述求解過程可用圖3所示的流程圖加以表示。

圖3 中制導末段協(xié)同搜索在線規(guī)劃算法流程圖Fig.3 Algorithm process of later part of midcourse cooperative trajectory planning

4 仿真分析

設置仿真條件如下:初始剩余距離RL=210 km±10 km,初始高度h0=35 km±2 km,速度傾角θ0=0°±3°,期望交班高度hd=20 km,期望交班速度傾角θd=0°,考慮3枚攔截彈初始參數(shù)在取值范圍內(nèi)獨立隨機取值,取其飛行速度分別為V1=2 000 m/s,V2=1 950 m/s,V3=2 050 m/s,進行協(xié)同彈道規(guī)劃,彈道跟蹤部分采用反饋線性化方法進行設計,ωn為系統(tǒng)震蕩的固有頻率,ξ為阻尼系數(shù),取ξ=0.7,ωn=0.1。協(xié)同規(guī)劃優(yōu)化算法部分:設置協(xié)同規(guī)劃時PSO算法最大迭代次數(shù)為100次,粒子數(shù)為50枚,當3枚彈(M1,M2,M3)終端時間偏差dt≤0.1 s時,停止進化。

4.1 計算結(jié)果

仿真初始參數(shù)設置見表1,選取比例導引法和碰撞時間控制導引律(impact time control guidance,ITCG)作為比較,3種制導方法的仿真結(jié)果如圖4～圖6所示,交班時刻彈道參數(shù)如表2～表4所示,下標f代表交班時刻, Δrf為交班位置誤差。

表1 攔截彈初始條件Table 1 Initial conditions for interceptor shells

表2 比例導引法終端狀態(tài)Table 2 Terminal conditions of proportional navigation guidance law

圖4 比例導引法彈道曲線Fig.4 Trajectories of proportional navigation guidance law

(1) 比例導引法

取比例導引系數(shù)N=3,由于比例導引法不具備時間控制能力,可作為多攔截彈交班時間的無控對比結(jié)果。

由圖4可知,比例導引彈道平直,由初始位置徑直飛向目標位置,彈道沒有過多起伏。由表2知,比例導引法控制下交班時間M1最快,M3最慢,具有13 s的偏差、角度與期望值相差約6°,無法滿足協(xié)同探測要求。

(2) ITCG方法

ITCG方法[18]是比例導引法的拓展,具備時間控制項,其控制量如下:

(31)

如表3所示, ITCG方法可以一定程度上減少交班時間偏差,但是依舊存在4 s左右的差值,且不具備終端角度控制能力,角度與期望值偏差約為14度。由圖5知,ITCG方法控制下,彈道高度起伏較大,對比時間無控彈道,三彈都通過高度變化延后了交班時間。起伏程度M1>M3>M2,交班時間M2>M3>M1且大于無控時最長的飛行時間。

表3 ITCG法終端狀態(tài)Table 3 Terminal conditions of ITCG guidance law

圖5 ITCG法彈道曲線Fig.5 Trajectories of ITCG guidance law

(3) 本文提出的協(xié)同規(guī)劃方法

不考慮氣動參數(shù)偏差,將指令響應過程考慮為一階慣性環(huán)節(jié)。

(32)

考慮0.5 s的指令響應延遲時長,單次規(guī)劃協(xié)同彈道后跟蹤得到“單次彈道規(guī)劃-跟蹤”結(jié)果如表4所示,仿真曲線如圖6所示。改進粒子群算法首先找到滿足3枚攔截彈終端時間偏差幾乎為零的彈道后跟蹤。

表4 協(xié)同彈道單次規(guī)劃結(jié)果Table 4 Cooperative trajectories single planning result

圖6 協(xié)同彈道規(guī)劃彈道曲線Fig.6 Trajectories of proposed guidance law

由于不考慮氣動參數(shù)偏差,所以本文提出的協(xié)同彈道規(guī)劃方法預報結(jié)果較為準確,基于預報結(jié)果的規(guī)劃可將交班時間Δtf收斂至1 s內(nèi)。角度偏差可控制在0.1°內(nèi)。

4.2 計算結(jié)果分析

3種方法都可以導引攔截彈抵達交班空域,與比例導引法的仿真結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn),對于彈群中速度最大、交班時間最早的M1導彈,本文提出的規(guī)劃方法(后文簡稱本方法)考慮了重力的影響,對其施加高拋策略,成功將其交班時間延后約12 s;而對速度最小、交班時間最晚的M3導彈,本方法通過改變其下降時機,使其保留更多速度,實現(xiàn)了攔截彈提早抵達約1.5 s且提升了交班速度的效果。分析可知此場景下比例導引方法不具備末速最大或時間最短的性質(zhì),所以并不是最理想的制導策略。ITCG方法在在交班時間偏差上優(yōu)于比例導引,但是它未考慮攔截彈被動減速特性,控制時預估的交班時間都要小于設定值,于是對所有攔截彈皆采用高拋彈道,導致交班角度偏差變大,交班時間變長;協(xié)同交班時間甚至大于原彈群中最慢的攔截彈。顯然沒有完全發(fā)揮出彈群的能力,另外彈道高拋高度越高則角度偏差越大。與本方法對比發(fā)現(xiàn),引入終端角度的約束會增加其縱向過載需求和在稠密大氣層內(nèi)飛行時間,降低交班速度。綜合討論,本方法時間偏差最小,且具備角度約束能力,在協(xié)同探測背景中優(yōu)于其余兩種方法。

5 尋優(yōu)時間改進措施及誤差適應能力

5.1 尋優(yōu)時間改進措施

在工程實現(xiàn)時除了指令規(guī)劃耗時外,還需考慮信息組網(wǎng)延遲、丟包、協(xié)同探測延遲等諸多因素的影響,這些因素將直接造成制導控制指令的滯后,影響制導性能。因此可針對特定任務采用一些措施來降低指令尋優(yōu)的時間、克服指令滯后帶來的影響。具體方法說明如下:

(1) 放寬粒子群收斂判別條件,可將最大尋優(yōu)計算耗時降低降到3 s內(nèi)。

在粒子群尋優(yōu)過程仿真中發(fā)現(xiàn):優(yōu)化精度越高的結(jié)果需要更多的計算耗時,精度越低的結(jié)果需要更少的計算耗時。在飛行控制過程中,優(yōu)化精度和計算耗時共同影響著制導飛行性能。考慮到干擾等隨機因素影響,前期并不需要很高的規(guī)劃精度,而是存在計算耗時和優(yōu)化精度之間的平衡點。因此,通過放寬粒子群收斂條件,可在一定程度上犧牲優(yōu)化精度,提高計算效率。以第4.1節(jié)的具體問題為例,通過多次仿真選取合適的迭代次數(shù)和終止條件以降低計算耗時,發(fā)現(xiàn)前期規(guī)劃時迭代不超過30次,后期規(guī)劃時迭代不超過45次為佳。不同初始狀態(tài)下粒子群最優(yōu)解的收斂情況隨迭代次數(shù)的變化如圖7所示。

圖7 最優(yōu)解隨迭代次數(shù)收斂曲線Fig.7 Optimal solution varies with iteration

可以看到,經(jīng)過45次迭代后,最優(yōu)解已經(jīng)足夠收斂,此時繼續(xù)尋找更好的解收益不高,可停止迭代。

(2) 補償優(yōu)化計算過程中系統(tǒng)狀態(tài)的變化量,達到更佳準確的優(yōu)化結(jié)果。

實時在線規(guī)劃過程中,若以當前狀態(tài)作為優(yōu)化輸入,由于計算存在耗時,系統(tǒng)的狀態(tài)在計算過程中也會發(fā)生變化,導致優(yōu)化結(jié)果并不適應變化后的系統(tǒng)狀態(tài)。為此,以預測飛行狀態(tài)作為數(shù)值優(yōu)化計算的輸入,再以該狀態(tài)為起控點接入控制,可一定程度緩解優(yōu)化指令滯后帶來的精度下降問題。

仿真表明,采用上述方法后單次優(yōu)化最大耗時降至3 s。并且隨著預測交班點接近,計算耗時進一步降低。圖8展示了半解析預報方法隨飛行距離的變化,可以看出計算耗時隨航程衰減,這是因為粒子群尋優(yōu)算法本身只涉及少量代數(shù)運算,基本不占據(jù)計算時間。每個粒子位置都需要半解析預報方法通過數(shù)值積分得到終端狀態(tài),第1.3節(jié)提出的半解析預報方法以剩余飛行距離為自變量,隨著攔截彈接近預測交班點,積分區(qū)間縮短,預報耗時縮短,同時縮短粒子群算法的尋優(yōu)時間。

圖8 預報耗時隨射程變化Fig.8 Time consumption varies with range

另外,PSO算法如果有更加接近最優(yōu)值的猜想解,也會很大程度上減少其收斂時間。工程應用時還可以針對特定任務建立網(wǎng)格點,離線優(yōu)化形成數(shù)據(jù)庫,在線提取數(shù)據(jù)作為控制指令或猜想解,減少其尋優(yōu)耗時。

5.2 誤差適應能力

本方法預報時并沒有考慮在線氣動辨識以適應偏差,但預報偏差隨著RL減少而逐漸收斂至零,所以采用圖3所示的在線規(guī)劃策略在檢測到偏差后重新規(guī)劃彈道消除偏差。

考慮±20%氣動參數(shù)偏差及1 s彈體響應延時,采用改進的尋優(yōu)策略在線消除偏差,1 000次蒙特卡羅仿真實驗得到協(xié)同交班效果如表5所示。單次尋優(yōu)耗時在3 s內(nèi),大部分情況在10～30次之間收斂。但隨著彈道后期偏差積累,會出現(xiàn)最大迭代次數(shù)后,仍未找到足夠精度解的情況,約23次合計2.3%,因為此時攔截彈參數(shù)相差過大,能力范圍內(nèi)無法協(xié)同抵達,只能選取交班時間偏差最小彈道或沿用上一規(guī)劃周期彈道。表5中最大偏差值的出現(xiàn)也是因為上述情況。

表5 考慮偏差和計算耗時的協(xié)同交班參數(shù)Table 5 Cooperative handover parameters considering perturbation and time consumption

雖然氣動參數(shù)偏差和指令計算耗時、指令響應會導致偏差,但是通過迭代依舊可以有效收斂交班時間?？梢钥闯鰰r間偏差均值收斂在0.8 s內(nèi),標準差約為0.9,最大差值為3.6 s,角度偏差均值為2.48°,標準差為3.7°,最大值不超過8°。雖然比標稱條件存在更大交班偏差,依舊在協(xié)同探測能力范圍內(nèi)。

為了說明協(xié)同指令尋優(yōu)耗時對終端散布的影響,將上述結(jié)果與“零尋優(yōu)耗時”情況進行對比,對比表5和表6的仿真結(jié)果表明,考慮延時的交班參數(shù)散布僅比零耗時情況散布分別降低2°、1 s、100 m以內(nèi)。

表6 未考慮計算耗時僅考慮偏差的協(xié)同交班參數(shù)Table 6 Cooperative handover parameters that only consider perturbation but not time consumption

因為采用PSO算法,其迭代尋優(yōu)的過程可看作在參數(shù)空間內(nèi)多次打靶直至收斂到最優(yōu)解的過程,所以一次尋優(yōu)過程收斂后,不僅可以得到最優(yōu)解,同時也可以記錄過程中找到的攔截彈飛行能力約束下的可行解。圖9顯示的是以表1為初始條件,單次規(guī)劃得到的標稱氣動參數(shù)可行解分布云圖,橫坐標代表交班時間,縱坐標代表交班速度。每一個點都代表了參數(shù)空間內(nèi)的一個可行解?？v截面的寬度代表交班時間確定后交班速度的可行區(qū)間,橫截面則代表交班速度確定后交班時間的可行區(qū)間。如果3枚攔截彈可行解分布的區(qū)域有交集,則表示了攔截彈群在當前飛行能力下具備同時間、同速度交班的能力,可輔助決策。

圖9 PSO尋優(yōu)可行解分布云圖Fig.9 Cloud of feasible solution for PSO

6 結(jié) 論

本文針對攔截彈中制導末段協(xié)同探測時間、空間、速度和角度的一致性彈道規(guī)劃問題,基于速度預測提出了一種遠程防空導彈協(xié)同彈道規(guī)劃方法;通過擴展升阻系數(shù)公式,實現(xiàn)被動減速段彈道參數(shù)的快速解算;采用彈道整形變量和協(xié)同時間參數(shù)選擇,優(yōu)化協(xié)同彈道規(guī)劃流程設計,實現(xiàn)協(xié)同規(guī)劃問題向非線性優(yōu)化問題的轉(zhuǎn)換;綜合改進PSO算法,提高協(xié)同規(guī)劃問題求解效率。仿真結(jié)果表明:在氣動參數(shù)偏差±20%、考慮優(yōu)化延時情況中,三彈協(xié)同探測起始時間精度可控制在3.6 s內(nèi),滿足協(xié)同探測需求。