基于多模型MPC的變體飛機(jī)協(xié)調(diào)優(yōu)化控制

徐文豐, 李穎暉, 裴彬彬, 禹志龍

(1. 空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院, 陜西 西安 710038; 2. 空軍工程大學(xué)研究生院, 陜西 西安 710038)

0 引 言

變體飛機(jī)是一類能夠在不同的飛行環(huán)境和飛行任務(wù)中主動或被動地改變外形結(jié)構(gòu)的飛行器[1],其通過構(gòu)型的改變保證了在不同飛行階段下?lián)碛凶顑?yōu)飛行的性能,從而滿足多任務(wù)需求。近些年來,隨著材料、控制、計算機(jī)等技術(shù)的進(jìn)步以及對擴(kuò)展飛行包線,優(yōu)化飛行性能需求的不斷增大,變體飛機(jī)又一次受到了航空設(shè)計師們的關(guān)注[2]。

當(dāng)前,飛機(jī)變體技術(shù)還未發(fā)展成熟,仍有許多工作有待完善,仍需多個學(xué)科領(lǐng)域的突破[3],如材料、飛行控制、氣動建模、非剛體動力學(xué)等。在飛行控制領(lǐng)域中,現(xiàn)有的研究成果大多集中于預(yù)先設(shè)定變形過程的穩(wěn)定性控制問題[4-9]。將變形機(jī)構(gòu)作為控制量,協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)控制量的成果較少。實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)主要有以下三大難題:① 變形產(chǎn)生額外的慣性力和氣動參數(shù)的變化,給系統(tǒng)帶來了時變效應(yīng)和較大不確定性,增加了維持系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性的難度。② 變形作為控制輸入改變了飛機(jī)的慣性參數(shù)和氣動參數(shù),在動力學(xué)方程中為非仿射形式,這給變形控制器設(shè)計帶來較大的難度。③ 將變形作為控制輸入,應(yīng)當(dāng)考慮控制變量的幅值速率飽和問題。與此同時,變形給系統(tǒng)的動力學(xué)特性帶來較大不確定性,變體飛機(jī)的狀態(tài)應(yīng)與常規(guī)飛機(jī)相比更容易超出安全限制。因此,輸入約束和狀態(tài)約束是變體飛機(jī)控制器設(shè)計中所必須加以考慮的問題,然而這是大多數(shù)基于模型的控制方法無法解決的。

在現(xiàn)有的協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu)與飛控系統(tǒng)的理論成果中,通常是先對期望的力和力矩進(jìn)行控制律設(shè)計,然后采用控制分配法將控制效能分配到各個舵面和變形機(jī)構(gòu)[10-11]。這樣處理簡單高效,一定程度上具有處理輸入受限的能力,但是這種方法通常無法處理狀態(tài)受限問題,且沒有充分利用變形這一額外的控制自由度優(yōu)化飛行性能。在當(dāng)前,仍沒有理論成果能夠在全面考慮變體飛機(jī)的狀態(tài)和輸入約束的條件下對變形機(jī)構(gòu)、舵面和發(fā)動機(jī)推力進(jìn)行協(xié)調(diào)控制。

在其他背景下的航空航天飛行控制研究中,常在反推控制的框架下引入輔助系統(tǒng)以補(bǔ)償輸入飽和,并使用李亞普諾夫障礙函數(shù)處理狀態(tài)約束[12-13],但這種方法存在較大的局限性,其參數(shù)設(shè)置較為困難,需要對虛擬控制率上界進(jìn)行提前估計,且無法處理速率約束問題。另一種可行的方法是在反推控制的框架下引入指令濾波器對控制輸入和狀態(tài)變量進(jìn)行限制[14-15],這種方法簡單容易實(shí)施,能夠較為方便地引入速率約束,但其僅僅能夠適用于約束較為寬松的情形,這是因為在控制率設(shè)計的過程中使用指令濾波器直接對信號進(jìn)行限制容易破壞閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。模型預(yù)測控制(model predictive control, MPC)方法為這類約束問題的解決提供了一個可行的框架,其最大的優(yōu)勢就是能夠靈活地處理各種輸入約束與狀態(tài)約束。MPC方法中蘊(yùn)含著最優(yōu)化的思想[16],通過滾動時域法實(shí)時對預(yù)先設(shè)定的性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,使用最優(yōu)化的方式“平衡”控制性能和輸入狀態(tài)限制。MPC方法能夠?qū)ο到y(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測,因此能夠在控制率解算時充分考慮輸入和狀態(tài)飽和給系統(tǒng)動力學(xué)特性帶來的影響,具有前瞻性地給出最優(yōu)控制輸入。MPC方法已經(jīng)成功應(yīng)用于多個行業(yè)的工業(yè)控制之中[17-24],并引起了航空業(yè)的廣泛關(guān)注[25-32]。

MPC方法可分為非線性MPC和線性MPC兩種,其中非線性MPC涉及非凸優(yōu)化問題,往往難以進(jìn)行求解。因此,在工程應(yīng)用中,通常采用線性MPC方法[25],然而線性模型只能在局部描述非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性,為了使得線性MPC方法適用于復(fù)雜的非線性動力學(xué)模型,多模型切換的MPC方法應(yīng)運(yùn)而生[26]。模型切換保證了MPC方法使用的線性模型能夠在整個狀態(tài)空間中較好地描述非線性動態(tài),但模型的高頻切換可能引起狀態(tài)顫振,影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。同時,模型切換的方法增大了飛控計算機(jī)的運(yùn)算負(fù)擔(dān),在解算的實(shí)時性上面臨更大的挑戰(zhàn)。

本文以縱向運(yùn)動的變體飛機(jī)為目標(biāo),使用小擾動線性化的方法獲取了不同平衡點(diǎn)下的變體飛機(jī)離散小擾動方程,并為之設(shè)計了一種新型的多模型切換的MPC控制器。該控制器將變形機(jī)構(gòu)作為控制輸入,能夠協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu),升降舵和發(fā)動機(jī)推力對變體飛機(jī)的飛行性能進(jìn)行優(yōu)化控制,且具備處理控制器輸入幅值速率約束及飛行器的狀態(tài)約束的能力。本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)如下:

(1) 將多模型切換的MPC方法應(yīng)用于縱向運(yùn)動的變體飛機(jī)飛控系統(tǒng)與變形機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)控制問題中。解決了變體飛機(jī)控制中關(guān)鍵的輸入和狀態(tài)受限問題,且能夠通過協(xié)調(diào)控制變形機(jī)構(gòu)、發(fā)動機(jī)推力、升降舵優(yōu)化飛行性能。

(2) 在控制器設(shè)計過程中,提出了一種基于廣義歐式距離的模態(tài)判別方法,以確保MPC控制器解算所需的小擾動線性模型盡可能準(zhǔn)確地反映變體飛機(jī)非線性模型的動力學(xué)特性。

(3) 在控制器求解過程中,將二次規(guī)劃的約束條件靈活設(shè)計為時變形式,較好地處理了狀態(tài)變量的幅值速率約束問題;并引入松弛變量保證了二次規(guī)劃問題的可解性;設(shè)計了最小駐留時間機(jī)制提高控制器的穩(wěn)定性能和求解效率。

1 模型建立

1.1 動力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[33]中的結(jié)果,變體飛機(jī)的動力學(xué)方程可表示為如下矢量形式:

(1)

式中:×為向量積運(yùn)算;F,M分別為合外力與合外力矩;m為飛機(jī)的質(zhì)量;S,J分別為飛機(jī)關(guān)于本體系Fb坐標(biāo)原點(diǎn)Ob的一階矩和二階矩;ω=[p,q,r]T為角速度矢量;v=[u,v,w]T為速度矢量;ρi=[ρxi,ρyi,ρzi]T為飛機(jī)質(zhì)量微元相對于本體系原點(diǎn)Ob的位置矢量。各運(yùn)動矢量及飛機(jī)本體坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 變體飛機(jī)運(yùn)動矢量與本體坐標(biāo)系Fig.1 Vector and body frame of the morphing aircraft

(2)

假設(shè)飛機(jī)只進(jìn)行對稱變形與縱向運(yùn)動,則

p=r=v=0

(3)

(4)

將式(1)中力的方程分解在本體坐標(biāo)系下,力矩的方程分解在速度坐標(biāo)系下[34],可得

(5)

(6)

式中:

(7)

為本體系到速度系的轉(zhuǎn)換矩陣。

將式(2)～式(7)代入式(1),可化簡得到變體飛機(jī)的縱向動力學(xué)方程如下:

(8)

式中:θ為俯仰角;γ和α為航跡角和迎角;T為發(fā)動機(jī)推力;ZT為推力的俯仰力臂;Hx,Hz,MF分別為變形引起的慣性力和慣性力矩,其表達(dá)式如下:

L≈Lαα+L0α=

1.2 模型線性化

采用平衡點(diǎn)線性化的方式處理非線性動力學(xué)模型,將式(8)重新整理如下:

(9)

令式(9)左端為0,顯然有q=0,θ=α。平衡點(diǎn)的計算可化簡為

(10)

本文中將速度V,高度h,后掠角ζ這3個對動力學(xué)特性影響較大的變量給定,計算α,δe和T。對V,h和ζ進(jìn)行網(wǎng)格化取值,設(shè)置其最小值分別為50 m/s,500 m,15°,最大值分別為350 m/s,8 000 m,55°。取值間隔設(shè)置為25 m/s,500 m,5°。在每一個網(wǎng)格點(diǎn)求解式(10),得到13×16×8個平衡點(diǎn):

設(shè)置離散周期Δts=0.01 s。在這些平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化,得到13×16×8組離散化小擾動方程:

2 控制器的設(shè)計與求解

2.1 控制器設(shè)計

針對縱向運(yùn)動的平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)移的定點(diǎn)跟蹤問題,基于前文建立的線性切換系統(tǒng)設(shè)計性能指標(biāo)函數(shù)及約束條件如下:

(11)

2.2 控制器求解

(12)

(13)

式中:

Sx=[I5×5,A,A2,…,AN]T

則式(11)中的性能指標(biāo)函數(shù)可寫為如下形式:

(14)

式中:

符號blkdiag(·)表示將矩陣沿對角連接的算子。

將式(13)代入式(14)可得

(15)

(16)

式中:

式(11)中的約束同樣可以整理為式(12)中二次規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型,式(14)中的G0有如下形式:

式中:

G2=06N×5

G4=06N×5

式(12)中的B0有如下形式:

其中,

E0=[012N×5,-Ax,-AxA,-AxA2,…,-AxAN]T

式(12)中不等式的前6N行約束了輸入的幅值,中間6N行約束了輸入的速率,最后10(N+1)行約束了狀態(tài)的幅值。

2.3 控制器模型切換方法設(shè)計

模型預(yù)測控制方法只能參照單個的線性動力學(xué)方程設(shè)計控制律,因此必須對當(dāng)前時刻的系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行判別,獲取最接近于當(dāng)前狀態(tài)的平衡點(diǎn)以確定能夠準(zhǔn)確反映當(dāng)前系統(tǒng)動力學(xué)特性的線性化模型用于控制器解算。結(jié)合模型切換的方法,保證控制器解算所使用的模型在能夠在整個狀態(tài)空間中刻畫非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

本文使用加權(quán)歐式范數(shù)的方法來度量當(dāng)前狀態(tài)點(diǎn)與各平衡點(diǎn)之間的距離,定義:

(17)

式中:W=[wh,wv,wa,wδ,wT,wζ]T為各狀態(tài)變量的權(quán)重?？梢?為了保證最接近當(dāng)前系統(tǒng)動力學(xué)特性的小擾動模型對應(yīng)的平衡點(diǎn)距當(dāng)前狀態(tài)的de最小,廣義歐式范數(shù)在傳統(tǒng)歐式范數(shù)的基礎(chǔ)上引入了權(quán)重向量W,該向量的設(shè)置應(yīng)當(dāng)綜合考量各狀態(tài)變量的數(shù)量級及其對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響的顯著程度。例如,狀態(tài)變量h的高度的單位為m,數(shù)量級較大,而其對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響并不顯著,因此應(yīng)該將wh設(shè)置為較小的值,而狀態(tài)變量α的單位為(°),數(shù)量級較小,但對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響十分顯著,因此應(yīng)將wα設(shè)置為較大的值。為了避免權(quán)重參數(shù)設(shè)置的盲目性,可將W按如下方法進(jìn)行初步設(shè)計。

KV>Kα>Kζ>1

注意到,其在分母上的設(shè)置消除了不同物理量的量綱的影響。此外,該設(shè)計方法通過在分子上引入KV,Kα,Kζ增大了對系統(tǒng)給動力學(xué)特性影響較大的狀態(tài)變量V,α,ζ對應(yīng)的權(quán)重。按照該方法設(shè)計的權(quán)重W基本能夠?qū)ο到y(tǒng)模態(tài)進(jìn)行合理判別,滿足控制器對模型切換準(zhǔn)確性的要求。如果仍有繼續(xù)優(yōu)化權(quán)重W的需求,可在上述初步設(shè)計結(jié)果的基礎(chǔ)上通過反復(fù)試驗并觀察控制器性能來最終確定使控制器性能最佳的權(quán)重參數(shù)設(shè)置。

另一方面,為了避免控制器模態(tài)在短時間內(nèi)多次切換,提高求解速度,設(shè)置控制器每個模態(tài)有最短駐留時間Te,即每間隔Te時間根據(jù)廣義歐式距離的大小更新一次小擾動模型信息。

模型預(yù)測控制器與變體飛機(jī)的動力學(xué)方程式(9)的交互求解流程可總結(jié)如下。

步驟 4t=t+Δt,u=Δu0+ue,將u作為控制量輸入非線性模型,應(yīng)用四階龍格庫塔法獲取下一時刻的[xT,uT]T,每隔Te時間,執(zhí)行一次步驟2,否則執(zhí)行步驟3。

3 仿真驗證

在本節(jié)中,通過仿真對本文提出的方法進(jìn)行比較驗證。設(shè)置仿真的步長Ts=0.01 s,序列優(yōu)化長度N=8,控制器的模態(tài)最小駐留時間Te=5 s,加權(quán)歐式范數(shù)中各狀態(tài)變量的權(quán)重為W=[2×10-4,0.05,2.5,1,5×10-5,0.1]T,性能指標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重矩陣設(shè)置為

Q=blkdiag(0.1,5,5,1,300)

R=blkdiag(0.001,1000,1)

Rc=blkdiag(10,10,108,108,100)

設(shè)置任務(wù)目標(biāo)為從平衡狀態(tài):

轉(zhuǎn)移至平衡狀態(tài)

3.1 同現(xiàn)有MPC方法的比較

將3種控制方法與變體飛機(jī)非線性動力學(xué)模型分別組成閉環(huán)控制系統(tǒng),仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。由圖2(a)～圖2(e)可見,進(jìn)行模型切換的兩種控制方法的狀態(tài)約束得到了較好的滿足,只有α,θ略微超出了限制,造成這一現(xiàn)象的原因主要有兩點(diǎn):其一是本文在狀態(tài)約束中引入松弛變量ε以保證二次規(guī)劃問題的可解性,在理論上容許α,θ超出限制;其二是模型預(yù)測控制器基于切換線性模型進(jìn)行設(shè)計,而控制輸入實(shí)際作用于非線性模型,二者略有偏差。若要保證某一合理范圍的狀態(tài)約束嚴(yán)格成立,可通過進(jìn)一步收緊該約束范圍來實(shí)現(xiàn)。不進(jìn)行模型切換的控制方法大幅度的超出了預(yù)先設(shè)定的狀態(tài)約束,這是因為其使用的單一線性模型無法準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的非線性動態(tài),故無法通過對系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的限制。由圖3可見,3種控制方法的輸入幅值和速率約束總是能夠嚴(yán)格得到滿足,這是因為控制輸入在二次規(guī)劃求解的過程中被直接作為決策變量,不受系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響,且未引入松弛變量,在理論上能夠保證約束嚴(yán)格成立。

圖2 仿真3.1中的狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 Response of states in the simulation 3.1

圖3 仿真3.1中的控制輸入Fig.3 Control inputs in the simulation 3.1

由圖2(a)和圖2(b)可知,兩種多模型切換的方法的收斂速度相似,均優(yōu)于單模型非切換的方法。觀察圖2(c)～圖2(e)和圖3(b)可知,當(dāng)控制器模型發(fā)生切換時,閉環(huán)系統(tǒng)需要一定的時間建立新的平衡過程,所以此時的狀態(tài)變量會出現(xiàn)一定程度的震蕩,其主要體現(xiàn)在α,θ,q變量。基于控制周期切換的方法可能會在快速響應(yīng)時進(jìn)行高頻的模型切換,由圖2(e)和圖3(b)中0～30 s的綠色線可見,這導(dǎo)致了控制器和狀態(tài)變量的高頻顫振,該現(xiàn)象在工程實(shí)際中是較為不利的。而基于最小駐留時間切換的方法則很大程度上緩解了這一現(xiàn)象。

圖4中給出了3種控制方法的運(yùn)行時間對比?？梢?本文提出的基于最小駐留時間切換的多模型MPC方法與不進(jìn)行模型切換的單模型MPC方法的求解速度相近,遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于基于控制周期切換的多模型MPC方法。這是因為基于控制周期切換的方法需要頻繁更新平衡點(diǎn)信息,在每一個控制周期步長需要完成更多的運(yùn)算。因此,同基于控制周期切換的方法相比,基于駐留時間切換的方法具有更高的運(yùn)算效率。

圖4 仿真3.1中的運(yùn)行時間對比Fig.4 Comparison of running time in simulation 3.1

3.2 同基于傳統(tǒng)歐式距離模態(tài)判別法的比較

將按照兩種不同的模態(tài)判別方法進(jìn)行模型切換的多模型MPC控制器與變體飛機(jī)非線性動力學(xué)模型組成閉環(huán)系統(tǒng),仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 仿真3.2中的狀態(tài)響應(yīng)Fig.5 Response of states in the simulation 3.2

圖6 仿真3.2中的控制輸入Fig.6 Control inputs in the simulation 3.2

由圖5(a)和圖5(b)可見,使用加權(quán)歐式距離的多模型MPC控制器跟蹤參考信號的速度更快,具有更好的收斂性。由圖5(c)～圖5(e)可知,基于傳統(tǒng)歐式距離的模型切換方式?jīng)]有較好的描述系統(tǒng)動力學(xué)特性,導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)大幅度超出了狀態(tài)約束,且造成了閉環(huán)系統(tǒng)嚴(yán)重的狀態(tài)震蕩。而使用加權(quán)歐式距離的切換率則較好的避免了這一問題,各狀態(tài)約束得到了很好的滿足。系統(tǒng)狀態(tài)震蕩的幅度和頻率也遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)歐式距離的方法。從圖6中可見,兩種方法都能使得系統(tǒng)的輸入約束得到滿足,且基于加權(quán)歐式距離方法設(shè)計的控制器相比傳統(tǒng)歐式距離方法具有更加平滑的控制輸入。

4 結(jié) 論

(1) 本文將基于線性模型的設(shè)計的MPC控制器通過多模型切換的方式成功應(yīng)用于變體飛機(jī)這以一具有較強(qiáng)非線性特征的非線性模型中,有效處理了狀態(tài)和控制輸入受限問題,體現(xiàn)了模型預(yù)測控制算法的特有優(yōu)勢。

(2) 本文中設(shè)計了一套基于廣義歐式距離的系統(tǒng)模態(tài)判別方法與基于駐留時間的模型切換機(jī)制,有效提高了多模型MPC控制器的控制性能與計算效率。

(3) 本文的方法仍有一定不足之處:一是控制器進(jìn)行模型切換時需要重新建立平衡狀態(tài),從而產(chǎn)生一個振蕩的過程,這在工程應(yīng)用中是應(yīng)當(dāng)盡量避免的;二是控制器的解算速度仍有較大優(yōu)化空間。

后續(xù)的研究將針對彌補(bǔ)這兩點(diǎn)不足展開,設(shè)計一種更為平滑的切換方式解決模型切換過程中的振蕩問題;并基于顯式模型預(yù)測控制理論探索模型預(yù)測控制器的解析解,提高控制器解算速度。