基于頂層滾動(dòng)優(yōu)化和底層跟蹤的空戰(zhàn)導(dǎo)引方法

梁玉峰, 趙景朝, 劉旺魁, 王 雷, 王世鵬, 阮仕龍

(1. 大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院, 遼寧 大連 116024; 2. 北京空天技術(shù)研究所, 北京 100074;3. 沈陽飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所, 遼寧 沈陽 110035)

0 引 言

隨著信息化的快速推進(jìn),無人作戰(zhàn)飛機(jī)在現(xiàn)代軍事戰(zhàn)爭中的應(yīng)用也越來越廣泛,而無人機(jī)的空戰(zhàn)導(dǎo)引則是衡量其現(xiàn)代化作戰(zhàn)的一個(gè)重要指標(biāo)?？諔?zhàn)導(dǎo)引關(guān)系到多個(gè)平臺(tái)相互通信與合作,首先要根據(jù)指揮系統(tǒng)的導(dǎo)引指令或機(jī)載設(shè)備搜索目標(biāo)所獲得的信息,以給定的指標(biāo),自動(dòng)將攜帶制導(dǎo)武器的戰(zhàn)機(jī)按照規(guī)劃的軌跡導(dǎo)引到目標(biāo)區(qū)域,為實(shí)施攻擊提供必要的條件[1]。但在真實(shí)作戰(zhàn)環(huán)境下中會(huì)遇到各種不穩(wěn)定的情況,如平臺(tái)信息的不確定,目標(biāo)、環(huán)境和戰(zhàn)場態(tài)勢的變化等。在這種復(fù)雜、不穩(wěn)定的條件下作戰(zhàn),無人機(jī)不能僅依賴于地面平臺(tái)的控制,必須具備自主導(dǎo)引作戰(zhàn)的能力。

目前,國內(nèi)對(duì)無人機(jī)空戰(zhàn)導(dǎo)引方法的研究主要集中在傳統(tǒng)導(dǎo)引律和現(xiàn)代空戰(zhàn)智能導(dǎo)引兩類方向[2]。其中,傳統(tǒng)導(dǎo)引律以比例導(dǎo)引法為主,主要建立在空空導(dǎo)彈的經(jīng)典比例導(dǎo)引基礎(chǔ)之上[3-4],并根據(jù)導(dǎo)彈導(dǎo)引方法演化為無人機(jī)的攻擊導(dǎo)引方法,主要有比例導(dǎo)引法[5-6]、追蹤法[7-8]、平行接近法[9]等。比例導(dǎo)引法具有簡單可靠的優(yōu)點(diǎn),對(duì)機(jī)動(dòng)較小的目標(biāo)有較好的導(dǎo)引效果。后來還出現(xiàn)了擴(kuò)展比例導(dǎo)引律[10-14]以及比例導(dǎo)引-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)合導(dǎo)引律[15]等對(duì)經(jīng)典比例導(dǎo)引進(jìn)行改進(jìn)的導(dǎo)引方式。由于現(xiàn)代空戰(zhàn)環(huán)境更加趨向于動(dòng)態(tài)化和復(fù)雜化,目標(biāo)具有更高的機(jī)動(dòng)性能,經(jīng)典的比例導(dǎo)引及其改進(jìn)形式對(duì)于高機(jī)動(dòng)目標(biāo)難以獲得理想的攔截效果。因此,針對(duì)高動(dòng)態(tài)下的無人機(jī)導(dǎo)引作戰(zhàn)問題,出現(xiàn)了現(xiàn)代空戰(zhàn)智能導(dǎo)引方法,如矩陣對(duì)策法[16]、微分對(duì)策法[17-18]、梯度優(yōu)化法[19]和專家系統(tǒng)[20]方法等。但是,目前針對(duì)目標(biāo)不確定機(jī)動(dòng)的導(dǎo)引研究仍處于發(fā)展階段,因此能夠快速在工程上進(jìn)行應(yīng)用的導(dǎo)引方法是未來研究的重點(diǎn)。

本文針對(duì)無人機(jī)空戰(zhàn)的導(dǎo)引問題,首先由導(dǎo)引數(shù)學(xué)模型建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。接著,提出了一種基于高斯偽譜法的導(dǎo)引軌跡滾動(dòng)優(yōu)化與軌跡線性化跟蹤方法。其中,軌跡優(yōu)化方法以時(shí)間為性能指標(biāo),快速將無人機(jī)導(dǎo)引到目標(biāo)區(qū)域,當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),及時(shí)對(duì)目標(biāo)軌跡進(jìn)行預(yù)測并重新優(yōu)化。最后,針對(duì)某型作戰(zhàn)無人機(jī)進(jìn)行空戰(zhàn)環(huán)境下的導(dǎo)引對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了對(duì)不確定性機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截能力。

1 導(dǎo)引數(shù)學(xué)模型

1.1 導(dǎo)引幾何關(guān)系

由于無人機(jī)的導(dǎo)引在水平面和垂直面相互獨(dú)立,因此在同一高度平面內(nèi)對(duì)導(dǎo)引問題進(jìn)行研究[21]。無人機(jī)在二維平面的追蹤導(dǎo)引幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)引幾何關(guān)系Fig.1 Relation of guidance geometry

圖1中,P為無人機(jī);T為目標(biāo);R為無人機(jī)與目標(biāo)的相對(duì)距離;θ為無人機(jī)與目標(biāo)間的視線角(line of sight, LOS);Vp、Vt分別表示無人機(jī)和目標(biāo)的速度;qp、qt分別表示無人機(jī)和目標(biāo)的速度方向與視線方向之間的夾角,稱為前置角;ap表示飛行器的過載。定義雙方前置角位于視線角右側(cè)時(shí)為正。

1.2 導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)方程

定義相對(duì)速度Vr=V-VT,其中Vr與視線角夾角為相對(duì)速度前置角,設(shè)為ε(以逆時(shí)針方向?yàn)檎?,則有:

(1)

(2)

根據(jù)矢量運(yùn)算法則,有VrRr=VrRrcosε,并將Rr=[Rrcosθ,Rτsinθ]代入式(1),得到:

(3)

同樣,可以求得

(4)

則無人機(jī)和目標(biāo)的前置角變化率分別為

(5)

(6)

式中:np、nt分別為無人機(jī)和目標(biāo)的側(cè)向過載。

最終得到戰(zhàn)機(jī)和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

(7)

假設(shè)戰(zhàn)機(jī)和目標(biāo)速度大小不變,以各自的過載為控制量進(jìn)行機(jī)動(dòng),則戰(zhàn)機(jī)對(duì)目標(biāo)需滿足追蹤條件:

atmax≤apmax

(8)

式中:atmax、apmax分別為戰(zhàn)機(jī)和目標(biāo)的最大過載,這表示戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)能力應(yīng)高于目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力。并且,當(dāng)戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)距離滿足r≤R時(shí),認(rèn)為目標(biāo)攔截成功,其中R為捕獲半徑,即導(dǎo)彈最佳發(fā)射距離。

2 基于頂層滾動(dòng)優(yōu)化和底層跟蹤的導(dǎo)引方法

2.1 滾動(dòng)優(yōu)化與跟蹤方法

根據(jù)前面建立的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,將敵我雙方的相對(duì)距離R、視線角θ和前置角q等作為狀態(tài)變量,無人機(jī)過載np作為控制量,使用優(yōu)化方法對(duì)導(dǎo)引軌跡進(jìn)行優(yōu)化,最終實(shí)現(xiàn)無人機(jī)對(duì)目標(biāo)的快速導(dǎo)引。

現(xiàn)代戰(zhàn)場環(huán)境下目標(biāo)的機(jī)動(dòng)有極大的不確定性,所以必須具有在目標(biāo)機(jī)動(dòng)后及時(shí)對(duì)其軌跡進(jìn)行預(yù)測并重新規(guī)劃路線的能力,即滾動(dòng)優(yōu)化功能。因此,考慮將追蹤過程分成若干個(gè)區(qū)段,在第i段開始時(shí),無人機(jī)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測和優(yōu)化導(dǎo)引軌跡,并沿著優(yōu)化后的軌跡運(yùn)動(dòng)。當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),根據(jù)其機(jī)動(dòng)方向?qū)ζ滠壽E重新預(yù)測和優(yōu)化,進(jìn)入第i+1區(qū)段。

此外,在每一段導(dǎo)引軌跡優(yōu)化后,考慮到實(shí)際空戰(zhàn)環(huán)境下目標(biāo)航向會(huì)偏離原軌跡,則無人機(jī)和目標(biāo)之間的實(shí)際視線角會(huì)產(chǎn)生誤差,并對(duì)后續(xù)的滾動(dòng)優(yōu)化產(chǎn)生干擾,因此引入底層跟蹤以修正目標(biāo)偏離產(chǎn)生的誤差[22-23]。以優(yōu)化后的視線角θ(t)C作為標(biāo)稱量,采用軌跡線性化方法跟蹤視線角,以保證其不因目標(biāo)航向偏離而產(chǎn)生偏差。頂層滾動(dòng)優(yōu)化與底層跟蹤總體流程圖如圖2所示。

在滾動(dòng)優(yōu)化過程中,首先要確定雙方的初始位置,然后在每個(gè)導(dǎo)引區(qū)段開始時(shí)對(duì)目標(biāo)軌跡進(jìn)行預(yù)測,以時(shí)間最短為指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,并對(duì)優(yōu)化后的視線角進(jìn)行跟蹤。如果目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng),則進(jìn)入下一追蹤區(qū)段,并以此時(shí)無人機(jī)及目標(biāo)的狀態(tài)為初始值進(jìn)行下一次預(yù)測和優(yōu)化計(jì)算,直到滿足最終攔截距離。由于每個(gè)導(dǎo)引時(shí)間段較短,因此可以認(rèn)為在每個(gè)時(shí)段內(nèi)目標(biāo)做直線運(yùn)動(dòng),這樣在較小的誤差下大大減少了計(jì)算量,從而設(shè)計(jì)出符合實(shí)際應(yīng)用的最優(yōu)導(dǎo)引律。

2.2 最優(yōu)導(dǎo)引問題求解

無人機(jī)導(dǎo)引的軌跡優(yōu)化可以看作非線性的、受約束的最優(yōu)控制問題。而目前對(duì)最優(yōu)控制問題的求解,主要分為間接法和直接法[24]。

間接法主要采用極小值原理,通過引入?yún)f(xié)態(tài)變量(Hamilton函數(shù))進(jìn)行求解,但對(duì)于較為復(fù)雜的非線性問題,間接法難以進(jìn)行求解[25]。而直接法是將連續(xù)函數(shù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為離散形式的非線性規(guī)劃問題,再由序列二次規(guī)劃法等方法進(jìn)行求解。相對(duì)于間接法,直接法使用簡便,同時(shí)計(jì)算效率更高,因此在對(duì)軌跡優(yōu)化的研究中應(yīng)用廣泛[26]。其中,高斯偽譜法是目前常見的偽譜方法,相對(duì)其他的直接方法,高斯偽譜法以插值代替積分,利用離散點(diǎn)的設(shè)置構(gòu)造雅克比矩陣,對(duì)于數(shù)值優(yōu)化算法的求解極為有利,能夠以較少的離散點(diǎn)、較高的速度和精度求得最優(yōu)問題的解[27-30]。

本文使用高斯偽譜法對(duì)無人機(jī)導(dǎo)引軌跡進(jìn)行優(yōu)化,首先將無人機(jī)導(dǎo)引問題轉(zhuǎn)化為以時(shí)間為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。

其中,性能指標(biāo)函數(shù)為

(9)

其動(dòng)力學(xué)約束:

x=f(x(t),u(t),t),t∈[t0,tf]

(10)

邊界約束:

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(11)

路徑約束:

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(12)

基于高斯偽譜法的軌跡優(yōu)化算法在離散點(diǎn)處構(gòu)造全局拉格朗日插值多項(xiàng)式來近似狀態(tài)變量和控制變量,并以多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)代替動(dòng)力學(xué)方程中對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),在一系列高斯配點(diǎn)上滿足動(dòng)力學(xué)方程的約束,從而將微分方程約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程約束。其狀態(tài)變量與控制變量用拉格朗日多項(xiàng)式近似,終端約束用高斯積分近似后,接著通過離散化將軌跡優(yōu)化問題最終轉(zhuǎn)為非線性規(guī)劃(nonlinear programming,NLP)問題[31]。

2.2.1 狀態(tài)量離散化

選擇高斯離散點(diǎn)τ1,τ2,…,τn,是Legendre多項(xiàng)式的根。已知狀態(tài)量在這N個(gè)點(diǎn)處的值為X(τ1),X(τ2),…,X(τn),采用格朗日插值多項(xiàng)式近似的狀態(tài)變量如下:

(13)

式(13)可以簡寫為

(14)

而要求得狀態(tài)量在離散點(diǎn)τ1,τ2,…,τn處的導(dǎo)數(shù),對(duì)式(14)進(jìn)行求導(dǎo),得到在高斯離散點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:

(15)

(16)

則式(10)中微分方程變?yōu)?/p>

(17)

2.2.2 性能指標(biāo)離散化

性能指標(biāo)函數(shù)的積分部分采用高斯求積的方法,其數(shù)值積分的表達(dá)形式如下:

(18)

其中,wk為高斯權(quán)重:

(19)

因此,式(9)中性能指標(biāo)可以寫為

(20)

邊界條件φ(x0,u0,-1;xn,un,1)=0,表示如下:

(21)

最終,將連續(xù)函數(shù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為離散形式的NLP問題如下:

(22)

將式(22)化成NLP問題的簡化數(shù)學(xué)模型:

(23)

式中:f(x)為目標(biāo)函數(shù);hi(x)和gj(x)分別為等式約束和不等式約束。因此,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為常見的非線性約束問題,進(jìn)而可以采用序列二次規(guī)劃法等方法對(duì)該NLP問題進(jìn)行求解。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)導(dǎo)引的對(duì)比仿真

在導(dǎo)引坐標(biāo)系下,設(shè)置無人機(jī)最大速度VP=600 m/s,其與目標(biāo)初始視線角θ=30°,初始距離R0=200 km,捕獲區(qū)域?yàn)?0 km。并假設(shè)目標(biāo)在發(fā)現(xiàn)無人機(jī)的追蹤后,進(jìn)行多次機(jī)動(dòng)并提高其飛行速度,以試圖擺脫追擊,其運(yùn)動(dòng)態(tài)勢如表1所示。

表1 不同階段目標(biāo)機(jī)動(dòng)態(tài)勢Table 1 Target maneuver situation at different stages

滾動(dòng)優(yōu)化過程中無人機(jī)狀態(tài)量約束如表2所示。

表2 無人機(jī)狀態(tài)量約束Table 2 States constraints of unmanned aerial vehicle

無人機(jī)在每一階段的開始對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測,并沿著優(yōu)化后的軌跡導(dǎo)引,在目標(biāo)機(jī)動(dòng)后,進(jìn)入下一階段并重新進(jìn)行優(yōu)化。最終導(dǎo)引軌跡如圖3(a)所示,導(dǎo)引視線角變化如圖3(b)所示,控制量和相對(duì)距離曲線如圖3(c)和圖3(d)所示。

圖3 頂層滾動(dòng)優(yōu)化導(dǎo)引仿真Fig.3 Simulation of top rolling optimization guidance

在整個(gè)導(dǎo)引過程中以優(yōu)化后的視線角θ(t)C作為標(biāo)稱量進(jìn)行底層跟蹤,各段視線角跟蹤曲線和導(dǎo)引軌跡跟蹤情況如圖4和圖5所示?？梢钥闯?經(jīng)過優(yōu)化的控制量np在每一段開始快速接近峰值,這表明無人機(jī)在完成目標(biāo)軌跡預(yù)測后,以最大過載快速轉(zhuǎn)彎對(duì)準(zhǔn)截獲航向,之后再進(jìn)行調(diào)整以消除導(dǎo)引誤差。而從階段3開始,目標(biāo)速度增大,預(yù)測攔截區(qū)域更遠(yuǎn),因此無人機(jī)增大過載進(jìn)行攔截。

圖4 LOS跟蹤曲線Fig.4 Curve of LOS tracking

圖5 軌跡跟蹤情況Fig.5 Trajectory tracking situation

圖4和圖5中,采用軌跡線性化跟蹤視線角的方法,最終能夠很好地跟上頂層優(yōu)化導(dǎo)引軌跡。跟蹤結(jié)束時(shí),視線角誤差小于0.1°,無人機(jī)與目標(biāo)距離9.98 km,用時(shí)184.3 s。

為驗(yàn)證本文所提出的無人機(jī)導(dǎo)引軌跡優(yōu)化方法,在上述滾動(dòng)優(yōu)化條件下,與經(jīng)典比例導(dǎo)引法進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。最終導(dǎo)引軌跡對(duì)比如圖6所示,相對(duì)距離對(duì)比如圖7所示。

圖6 導(dǎo)引軌跡對(duì)比Fig.6 Comparison of guidance trajectory

圖7 相對(duì)距離對(duì)比曲線Fig.7 Comparison curve of relative distance

由圖6可以看出,本文采用的滾動(dòng)優(yōu)化方法在目標(biāo)機(jī)動(dòng)后能靈活控制過載進(jìn)行追蹤。而比例導(dǎo)引法的過載由于與相對(duì)視線角有關(guān),變化較為緩慢,因此導(dǎo)引距離更長,最終用時(shí)202.6 s。相較于比例導(dǎo)引,采用滾動(dòng)優(yōu)化的方法導(dǎo)引時(shí)間更短。

3.2 目標(biāo)航向拉偏跟蹤

在對(duì)導(dǎo)引軌跡優(yōu)化后,考慮到空戰(zhàn)環(huán)境下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的不確定性。假設(shè)目標(biāo)實(shí)際航向發(fā)生偏離,則無人機(jī)和目標(biāo)之間的實(shí)際視線角會(huì)偏離優(yōu)化的視線角,產(chǎn)生誤差,對(duì)后續(xù)滾動(dòng)優(yōu)化的進(jìn)行造成干擾。因此,進(jìn)行目標(biāo)航向拉偏下的視線角跟蹤仿真,以保證視線角不因航向改變而發(fā)生偏離。

假設(shè)目標(biāo)初始航向角偏離5°,采用視線角跟蹤方法對(duì)階段1優(yōu)化出的視線角進(jìn)行跟蹤控制,結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 跟蹤LOSFig.8 Tracking of LOS

由圖8的跟蹤曲線可以看出,在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行導(dǎo)引軌跡優(yōu)化的同時(shí),采用底層跟蹤方法,能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)視線角的跟蹤校正,消除了目標(biāo)偏離產(chǎn)生的誤差。

在表3中,導(dǎo)引結(jié)束后跟蹤視線角誤差0.94°,誤差小于2%。而未進(jìn)行軌跡跟蹤時(shí)偏差達(dá)到10.78°,無法實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。

表3 最終LOS對(duì)比Table 3 Comparison of final LOS (°)

跟蹤仿真結(jié)果表明,針對(duì)實(shí)際作戰(zhàn)環(huán)境下目標(biāo)航向偏離的情況,在軌跡優(yōu)化后引入跟蹤環(huán)節(jié),通過視線角跟蹤控制能夠修正偏離誤差,改善了在復(fù)雜條件下的攔截精度。

4 結(jié) 論

針對(duì)現(xiàn)代空戰(zhàn)中目標(biāo)的不確定性機(jī)動(dòng)問題,本文以高斯偽譜法為基礎(chǔ),采用滾動(dòng)優(yōu)化導(dǎo)引的方法,在每個(gè)導(dǎo)引區(qū)段開始時(shí)對(duì)目標(biāo)軌跡進(jìn)行預(yù)測,并以時(shí)間最短為指標(biāo)優(yōu)化導(dǎo)引軌跡。采用這種滾動(dòng)預(yù)測分段優(yōu)化的方式,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定性機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截,并避免了間接法依賴目標(biāo)準(zhǔn)確軌跡及傳統(tǒng)導(dǎo)引方法耗時(shí)長、計(jì)算量大的缺點(diǎn)。此外,引入對(duì)優(yōu)化視線角跟蹤的環(huán)節(jié),保證了對(duì)目標(biāo)的攔截精度。

最后的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文采用的滾動(dòng)優(yōu)化方法導(dǎo)引時(shí)間更短,并且底層視線角跟蹤的引入消除了實(shí)際作戰(zhàn)環(huán)境中目標(biāo)偏離航線造成的誤差。在現(xiàn)代空戰(zhàn)時(shí)間短、目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力強(qiáng),并可能發(fā)生航向偏離的情況下,本文采用的頂層滾動(dòng)優(yōu)化與底層跟蹤相結(jié)合的方法可以快速完成對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)引及修正,能夠有效地應(yīng)用于現(xiàn)代無人機(jī)空戰(zhàn)導(dǎo)引。