非凸松弛原子范數(shù)空時動目標(biāo)參數(shù)估計算法

來 燃, 孫 剛, 張 威, 章 濤

(中國民航大學(xué)天津市智能信號與圖像處理重點實驗室, 天津 300300)

0 引 言

運動目標(biāo)檢測和參數(shù)估計是機(jī)載雷達(dá)的重要任務(wù)[1]?？諘r自適應(yīng)處理(space-time adaptive processing, STAP)可以有效降低多普勒譜擴(kuò)展的地雜波帶來的不利影響,對于提高機(jī)載雷達(dá)的檢測性能具有重要意義[2-3]。在運動目標(biāo)參數(shù)估計方面,傳統(tǒng)方法主要包括最大似然方法和自適應(yīng)單脈沖方法。最大似然方法需要對動目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行二維搜索,其估計精度與搜索步長有關(guān),運算量較大且估計性能有限[4]。自適應(yīng)單脈沖方法利用自適應(yīng)波束形成技術(shù),消除了雜波和噪聲對參數(shù)估計的影響,然而當(dāng)目標(biāo)位于主瓣雜波區(qū)域時,自適應(yīng)單脈沖比將嚴(yán)重失真,造成參數(shù)估計誤差增大[5]。雖然對單脈沖比施加約束可以在一定范圍內(nèi)改善單脈沖比曲線,但額外的約束條件會消耗系統(tǒng)自由度(degrees of freedom, DOF),導(dǎo)致參數(shù)估計性能下降[6]。

隨著機(jī)載雷達(dá)信號處理方向的技術(shù)進(jìn)步,稀疏恢復(fù)技術(shù)逐漸成為一項熱門方法[7-9]。基于該項技術(shù)的動目標(biāo)參數(shù)估計利用目標(biāo)回波的功率譜在空時平面上的稀疏特性,通過合適的稀疏恢復(fù)算法,實現(xiàn)對目標(biāo)信號的精確重構(gòu),進(jìn)而完成運動目標(biāo)參數(shù)估計。文獻(xiàn)[4]使用基追蹤(basis pursuit, BP)算法對無雜波回波數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏恢復(fù),實現(xiàn)了運動目標(biāo)方位角和速度估計。Feng等人[10]利用回波信號的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和稀疏特性,提出改進(jìn)正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)動目標(biāo)參數(shù)估計方法,該方法相較于常規(guī)OMP方法,不僅具有相當(dāng)?shù)膮?shù)估計精度,還極大地降低了計算復(fù)雜度。

目前,基于稀疏恢復(fù)的動目標(biāo)參數(shù)估計方法將目標(biāo)參數(shù)空間對應(yīng)的空時平面離散地劃分為有限個網(wǎng)格點來構(gòu)建稀疏恢復(fù)字典,當(dāng)存在字典失配問題時,參數(shù)稀疏恢復(fù)性能下降[11-13]。為了降低字典失配對參數(shù)稀疏恢復(fù)性能的影響,文獻(xiàn)[11-13]提出基于網(wǎng)格失配的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(off-grid sparse Bayesian inference,OGSBI)方法。然而,上述針對字典失配問題的參數(shù)估計方法所使用的誤差補償模型是基于一階泰勒級數(shù)近似得到的,當(dāng)字典網(wǎng)格間隔較大時,模型近似誤差增大。為徹底解決字典失配問題,Candes等人[14]提出將重構(gòu)稀疏信號這一過程在連續(xù)參數(shù)空間中實現(xiàn),利用全變分范數(shù)進(jìn)行信號的恢復(fù)處理。這一方法可以有效規(guī)避字典失配問題對估計結(jié)果帶來的不利影響,但該方法需要求解信號的0范數(shù)。文獻(xiàn)[15-16]將0范數(shù)凸松弛為1范數(shù),提出基于半正定規(guī)劃(semidefinite programming,SDP)求解模型的原子范數(shù)最小化(atomic norm minimization,ANM)實現(xiàn)方法,該方法在單目標(biāo)場景下具有優(yōu)異的動目標(biāo)參數(shù)估計性能。但由于凸松弛影響,ANM方法在進(jìn)行兩個或多個空間緊鄰動目標(biāo)參數(shù)估計時會受到分辨率的限制,只有在目標(biāo)參數(shù)空間充分分離到4/DOF時才能成功恢復(fù),無法進(jìn)行準(zhǔn)確的空間緊鄰動目標(biāo)參數(shù)估計。Yang等人[17-18]采用非凸稀疏度量準(zhǔn)則,將0范數(shù)非凸松弛為p(0

1 信號模型

機(jī)載雷達(dá)天線陣采用均勻線性陣列(uniform linear array, ULA),天線陣結(jié)構(gòu)如圖1所示。該ULA由等間距為d=λ/2的N個陣元組成,λ為雷達(dá)發(fā)射波長。載機(jī)平臺以高度H沿y軸飛行,且飛行速度為vp,θ、φ分別為目標(biāo)P的俯仰角和方位角。雷達(dá)在一個相干處理間隔內(nèi)發(fā)射M個脈沖,脈沖重復(fù)頻率為fr。設(shè)待檢測距離單元有K個目標(biāo),其對應(yīng)的空時快拍數(shù)據(jù)xpri∈CMN×1可以寫成

圖1 機(jī)載雷達(dá)ULAFig.1 Airborne radar ULA

xpri=xt+xc+xn

(1)

式中:xt為目標(biāo)分量;xc為雜波分量;xn為噪聲分量。xt可表示為

(2)

式中:γt,k表示第k個目標(biāo)的復(fù)幅度;a(ft)∈CMN×1表示空時導(dǎo)向矢量;?表示Kronecker積,空域?qū)蚴噶縜s(fs,t)∈CN×1定義為

as(fs,t)=[1,ej2πfs,t,…,ej2π(N-1)fs,t]T

(3)

式中:fs,t為目標(biāo)的歸一化空間頻率。

時域?qū)蚴噶縜d(fd,t)∈CM×1定義為

ad(fd,t)=[1,ej2πfd,t,…,ej2π(M-1)fd,t]T

(4)

式中:fd,t為目標(biāo)的歸一化多普勒頻率。

當(dāng)目標(biāo)相對于雷達(dá)做勻速運動時,其歸一化空間頻率為

(5)

歸一化多普勒頻率為

(6)

式中:vt為目標(biāo)相對于雷達(dá)的徑向速度;φt和θt分別為目標(biāo)的方位角和俯仰角。

2 基于固定離散字典的動目標(biāo)參數(shù)估計及字典失配問題

2.1 基于固定離散字典的動目標(biāo)參數(shù)估計

基于固定離散字典的動目標(biāo)參數(shù)估計方法將目標(biāo)的空時二維參數(shù)——方位角和速度空間均勻離散地劃分為Ns×Nd個網(wǎng)格點,對應(yīng)的方位角參數(shù)空間和速度參數(shù)空間分別為{φ1,φ2,…,φNs}和{v1,v2,…,vNd},則離散化的空時導(dǎo)向矢量字典可以表示為

D=[a1,a2,…,aNsNd]=Dd(fd)?Ds(fs)

(7)

式中:Ds(fs)和Dd(fd)分別為空域?qū)蚴噶孔值浜蜁r域?qū)蚴噶孔值?即

(8)

(9)

式(1)中,空時快拍數(shù)據(jù)經(jīng)過雜波抑制[19]后包含待估參數(shù)的目標(biāo)觀測x的稀疏恢復(fù)模型可以表示為

x=Dξ+n

(10)

式中:ξ=[ξ1,ξ2,…,ξNsNd]T為稀疏系數(shù)向量,其每一個非零元素對應(yīng)一個目標(biāo)參數(shù);n為噪聲分量。式(10)中ξ可以通過求解下式中的優(yōu)化問題來估計:

(11)

式中:‖·‖p表示p范數(shù),p=0或2;ε表示誤差容限。

通過式(11)可以獲得稀疏系數(shù)向量ξ,目標(biāo)的空時二維參數(shù)可以進(jìn)而由ξ中非零元素位置對應(yīng)的空時導(dǎo)向矢量獲得。由于式(11)是非確定性多項式難題(non-deterministic polynomial-hard, NP-hard),可以通過其松弛方法求解,如文獻(xiàn)[4]使用BP方法進(jìn)行目標(biāo)參數(shù)稀疏恢復(fù)。

2.2 字典失配問題

基于固定離散字典稀疏恢復(fù)的動目標(biāo)參數(shù)估計方法中的字典由均勻離散化的目標(biāo)參數(shù)空間對應(yīng)的空時導(dǎo)向矢量構(gòu)成,即將空時二維平面劃分為若干個離散化網(wǎng)格點,如圖2所示。當(dāng)真實目標(biāo)沒有落在劃分好的離散化網(wǎng)格點上,即存在字典失配問題時,會導(dǎo)致對該目標(biāo)的估計結(jié)果存在較大誤差。網(wǎng)格化方法構(gòu)造的字典不可避免地存在失配問題,即目標(biāo)以較小概率位于網(wǎng)格點上。雖然縮小網(wǎng)格劃分間隔可增大目標(biāo)落入網(wǎng)格點的概率,但是隨之會使得字典間相鄰原子的相關(guān)性增強,過強的相關(guān)性會導(dǎo)致字典維數(shù)過大,運算量大大增加,同時也會導(dǎo)致稀疏恢復(fù)性能下降[17]。

圖2 字典失配示意圖Fig.2 Schematic plot of dictionary mismatch

3 非凸松弛原子范數(shù)空時動目標(biāo)參數(shù)估計算法

針對基于固定離散字典稀疏恢復(fù)的動目標(biāo)參數(shù)估計方法存在的字典失配問題,本文提出一種非凸松弛原子范數(shù)空時動目標(biāo)參數(shù)估計算法。

目標(biāo)信號子空間可以由其空時導(dǎo)向矢量張成,目標(biāo)觀測x的協(xié)方差矩陣R可以分解如下形式:

(12)

連續(xù)目標(biāo)參數(shù)空間對應(yīng)的空時導(dǎo)向矢量的集合可以表示為原子集合A,即

A{a(f)|a(f)∈CMN×1,f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=
{ad(fd)?as(fs),fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(13)

式中:f為目標(biāo)的歸一化空間頻率和歸一化普勒頻率組成的二維頻率,即f=(fs,fd)。

則目標(biāo)信號xt的加權(quán)原子范數(shù)可以表示為

(14)

式中:Aω為加權(quán)原子集合,即

Aω{aω(f)|aω(f)=ω(f)a(f)∈CMN×1,
f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=
{ω(f)ad(fd)?as(fs),
fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(15)

式中:ω(f)表示原子a(f)的權(quán)函數(shù),即ω(f)的值越大,其對應(yīng)的原子a(f)被選擇的優(yōu)先級就越高。式(14)中的加權(quán)原子范數(shù)最小化問題可以轉(zhuǎn)化為如下的半正定規(guī)劃問題,即

(16)

式中:W為加權(quán)矩陣;S(T)為M×M的塊Toeplitz矩陣,即

(17)

式中:Ti(1-M≤i≤M-1)為N×N的Toeplitz矩陣,即

(18)

定義目標(biāo)信號xt的稀疏測度函數(shù)為

(19)

式中:ε為稀疏正則化參數(shù),當(dāng)ε趨于正無窮時,式(19)表示的稀疏測度等價于原子范數(shù),當(dāng)ε趨于零時,該稀疏測度等價于原子0范數(shù)[17]。根據(jù)目標(biāo)回波的空時功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性以及連續(xù)參數(shù)稀疏恢復(fù)和低秩矩陣恢復(fù)之間的關(guān)系,目標(biāo)信號xt可以通過上式最小化估計獲得,即

(20)

由于ln|S(T)+εIMN|是一個嚴(yán)格凹函數(shù),不能保證得到全局最優(yōu)解,因此式(20)可以使用優(yōu)化最小方法通過多步迭代來逐步逼近局部最優(yōu)解。設(shè)S(Tj)表示第j次迭代的目標(biāo)信號子空間估計值,則第j+1次迭代的最優(yōu)化問題可以表示為

(21)

令W=(1/MN)(S(Tj)+εIMN)-1,ω(f)=[a(f)H·Wa(f)]-1/2,則式(21)等價于求解式(16)的最優(yōu)解。

目標(biāo)信號xt及其子空間S(T)可以通過對式(20)的最優(yōu)化問題進(jìn)行迭代求解獲得。從以上的操作中可以看出,當(dāng)?shù)趈次迭代中的權(quán)值越大,其對應(yīng)的原子在j+1次迭代中被選擇的可能性就會越高,而權(quán)值越小的原子在下次迭代中會被逐步削弱,最終收斂到特定的稀疏解,因而增強了恢復(fù)信號的稀疏度和分辨力。

本文算法的具體操作步驟如下。

步驟 2利用子空間投影技術(shù)[19]對待檢測單元進(jìn)行雜波抑制,抑制后的數(shù)據(jù)記作x。

4 仿真實驗

仿真參數(shù)設(shè)置為如下。機(jī)載雷達(dá)采用陣元數(shù)為N=16的正側(cè)視ULA,脈沖重復(fù)頻率fr=2 434.8 Hz,相干脈沖數(shù)M=16,雷達(dá)發(fā)射波長為λ=0.23 m,ULA陣元間距為半個波長,載機(jī)平臺高度H=9 000 m,載機(jī)速度vp=140 m/s,輸入信噪比SNR=0 dB,雜噪比CNR=40 dB,使用64個參考單元數(shù)據(jù)估計雜波協(xié)方差矩陣,兩個勻速運動目標(biāo)處于待檢測單元內(nèi),方位角分別為φt,1=84.05°和φt,2=80.05°,目標(biāo)相對于雷達(dá)的徑向速度分別為vt,1=98.99 m/s和vt,2=93.99 m/s。仿真實驗對比了本文方法、ANM方法及文獻(xiàn)[13]中的OGSBI方法等3種網(wǎng)絡(luò)失配方法和文獻(xiàn)[4]中的BP方法、文獻(xiàn)[10]中的OMP方法等兩種固定離散字典方法,OGSBI方法中最大迭代次數(shù)為2 000,超參數(shù)誤差最大值設(shè)置為1×10-3,BP方法和OMP方法中網(wǎng)格點數(shù)選取Ns=Nd=16,此時ANM方法的分辨率為4/DOF=0.016,參數(shù)估計均方根誤差蒙特卡羅實驗次數(shù)為500次。

關(guān)于ANM方法分辨率理論邊界的分析如下:本文需進(jìn)行空時動目標(biāo)歸一化多普勒頻率與空間頻率的二維估計,在理想無噪聲情況下,通過ANM方法對頻率進(jìn)行精確求解要求頻率間隔至少為4/DOF[20]。因此,動目標(biāo)二維頻率的歐氏距離需滿足

(22)

式中:DOF=M×N;fs,t,1和fs,t,2分別為目標(biāo)1和目標(biāo)2的空間頻率;fd,t,1和fd,t,2分別為目標(biāo)1和目標(biāo)2的歸一化多普勒頻率。fs,t,i和fd,t,i分別滿足:

(23)

(24)

實驗 1比較不同方法對空間緊鄰目標(biāo)的估計性能。根據(jù)ANM方法受到分辨率限制與否將目標(biāo)的參數(shù)設(shè)置為以下兩種情況:① 當(dāng)ANM方法未受到分辨率限制時,設(shè)置兩個目標(biāo)的方位角分別為φt,1=84.05°和φt,2=80.05°,目標(biāo)相對于雷達(dá)的徑向速度分別為vt,1=98.99 m/s和vt,2=93.99 m/s;② 當(dāng)ANM方法受到分辨率限制時,設(shè)置兩個目標(biāo)的方位角分別為φt,1=81.55°和φt,2=80.05°,目標(biāo)相對于雷達(dá)的徑向速度分別為vt,1=98.99 m/s和vt,2=96.99 m/s。

圖3對比了本文方法、ANM方法、OGSBI方法、BP方法以及OMP方法在信噪比SNR=10 dB下的動目標(biāo)參數(shù)估計結(jié)果。其中,圖3(a)為ANM方法未受到分辨率限制時的參數(shù)估計結(jié)果,圖3(b)為ANM方法受到分辨率限制時的參數(shù)估計結(jié)果。由圖3(a)可看出,BP方法和OMP方法基于離散字典實現(xiàn),其估計結(jié)果只能在劃分好的網(wǎng)格點上,當(dāng)目標(biāo)參數(shù)真值不在字典網(wǎng)格點上時,存在字典失配問題,其參數(shù)估計結(jié)果誤差較大,OGSBI方法補償了字典失配誤差,其參數(shù)估計精度高于BP方法和OMP方法,然而模型近似引入的誤差使得其參數(shù)估計精度較差。ANM方法可以避免字典失配問題,在未受到分辨率限制時能夠正確分辨出兩個目標(biāo),且估計精度高于OGSBI方法,但本文方法的估計精度更高。如圖3(b)所示,當(dāng)兩個目標(biāo)的參數(shù)空間相鄰較近時,BP方法與OMP方法由于字典網(wǎng)格的影響,均只能估計出一個目標(biāo),且具有較大的估計誤差;ANM方法由于受到其分辨率限制,同樣不能分辨出兩個目標(biāo);OGSBI方法雖然能夠?qū)@兩個空間緊鄰的動目標(biāo)進(jìn)行辨識,但其參數(shù)估計誤差較大;而本文方法由于對原子范數(shù)進(jìn)行了非凸松弛,突破了ANM的分辨率限制,能夠準(zhǔn)確分辨兩個參數(shù)空間緊鄰目標(biāo),且參數(shù)估計精度高于OGSBI方法。

圖3 動目標(biāo)參數(shù)估計結(jié)果比較(SNR=10 dB)Fig.3 Comparison of parameter estimation results for moving target (SNR=10 dB)

當(dāng)ANM方法受到分辨率限制時,本文方法和ANM方法的空時譜估計結(jié)果如圖4所示。其中,圖4(a)為ANM方法的空時譜估計結(jié)果,圖4(b)為本文方法的空時譜估計結(jié)果。從圖4可以看出,ANM方法在受到分辨率限制情況下的空時譜估計結(jié)果僅有一個譜峰,而本文方法能夠準(zhǔn)確估計兩個參數(shù)空間緊鄰動目標(biāo)的空時譜譜峰,這和目標(biāo)參數(shù)估計結(jié)果具有一致性。

圖4 動目標(biāo)空時譜估計結(jié)果比較(SNR=10 dB)Fig.4 Comparison of space-time spectrum estimation results for moving targets (SNR=10 dB)

實驗 2比較不同方法在不同信噪比條件下的參數(shù)估計性能。仿真參數(shù)適用實驗1情況1中參數(shù),即兩個目標(biāo)緊鄰情況。圖5和圖6為5種方法的估計性能隨SNR變化對比圖。其中,圖5為目標(biāo)方位角估計性能隨SNR變化對比圖,圖6為目標(biāo)速度估計性能隨SNR變化對比圖。從仿真結(jié)果來看,圖5和圖6進(jìn)一步體現(xiàn)了本文方法相比ANM方法、OGSBI方法、BP方法和OMP方法在估計精度上的優(yōu)勢。BP方法和OMP方法參數(shù)估計性能并沒有隨著信噪比的增大而提高,這是由于使用固定離散字典,字典網(wǎng)格間距限制了這兩種方法的參數(shù)估計精度。OGSBI方法補償了字典失配帶來的估計誤差,其參數(shù)估計性能優(yōu)于BP方法和OMP方法,但模型近似引入的誤差限制了其估計性能的提升。而ANM方法雖然沒有固定離散字典網(wǎng)格間距帶來的估計精度限制,但由于凸松弛引入的分辨率限制4/DOF,使得其估計性能未隨信噪比提高而明顯提升。本文方法由于采用非凸松弛原子范數(shù),沒有分辨率限制,方位角和速度估計性能隨信噪比提升不斷提高,且更加接近對應(yīng)的克拉美-羅界(Cramer-Rao bound,CRB)理論曲線,參數(shù)估計性能明顯優(yōu)于其他4種方法。

圖5 動目標(biāo)方位角估計性能比較Fig.5 Comparison of the azimuth estimation performance for moving target

圖6 動目標(biāo)速度估計性能比較Fig.6 Comparison of the velocity estimation performance for moving target

實驗 3比較不同方法在不同雜噪比(雜噪比越高,雜波干擾越強,目標(biāo)淹沒在雜波中,參數(shù)估計越困難)條件下的參數(shù)估計性能。仿真參數(shù)適用實驗1情況1中參數(shù),設(shè)置信噪比SNR=0 dB,雜噪比CNR取值范圍為10 dB至30 dB。圖7(a)和圖7(b)分別為不同雜噪比條件下這幾種方法對于目標(biāo)1和目標(biāo)2的參數(shù)估計誤差曲線。從圖7中可以看出,隨著雜噪比的增加,BP方法、OMP方法、OGSBI方法、ANM方法與本文方法的估計性能均有所下降,但本文方法的估計性能仍然優(yōu)于其他方法,特別是在低雜噪比為10 dB至20 dB時優(yōu)勢更加明顯。

圖7 不同雜噪比條件下的動目標(biāo)參數(shù)估計性能比較Fig.7 Comparison of moving target parameter estimation performance under different clutter-to-noise ratios

5 結(jié) 論

本文針對參數(shù)稀疏恢復(fù)STAP中動目標(biāo)參數(shù)估計存在字典失配的問題,提出一種非凸松弛原子范數(shù)空時動目標(biāo)參數(shù)估計算法。該方法利用目標(biāo)回波在角度-多普勒域的稀疏特性,根據(jù)連續(xù)壓縮感知和低秩矩陣恢復(fù)理論實現(xiàn)動目標(biāo)參數(shù)的高精度、超分辨率估計,在不受到分辨率限制的同時避免了固定字典網(wǎng)格的稀疏恢復(fù)參數(shù)估計方法中的字典失配問題,有效提高了動目標(biāo)參數(shù)的估計性能。