基于光滑整形的鋼包快速精準定位研究*

聶國強 孟文俊 廖宣琳

太原科技大學 太原 030024

0 引言

鑄造起重機是鋼鐵冶煉廠的主要生產設備，主要用于轉爐加料以及轉爐時勾兌鐵水。在將鋼包吊運至精煉爐或連鑄回轉臺時，將盛有金屬液的鋼包迅速吊運至澆鑄口的上方進行澆鑄，此過程要求起重機的動作迅速且精準。由于鋼絲繩存在擺動現(xiàn)象，較輕時會延長起重機的運行時間，造成鋼水過早的冷卻，降低產品的質量和工作效率；嚴重時會導致金屬液濺到澆鑄口外，引發(fā)安全事故[1]。鋼水在吊運過程中由鋼包的周期性擺動所激勵而產生晃動，反過來又造成鋼包負載重心發(fā)生偏移，這種影響對其吊運系統(tǒng)的防搖、精確定位、大小車運行及澆注等后續(xù)工藝流程都會產生不利影響。目前，針對鋼包吊運系統(tǒng)防搖控制的研究很少，多是在傳統(tǒng)起重機防搖的基礎上加一個干擾信號去模擬剛睡晃動的影響[2，3]。隨著智能化時代的到來，鑄造起重機也將逐步實現(xiàn)無人化，鋼包吊運系統(tǒng)作為重要的一環(huán)，其系統(tǒng)的表現(xiàn)顯得越來越重要。因此，建立相對準確地數(shù)學模型以及為其精準定位控制至關重要。針對這一問題，本文基于等效力學原理建立了鋼包吊擺系統(tǒng)的物理模型，基于拉格朗日方程推導出其運動方程，并在該運動方程的基礎上設計了級聯(lián)光滑整形控制器。

1 等效力學建模

根據(jù)等效力學原理，本文采用一系列質量－彈簧－阻尼構成的等效力學模型模擬近似鋼包內鋼水晃動的情況。圖1 所示質量－彈簧－阻尼中的每一個都代表了鋼水的各個模態(tài)。

圖1 吊運鋼包系統(tǒng)等效力學模型

鋼包通過長度為a的鋼絲繩連接到小車上，小車在水平方向以加速度u‥(t)移動，而鋼包在xy平面以擺動角θ擺動。每個質量塊mi沿鋼包橫軸移動，相對于鋼包具有相對位移qi(t)；每個qi(t)代表對應于第i階晃動模態(tài)的廣義位移。定義容器質心、液體固定質量m0和第i個點質量塊mi的位置向量，對時間取導數(shù)得到速度向量，進而得到容器的動能、勢能，并根據(jù)拉格朗日方程得到全耦合非線性微分方程

式中：lc、l0、li分別為小車到鋼包質心、液體固定質量m0和第i個集中質量mi的距離，g為重力加速度，ζ、ωi分別為鋼水晃動阻尼比和鋼水晃動的i階（i＝1，2，…，n）晃動模態(tài)頻率。

由等效模型與橫向激勵下的解析解的力和力矩的等效、自然頻率等效可以求得等效模型參數(shù)[4]，即有

在式（2）、式（3）中，ζ1n為Bessel 第1 類函數(shù)一階導數(shù)的根，由低到高排列，對應晃動頻率的特征值ξ11～ξ15為1.841 2、5.331 4、8.536 3、11.706、14.863。質量塊的高度根據(jù)質量矩守恒方程：，其中h0為固定質量到鋼水質心高度h/2 的距離；mf為鋼包內鋼水質量，mf=ρπR2h，晃動阻尼比ζ可表示為

式中：v=μ/ρ為鋼水的運動粘度，ρ為鋼水的密度，μ為鋼水的動力粘度。

系統(tǒng)對于小車的等效轉動慣量為

負載對小車的等效力矩為

鋼水相對于其質心的轉動慣量為[3]

若鋼包吊運系統(tǒng)由靜止開始吊運，則微分方程滿足初始條件為

式中：θ0、0為鋼絲繩的初始擺角和初始擺動速度，qi，0、i，0為質量塊質量mi相對于鋼包壁的初始位移和速度。

考慮到鋼水包在實際工況中以靜止開始搬運，故運動方程中的初始條件設為零初始條件。通過假設較小的振蕩角θ和較小的表面波振蕩qi來線性化，可將式（1）簡化為

等效模型中鋼水自由液面在鋼包內壁處的高度為[4]

式中：δ(t)為鋼包內壁液位高度變化，用來表征等效模型中鋼水晃動程度。

為了盡可能地符合生產實際要求，模型參數(shù)選取了一組具有代表性的參數(shù)，鋼水動力粘度系數(shù)隨其溫度、各元素含量等影響，查閱相關文獻[5]設置0.02 Pa·s，系統(tǒng)模型詳細參數(shù)如表1 所示。

表1 鋼包吊運系統(tǒng)參數(shù)

2 系統(tǒng)特性分析

鋼水晃動主要集中在晃第一階反對稱模態(tài)[6]，為了使得模型更簡潔，控制器的設計僅考慮第一階反對稱模態(tài)，然后將模型線性化得到

令x1＝θ，x2＝θ，x3＝q1，x4＝q1，得到狀態(tài)空間方程并化成標準形式。為了分析橋式起重機系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性、能控性、能觀性，將表1 參數(shù)帶入到上述狀態(tài)方程中，即有

由以上關系解得其特征根為eigA＝[0.807 8i-0.807 8i-0.005+3.528 5i-0.005-3.528 5i]T，特征值均未出現(xiàn)在虛軸的右平面，該系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定性。從物理意義討論，式（6）的模型系統(tǒng)忽略了空氣阻尼等非必要干擾，但因現(xiàn)實工況下存在抑制阻尼，擺幅會逐漸減小，最終吊重的擺動會衰減為零，使鋼包吊運系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。

矩陣A、矩陣C可以評估可觀測性，可觀測性判據(jù)是可觀測矩陣為滿秩，可表示為

將系數(shù)矩陣A和矩陣C代入式（8） 即有：rankQO=4，由可觀測性判據(jù)可認為該系統(tǒng)是可觀的。常系數(shù)矩陣A及常系數(shù)矩陣B可以評估可控制性，這2個矩陣組成的可控性矩陣為滿秩，可表示為

把系數(shù)矩陣A和矩陣B帶入式（9） 即有：rankQc=4，根據(jù)可控性判據(jù)可認為系統(tǒng)是可控的。

3 光滑整形控制介紹

輸入整形算法是將小車的控制信號經(jīng)過整形后輸入到系統(tǒng)中，從而消除搖擺。利用滑車的速度變化控制擺角大小是一種前饋控制方法，廣泛應用于起重機防搖擺。在當前電子防搖中，大多需要安裝吊重擺角傳感器，成本較高，而在輸入整形算法控制中無需實時測量吊重的擺角，可以大幅節(jié)約成本[7]。雖然輸入整形控制為開環(huán)控制，受風力等外界因素的影響較大，而吊運鋼包的吊運鋼包的起重機位于室內廠房，故采用該算法的經(jīng)濟性非常高。光滑整形算法原理如圖2 所示。

圖2 輸入整形算法原理圖

首先確定幅值，以保證增益在整形前后的幅值相同，設定整形控制器脈沖幅值之和為1，。為了使系統(tǒng)不發(fā)生超調現(xiàn)象，整形控制器脈沖幅值應全部為正數(shù)，則Ai＞0。為了提高系統(tǒng)響應速度，最大程度地減小延遲時間，則t1=0；而實際上，輸入整形控制器延遲脈沖的延遲時間應全部為正數(shù)，則ti＞0。

加入輸入整形控制器，系統(tǒng)對單位脈沖響應為

將式（10）進行三角級數(shù)展開然后變形可得

其中

式中：ωn為固有頻率，ξ為系統(tǒng)阻尼比，ωd為阻尼振蕩頻率。

對式(10)和式(11)進行比較，即可得到殘留振蕩為

對于墨西哥而言，發(fā)展竹建筑的意義不僅僅是出于經(jīng)濟方面的考慮，還可以緩解5個世紀以來土著群體所受的社會壓迫。墨西哥土著居民盡管被殖民化，但他們的傳統(tǒng)仍然存在，而且他們的生產潛力也仍然存在。正如墨西哥諺語所說“他們試圖埋葬我們，但他們不知道我們是種子”。

為了抑制振蕩，只要令C（ωn，ξ）、C（ωn，ξ）關于ωn的各階導數(shù)等于零，然后聯(lián)立、t1=0 即可得到光滑整形控制器的脈沖幅值Ai和延時ti為

其中

式中：T為系統(tǒng)振動周期。

通過以上計算，分別求得整形器的幅值和延時即可設計光滑整形器，然后利用Simulink 建立級聯(lián)光滑整形器仿真，如圖3 所示。

圖3 級聯(lián)光滑整形器Simulink 仿真圖

4 算例研究

為了探索鋼包吊運系統(tǒng)在極限工況時的系統(tǒng)響應，分析不同光滑整形器的控制效果，本文采用較大加速度曲線對系統(tǒng)施加驅動，在表1 所示系統(tǒng)參數(shù)及外部激勵作用下，采用3 種整形控制器分別對鋼包吊運系統(tǒng)進行振蕩抑制，這3 種整形控制器的效果如圖4 ～圖8 所示。

圖4 加速度曲線圖

圖5 速度曲線圖

圖6 小車位移曲線圖

圖7 鋼絲繩擺角圖

圖8 鋼水晃動響應

由圖4 可知，在加入ZV 整形控制器后，系統(tǒng)的輸入加速度幅值減半，但整個驅動過程相比于原加速曲線延時了約4 s；在加入雙ZV 級聯(lián)整形控制器后，加速度曲線進一步平滑，但其加速度延時相比于ZV 整形控制器基本不變；當加入雙ZVD 級聯(lián)整形控制器后，加速度曲線進一步平滑，但加速度曲線延時至23 s 附近；當加入雙ZVDD 級聯(lián)整形控制器后，加速度曲線幅值進一步降低，變得更加平滑，但穩(wěn)定時間延時至29 s 附近。

由圖5 可知，當加入ZV 整形控制器后，小車速度曲線的斜率有降低，勻速運行時間減小，且小車停止時間增加了約4 s；當加入雙ZV 級聯(lián)整形控制器后，小車的速度曲線斜率和小車停止的時間基本不變；當加入雙ZVD 級聯(lián)整形控制器后，小車速度曲線斜率繼續(xù)降低，且小車勻速運行時間幾乎減小到零，小車停止時間延時至23 s 附近；當加入雙ZVDD 級聯(lián)整形控制器后，小車的最大速度有所減小，小車停止的時間增加至28 s附近。

由圖6 可知，從小車的位移曲線可以看到5 種方案都能將小車送達指定位置，但相比于未整形方案加入整形控制器后，到達指定位置的時間有所延長，且引入的整形控制器越復雜，則小車到達指定位置的時間越長。

由圖7 可知，未加入整形控制器的鋼絲繩擺角非常大，在極限加速度驅動下，鋼絲繩最大擺角達到了30°以上，這對起重機特別是鋼水包吊運來說非常危險。然而，在加入整形控制器后，鋼絲繩擺角得到較大改觀。當加入ZV 整形控制器后，鋼絲繩的最大擺角降到8.5°左右，在17.5 s 以后擺角下降至2°以內；當加入雙ZV 級聯(lián)整形控制器后，鋼絲繩白響應與ZV 整形控制器結果基本一致；當加入雙ZVD 級聯(lián)整形控制器后，鋼絲繩最大擺角下降到5°以內，且在22 s 以后下降到1°以內；當加入雙ZVDD 級聯(lián)整形控制器后，鋼絲繩的最大擺角下降到4°以內，且在25 s 以后基本做到了0 振蕩。

由圖8 可知，未加入整形控制器的鋼水最大晃動達到12 cm，這對鋼水運輸來說非常危險。在加入ZV整形控制器后，晃動的最大的幅值下降至5 cm，在18 s 后殘余晃動幅值也能保持在3 cm 以內；當加入雙ZV 級聯(lián)整形控制器后，鋼水晃動的最大幅值下降至2 cm 左右，在20 s 后鋼水晃動基本為零震蕩；在加入雙ZVD 及ZVDD 級聯(lián)整形控制器后，鋼水晃動的幅值進一步減小，分別達到1 cm 和0.5 cm，且在25 s 后使鋼水晃動為零震蕩。

5 結論

鋼包吊運系統(tǒng)的定位防擺在重型鑄造行業(yè)具有非常重要的意義，由于我國大多依據(jù)工人經(jīng)驗手動消擺，精度差穩(wěn)定性低。為此，根據(jù)鑄造起重機吊運鋼水的特殊作業(yè)狀態(tài)，建立吊運系統(tǒng)等效力學模型，通過建立鋼包吊運系統(tǒng)的質量－彈簧－阻尼模型推導出運動方程。采用雙級聯(lián)光滑整形器對鋼包吊運系統(tǒng)進行安全快速精準定位控制。結果表明：光滑整形器不僅可以消除小車停止后鋼絲繩殘余擺角和鋼水晃動，還能保證整個吊運過程中鋼絲繩擺角和鋼水晃動始終保持較低水平。采用更復雜的光滑整形控制器控制效果會更好，但計算成本及系統(tǒng)穩(wěn)定的時間將會增加。在實際工程應用當中，出于經(jīng)濟上的考慮，在滿足控制目標的前提下，應當盡可能地降低整形控制器復雜度。