轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

韓為平

(浙江省寧?？h城關(guān)中學(xué),浙江 寧波 315600)

利用轉(zhuǎn)化思想解題,不僅有利于學(xué)生分析與解決問題,而且還能幫助學(xué)生更好地鞏固與理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識,以增強新舊知識之間的銜接,增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用概述

轉(zhuǎn)化思想就是在研究與解決問題時,通過某種方式對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,以達(dá)到解決問題的目的.一般來說,是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題,將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題.總之,利用轉(zhuǎn)化思想把陌生化為熟悉、復(fù)雜化為簡單、抽象化為具體,從而使問題得到解決[1].教學(xué)中,學(xué)生已具備了一定的基礎(chǔ),在解決各種問題時,也可以判斷出選擇什么方法進(jìn)行分析與解答.若教師仍通過固定思維約束學(xué)生,不僅會影響到學(xué)生的個性化需求,而且還會影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,從而影響學(xué)生的解題效率.而將轉(zhuǎn)化思想用于初中數(shù)學(xué)解題,有利于學(xué)生積極主動地參與到問題的思考與解答中,讓學(xué)生從多個角度來看待問題,掌握分析與解決問題的方法,使學(xué)生實現(xiàn)持續(xù)性發(fā)展.但是,依據(jù)教學(xué)存在的問題,教師可依據(jù)學(xué)生呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)特點,對教學(xué)思想與教學(xué)策略進(jìn)行調(diào)整,并對學(xué)生的思維發(fā)展情況進(jìn)行引導(dǎo),從而使學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化問題、分析問題以及解決問題,并讓學(xué)生完善知識體系,為以后的學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ)[2].

2 轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

2.1 直接轉(zhuǎn)化

直接轉(zhuǎn)化主要指與習(xí)題相結(jié)合,創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的情境,依據(jù)學(xué)習(xí)的知識,將需要解決的問題轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的定理、公式或者基本圖形.通過直接轉(zhuǎn)化解答問題,需深度理解題意,特別是挖掘題干中的隱含條件,并與自身的解題經(jīng)驗相結(jié)合,經(jīng)過轉(zhuǎn)化及推理,找到解題思路,有效解決問題[3].

例1 如圖1,△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D點,AD=4,P是半徑為2的圓A上的一個動點,連接PC,如果點E為線段PC的中點,連接DE,DE長的最大值是( ).

圖1 P點運動軌跡圖 圖2 E點運動軌跡圖

A.3 B. 3.5 C.4 D.4.5

解析通過直接法解答問題,可與已知條件相結(jié)合,聯(lián)想有關(guān)的定義、圖形性質(zhì)等,構(gòu)建相應(yīng)的輔助線,通過更直接的形式呈現(xiàn)參數(shù)與線段的關(guān)系,以實現(xiàn)問題的高效解決.

2.2 特殊轉(zhuǎn)化

學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時,都會有自己的思路,而特殊情況,則需依據(jù)題中給定的條件,由特定角度入手,思考問題解決的方法.也就是由一般轉(zhuǎn)化為特殊,讓學(xué)生突破原有的解題限制,引導(dǎo)學(xué)生歸納、整理與篩選解題方法,并選擇適合的方式,解決問題.

例2 如圖3,圓柱體軸截面是正方形ABCD,邊長是4,若一只螞蟻由A點沿圓柱側(cè)面爬至線段BC的中點E,最短路程是多少?

圖3 圓柱體ABCD 圖4 螞蟻移動軌跡平面圖

解析教師可引導(dǎo)學(xué)生將圓柱側(cè)面展開,即把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,從而解決問題.

2.3 等式轉(zhuǎn)化

等式轉(zhuǎn)化的思想更多適用于等式問題以及不等式問題,經(jīng)過轉(zhuǎn)化可有效化簡不等式,使題目難度降低.等式轉(zhuǎn)化的方法主要包含了移項法、配方法,將這種方法用于初中數(shù)學(xué)的解題過程,可使學(xué)生形成良好邏輯思維.同時,等式轉(zhuǎn)化的形式是靈活多變的,在教學(xué)中,可依據(jù)學(xué)生的學(xué)情讓學(xué)生通過分析,準(zhǔn)確把握等式以及不等式的解題技巧.

2.4 換元轉(zhuǎn)化

換元主要指在解題中,遇到復(fù)雜式子或比較多參數(shù)的問題時,可將其替換成另一個參數(shù),充分呈現(xiàn)出參數(shù)的規(guī)律,降低學(xué)生的解題難度.想要使學(xué)生準(zhǔn)確把握換元在解題中的運用技巧,教師就需選擇相應(yīng)的試題,引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行仔細(xì)分析,明確換元的具體運用方法,以拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)視野,提高學(xué)生解題的靈活性.

例4 如圖5,長方形ABCD當(dāng)中,AB=10,BC=6,點E、F為線段BC、CD上的點,且BE=DF=x,分別以FC、CE為邊在長方形ABCD的外側(cè)作正方形CFGH與正方形CEMN,如果長方形CEPF的面積是45平方單位,那么圖中陰影部分的面積是多少平方單位?

圖5 陰影部分面積圖

解析在解題時,若直接采用常規(guī)的方式求解,難度是十分大的,而通過換元,則能給予學(xué)生良好的啟發(fā).

解據(jù)題意可得:FC=10-x,CE=6-x,由于長方形CEPF的面積是45平方單位,因此,(10-x)(6-x)=45此時,陰影部分的面積是(10-x)2+(x-6)2.運用換元轉(zhuǎn)化,設(shè)10-x=a,x-6=b,因此,ab=-45,a+b=4,即(10-x)2+(x-6)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2×(-45)=106,因此,圖中的陰影部分面積是106平方單位.

2.5 數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形轉(zhuǎn)化主要指經(jīng)過數(shù)和形之間的靈活轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)問題的高效解決.要使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想,并提高解題能力,教師就需將有關(guān)的解題技巧講給學(xué)生,特別是對函數(shù)圖像實施適當(dāng)?shù)淖儞Q,以便實現(xiàn)高效解題.

例5 已知二次函數(shù)C:y=ax2-2ax+c的圖像過N(1,2),與x軸相交點A(-1,0)和點B,詳見圖6.

圖6 拋物線C

(1)求二次函數(shù)C的解析式;

(3)如圖7所示,將拋物線C的頂點平移至原點,得到拋物線C1,有直線l:y=kx-2k-4與拋物線C1相交在P、Q兩個點,且拋物線C1上存在定點D,使∠PDQ=90°,求D點的坐標(biāo).

圖7 拋物線C1

綜上所述,解題時運用轉(zhuǎn)化思想,能將復(fù)雜、陌生的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟悉的問題,從而提高學(xué)生的解題能力.