從關(guān)注數(shù)學(xué)的內(nèi)容到關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)
——對“‘三角形的內(nèi)角和’教學(xué)設(shè)計（二）”的研磨過程

哈爾濱市經(jīng)緯小學(xué)

“玉不琢，不成器?！蓖瑯?課不磨，不精彩。一節(jié)好課不是模仿出來的,不是演出來的，而是一步一個腳印研磨出來的。這節(jié)課在哈爾濱市道里區(qū)進修學(xué)校小學(xué)部馬金國主任和童星老師的指導(dǎo)下經(jīng)歷了多次研討、備課、試講，其間經(jīng)歷了從關(guān)注一個知識點到關(guān)注整體架構(gòu)、從關(guān)注本課設(shè)計到關(guān)注大單元備課、從關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容到關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)與思考的過程。

一、對教學(xué)內(nèi)容的琢磨

“三角形的內(nèi)角和”屬于“圖形的認(rèn)識與測量”主題，是人教版四年級下冊第五單元內(nèi)容。四年級上學(xué)期學(xué)生已經(jīng)會用量角器量角，在這一單元里還認(rèn)識了三角形，知道了三角形的分類，本課是讓學(xué)生理解和探索“三角形內(nèi)角和是180°”這個重要性質(zhì)，數(shù)學(xué)的核心思想是分類和轉(zhuǎn)化思想。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在本課教學(xué)提示中指出“可以從特殊三角形入手，通過直觀操作，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三角形的內(nèi)角和，增強幾何直觀”。

二、對教學(xué)設(shè)計的琢磨

基于以上分析，我最初設(shè)計了一定的情境，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各自拿出一個角比大小，誰會贏？ 學(xué)生提議公平起見各自把三個內(nèi)角合起來比大小，順勢揭示概念。 由比大小引發(fā)學(xué)生進行小組合作探究活動：動手量一量、算一算。 接著借助手中形狀大小不同的三角形，采用剪、撕、折等多種方法動手把三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角，驗證三角形內(nèi)角和是180°。

接著讓學(xué)生根據(jù)長方形的內(nèi)角和是360°，把長方形分成兩個相同的直角三角形，推理、驗證得出直角三角形內(nèi)角和是180°。

在此基礎(chǔ)上，任意一個三角形沿著它的高都可以將它分成兩個直角三角形。 兩個直角三角形內(nèi)角的和：180°+180°=360°，一個三角形內(nèi)角和：360°-90°-90°=180°。最后是應(yīng)用三角形的內(nèi)角和知識解決問題，獨立完成數(shù)學(xué)書第65 頁做一做和第67 頁的第1.2 題。

在第一次試講過程中發(fā)現(xiàn)情境的創(chuàng)設(shè)和探究問題沒有激發(fā)學(xué)生的研究興趣，相反，四年級學(xué)生大多數(shù)知道三角形的內(nèi)角和是180°，已經(jīng)不是零起點。我們都說“學(xué)習(xí)要從孩子該開始、想開始的地方開始”，所以這樣的教學(xué)設(shè)計沒有達到使學(xué)生產(chǎn)生探索研究的“真需求”。 而且《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，建議設(shè)計要整體分析、把握教學(xué)內(nèi)容，不要局限于一節(jié)課，可以是單元整體設(shè)計，也可以跨單元、跨年級甚至跨學(xué)段進行內(nèi)容模塊設(shè)計，通過長期持續(xù)的教學(xué)活動，幫助學(xué)生構(gòu)建支撐未來學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識體系， 把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣。 所以我聯(lián)系初中研究的三角形內(nèi)角和知識，從學(xué)生已知出發(fā)，對三角形、三角形的角、三角形的內(nèi)角、三角形的內(nèi)角和的概念深入地逐一做出了描述性解釋，使學(xué)生真正掌握三角形內(nèi)角和的本質(zhì)。

片段1：在黑板上畫一個三角形，問關(guān)于三角形都知道了什么，接著再在三角形中畫一條線段，請學(xué)生指一指現(xiàn)在這個圖形里有幾個三角形？

每個三角形的角都在哪兒？

之后讓學(xué)生辨析這個角是1 號和3 號三角形的角嗎？學(xué)生明確我們所說的三角形的角不但都在三角形的里面，而且是三角形兩條邊夾著的角。

順勢揭示概念三角形的內(nèi)角和概念。

通過這樣扎實有效的活動， 為后面的學(xué)習(xí)掃清障礙，不但進一步加深了學(xué)生對角的認(rèn)識，同時使學(xué)習(xí)的指向性變得更加清晰，也體現(xiàn)了教師對學(xué)情的準(zhǔn)確把握和預(yù)設(shè)。

片段2：有什么方法可以知道這三個三角形的內(nèi)角和呢？ 學(xué)生首先想到動手量一量算一算，順勢引導(dǎo)學(xué)生合作探究進行活動一。從學(xué)生測量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)這三個三角形的內(nèi)角和大多數(shù)是180°，和三角形的大小沒有關(guān)系，即使不是也非常接近180°，真切感受到測量誤差的真實存在性。還有什么方法檢驗三角形的內(nèi)角和是180°呢？ 老師提前給每人準(zhǔn)備一個形狀、大小都不一樣的三角形，接下來進行活動二。

學(xué)生聯(lián)系平角的知識，用“剪拼”“撕拼”“折拼”等方法,把三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成一個平角，驗證三角形的內(nèi)角和是180°。通過操作，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，從個別到多樣的過程， 又通過把三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為平角的探究活動，向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想，增強幾何直觀。

但這還不夠，在這個基礎(chǔ)上老師又利用計算機中的幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)， 發(fā)現(xiàn)無論三角形形狀怎樣變，但內(nèi)角和180 度是不變的。

片段3：出示幾何畫板中的一個三角形ABC，電腦會自動計算出每個角的度數(shù)并顯示出來，還算出它的內(nèi)角和是多少度，然后拉動頂點A，三角形的形狀發(fā)生變化，數(shù)據(jù)也發(fā)生了變化，可內(nèi)角和還是180°。再拉一拉觀察三個角的度數(shù)和三角形的內(nèi)角和。 再換頂點B 頂點C 拉動，重點觀察三角形的內(nèi)角和。

學(xué)生很自然地發(fā)現(xiàn)三角形的形狀在變，三個角卻互相牽制，有的角在變大，有的角在變小，但是三角形的內(nèi)角和沒有變化，任意三角形的內(nèi)角和都是180°。

從第二次試講的課堂來看，學(xué)生對于任意三角形內(nèi)角和是180°這一結(jié)論真正做到了在真實情境中經(jīng)歷“猜測——動手實踐——得出結(jié)論”這一過程。

但是新的問題又出現(xiàn)了，練習(xí)題的設(shè)計始終和前面的知識不能成為一體，也就是新課標(biāo)要求教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定要體現(xiàn)整體性，注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，或者在單元視角下，讓學(xué)生運用三角形的內(nèi)角和是180°特征解決哪些問題更有效。怎樣能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力擺在眼前。 經(jīng)過進一步思索，聯(lián)系本單元接下來的內(nèi)容多邊形的內(nèi)角和， 做到能夠關(guān)注知識的結(jié)構(gòu)化， 讓教學(xué)精準(zhǔn)啟航。

片段4：出示一個長方形，它的內(nèi)角和可以利用4 個直角乘4 來解決，也可以用對角線把這個長方形分成兩個三角形， 三角形的內(nèi)角和是180°，乘2 也等于360°。

再出示不規(guī)則四邊形，它的內(nèi)角和同樣可以轉(zhuǎn)化成兩個三角形來解決。 五邊形、六邊形都可以推理轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和來解決，讓學(xué)生思維打開，認(rèn)識一種新的數(shù)學(xué)方法“推算”。

接著回到課前研究過的三角形，根據(jù)這幾個已知角的度數(shù)求出其他角的度數(shù)并發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系。這些題目具有較強的綜合性， 學(xué)生要靈活運用所學(xué)知識解題，

求出每個三角形其他內(nèi)角的度數(shù)既鞏固三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，平角等相關(guān)知識，還適度拓展外角的知識，提高思維的有序性和靈活性。

歷史是根，文化是土壤，在新課標(biāo)理念的引領(lǐng)下，在立足學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的今天，教師還要在課堂上傳授知識技能的過程中滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。這節(jié)課的最后，通過一段小微課，向?qū)W生介紹了泰勒斯、帕斯卡等數(shù)學(xué)家研究驗證三角形內(nèi)角和是180°的故事，以及有趣的轉(zhuǎn)筆驗證法，讓學(xué)生跨越時空了解這些偉大數(shù)學(xué)家解決問題的策略， 提升自身認(rèn)知，促進知識的融會貫通。

每一次磨課時領(lǐng)導(dǎo)和同事都能客觀地提出存在的問題及改進的意見，在肯定教學(xué)大框架的基礎(chǔ)上，摳細節(jié)，精益求精。 在《黑龍江教育》同課異構(gòu)活動中，老師的精彩呈現(xiàn)獲得了大家的認(rèn)可。 雖有待改進的地方，但一次次磨課的過程正體現(xiàn)了一名青年教師追求上進的工作態(tài)度。

好課鋒從“磨課”出，精彩緣自“苦磨”來。 經(jīng)過了研課磨課，上課教師能精彩演繹打磨后的課堂教學(xué)，讓每一位教師感受到了“研課”的效果、“磨課”的魅力，真正做到了在研磨中學(xué)習(xí)、成長。