一類非線性脈沖時滯分?jǐn)?shù)階偏微分方程的振動分析

羅李平

(衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南衡陽 421002)

振動是自然界和工程技術(shù)等領(lǐng)域中普遍存在的現(xiàn)象，如單擺的振動，杠、梁的振動，建筑物和機器的振動，飛行器的結(jié)構(gòu)振動，控制系統(tǒng)中的自激振動，同步加速器中波束的振動，火箭發(fā)動機燃燒時產(chǎn)生的振動，化學(xué)反應(yīng)過程中的復(fù)雜振動等.脈沖是事物在其發(fā)展過程中受到瞬時擾動而產(chǎn)生的一種很普遍的現(xiàn)象，現(xiàn)實世界中的許多生命現(xiàn)象和人類的開發(fā)行為幾乎都是脈沖的.例如，生物體中的心臟跳動、血液循環(huán)，生物種群的生長，化療對身體癌細(xì)胞增長的控制，農(nóng)作物害蟲管理中的農(nóng)藥或天敵的投放，漁業(yè)養(yǎng)殖中的捕撈（或放養(yǎng)）以及目前跟我們生活接觸非常緊密的Internet 網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)那袚Q信號、節(jié)點之間的連接等都存在脈沖現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)模型大都可歸結(jié)為脈沖偏微分方程.因此，有關(guān)脈沖偏微分方程解的振動性問題受到人們的廣泛關(guān)注，并取得了一些很好的研究成果[1-4].分?jǐn)?shù)階微分方程是整數(shù)階微分方程向任意階的推廣，它的出現(xiàn)已有近3 個世紀(jì)的歷史，但得到廣泛應(yīng)用則是近30 年來的事情.它比整數(shù)階偏微分方程能更準(zhǔn)確地描述一些實際應(yīng)用過程，在流變學(xué)、粘彈性力學(xué)、信號處理和系統(tǒng)辨識、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、分形和混沌、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階圖像處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[5-12].與此同時，關(guān)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的振動性研究引起人們的極大興趣，也取得了長足的進展[13-18].然而，據(jù)筆者所知，關(guān)于帶脈沖擾動的分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的振動性研究還很少，僅見文獻[19].目前脈沖分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的振動性研究仍處于起步階段，因此發(fā)展分?jǐn)?shù)階偏微分方程的定性理論，深入研究脈沖分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的振動性具有重要的意義.本文的目的是考慮一類非線性脈沖時滯分?jǐn)?shù)階偏微分方程(1)在Neumann 邊值條件(2)下解的振動性問題，得到了判別其所有解振動的新的充分性條件.所得結(jié)果充分表明這類方程的振動是由脈沖擾動和時滯效應(yīng)引起的.

問題(1)，(2)的非零解u(x，t)稱 為在G內(nèi) 是振動的，若它既不最終為正又不最終為負(fù).否則，就稱為是非振動的.

1 預(yù)備知識

下面我們給出本文將用到的Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的定義以及引理.

定義1[5]稱

則脈沖時滯微分不等式

無最終正解(參見文獻[21]定理2).

2 主要結(jié)果及其證明

定理1若存在一個常數(shù) θ∈(0，1)，使得

由Green 公式及邊值條件(2)有

這里N表示 ?Ω 的 單位外法向量，dS是 ?Ω上的面積元素.

又由(H2)，(H3)有

結(jié)合引理1，由(11)式可得

由(12)式易知，E′′(t)＜0，t≥T，t≠tk. 我們可以斷言E′(t)＞0，t≥T，t≠tk. 事實上，倘若不然，則存在T1＞T，使得E′(T1)＜0 . 由于E′(t)在 [T，∞)上單調(diào)遞減，故有

因此可得函數(shù)Z(t)=E′(t)＞0是脈沖時滯微分不等式(13)，(15)的一個最終正解.但由條件(6)和引理3 可知，脈沖時滯微分不等式(13)，(15)無最終正解.這是一個矛盾.

另一方面，假設(shè)存在T＞0，使當(dāng)(x，t)∈Ω×[T，∞) 時，有u(x，t)＜0，E(x，t)＜0，E(x，t-σ)＜0，則類似于上面的討論，同樣可以得到矛盾.證畢.

注1若用下面條件

代替本文引理3 中的極限條件(參見文獻[21]定理3)，則還可得到如下的平行于本文定理1 的關(guān)于問題(1)，(2)解振動的新結(jié)果.

定理2若存在一個常數(shù) θ∈(0，1)，使得

注2本文結(jié)果充分表明問題(1)，(2)的解在區(qū)域G內(nèi) 振動與脈沖量tk和時滯量 σ有關(guān).

注3利用本文的思想，我們還可以考慮其它邊值條件.例如，考慮如下的Robin 邊值條件

(其中 β(x，t)∈C(?Ω×R+，R+))或Dirichlet 邊值條件

我們不難得到問題(1)，(16)或問題(1)，(17)的若干振動判據(jù).但限于篇幅，在此省略之.

3 結(jié)論

本文討論了一類非線性脈沖時滯分?jǐn)?shù)階偏微分方程在Neumann 邊值條件下解的振動性問題，獲得了判別其所有解振動的新的充分性條件，所得結(jié)果反映出此類方程在這種情況下的振動狀態(tài)——它始終發(fā)生振動，同時充分表明脈沖擾動和時滯效應(yīng)對方程振動性的影響作用，這為解決光學(xué)、熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)、材料力學(xué)系統(tǒng)、信號處理、系統(tǒng)識別和控制、機器人等領(lǐng)域中的一些實際問題提供了數(shù)學(xué)理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ).