算理和算法融合 助推深度學(xué)習(xí)

丁大秋

［摘要］ 計(jì)算教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，傳統(tǒng)計(jì)算教學(xué)存在著重算法、輕算理的現(xiàn)象，大量機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練加重了學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)。在實(shí)際教學(xué)過程中，通過把算理和算法有機(jī)融合，使學(xué)生充分經(jīng)歷探究過程，注重算理多元表征，強(qiáng)化實(shí)踐練習(xí)以提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］ 計(jì)算教學(xué)；算法；算理；多元表征；深度學(xué)習(xí)

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)內(nèi)容。加強(qiáng)計(jì)算學(xué)習(xí)是學(xué)生進(jìn)一步求知的需要，是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的需要，更是數(shù)感形成的重要途徑。日常教學(xué)中，往往存在著輕算理、重算法的情況。換言之，學(xué)生只是計(jì)算的“工具”，缺乏對(duì)計(jì)算過程、計(jì)算原理的深層次理解。筆者認(rèn)為，把算理理解融合到算法掌握過程之中，有利于加強(qiáng)學(xué)科實(shí)踐，助推學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)。

一、創(chuàng)設(shè)生活情境，引發(fā)探究熱情

脫離了生活背景知識(shí)的支持，計(jì)算教學(xué)便成了無源之水、無本之木?？v觀我國各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材，均把計(jì)算方法、計(jì)算原理有效滲透于問題解決過程中，力求體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“生動(dòng)的、活潑的、現(xiàn)實(shí)的和富有挑戰(zhàn)意義的”。教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重生活情境創(chuàng)設(shè)，力求把枯燥乏味的計(jì)算鑲嵌在實(shí)際問題解決之中。

例如，在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)如下情境：明德小區(qū)有高層樓5幢，小高層樓16幢，多層樓16幢；高層每幢住236戶，小高層每幢住128戶，多層每幢住48戶。學(xué)生自主提出高層、小高層、多層各能住多少戶的問題，并列出236×5，48×16，128×16三道乘法算式。教師帶領(lǐng)學(xué)生借助前兩道算式回顧三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，解釋計(jì)算原理，而后通過128×16展開新知探究。

這個(gè)情境把復(fù)習(xí)和探究新知相結(jié)合，凸顯了知識(shí)學(xué)習(xí)的連貫性、一致性特質(zhì)，復(fù)習(xí)不著痕跡，新知順勢引出，使得學(xué)習(xí)具有高度主動(dòng)性，引發(fā)學(xué)生的探究欲望。通過復(fù)習(xí)，學(xué)生對(duì)三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法和算理有了更清晰的認(rèn)知，有助于在知識(shí)生長點(diǎn)上展開探究活動(dòng)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

二、經(jīng)歷探究過程，促進(jìn)法理融合

算法和算理是對(duì)一類數(shù)學(xué)問題計(jì)算過程的抽象，算法是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題解決方法的模型化概括，算理則是對(duì)算法的高度抽象。要讓學(xué)生理解算理、掌握算法，離不開學(xué)習(xí)者個(gè)體的主動(dòng)探究和自主建構(gòu)。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”筆算時(shí)，教師出示題目：湖面上飛過3隊(duì)大雁，每隊(duì)12只，一共有多少只？學(xué)生列出算式：12×3。在探究算法時(shí)，如果教師直接提示：要把12拆成10和2，分別乘3，然后把結(jié)果相加，學(xué)生將對(duì)這一方法缺乏主動(dòng)認(rèn)知和深度理解。對(duì)此，可以先請(qǐng)學(xué)生用小棒擺一擺，再借助小棒圖探究算法。學(xué)生經(jīng)過仔細(xì)思考，充分交流得出兩種比較有代表性的方法：①3個(gè)10是30，3個(gè)2是6，30和6加起來是36；②3×2=6，3×10＝30，30+6=36。借助小棒圖思考，能夠有效降低思維坡度。通過引領(lǐng)學(xué)生觀察、比較小棒圖和兩種算法之間的聯(lián)系，使學(xué)生明白兩種算法在本質(zhì)上是一致的，都是先分再合，都是對(duì)小棒圖的簡約表達(dá)。

借助直觀操作和主動(dòng)探究，學(xué)生理解了兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法。經(jīng)歷充分探究的過程，學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算算理和算法理解得更加深刻。借助已有知識(shí)，解決新的計(jì)算問題，是計(jì)算教學(xué)必須經(jīng)歷的過程，“法”和“理”融合，避免了機(jī)械記憶和重復(fù)訓(xùn)練。

三、多元表征算理，助推深度理解

小學(xué)階段的豎式計(jì)算、遞等式計(jì)算是學(xué)生必須牢牢掌握的內(nèi)容，是發(fā)展智力、形成技能的重要手段。計(jì)算方法、步驟、程序既有其內(nèi)在規(guī)定性，也有其存在合理性。而對(duì)這個(gè)合理性的感悟、理解，需要學(xué)習(xí)者的探究、合作、交流，在觀點(diǎn)的不斷碰撞、多元表征中理解與接受。

例如，在教學(xué)“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的小數(shù)除法”筆算時(shí)，學(xué)生通過觀察“關(guān)于媽媽購買水果的總價(jià)和數(shù)量”的購物小票，提出了每千克蘋果、香蕉、橘子各多少元的問題，由此得出三道除法算式：9.6÷3，12÷5和5.7÷6。教師引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)9.6÷3這道算式口算和豎式計(jì)算的探究，初步理解“整數(shù)除法的計(jì)算法則在小數(shù)除法中同樣適用”“商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，而后請(qǐng)學(xué)生自主嘗試用豎式計(jì)算12÷5。學(xué)生出現(xiàn)了兩種典型的計(jì)算結(jié)果：12÷5=2……2和12÷5=2.4。教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生比較兩種計(jì)算結(jié)果的差異，學(xué)生們一致認(rèn)為用“2……2”表示香蕉的單價(jià)不符合生活常識(shí)，12除以5，商2之后余下的2還可以繼續(xù)除，2除以5商是0.4，最后結(jié)果應(yīng)為2.4。對(duì)于如此計(jì)算的道理，教師放手讓學(xué)生思考，并進(jìn)行小組交流。有學(xué)生通過元、角、分的知識(shí)給出理由，12元除以5，每份2元，余2元。把余下的2元換成20角，20角除以5，得到4角，2元4角就是2.4元；有學(xué)生通過畫圖給出理由，用一個(gè)正方形表示1，12個(gè)正方形除以5，每份2個(gè)，余2個(gè)。把余下的2個(gè)正方形，每一個(gè)都平均分成10份，表示成20個(gè)0.1，20個(gè)0.1除以5，得到4個(gè)0.1，也就是0.4，合起來就是2.4；還有學(xué)生借助小數(shù)的意義做出解釋，12除以5余下的2，添上0繼續(xù)除，就是20個(gè)十分之一除以5得4個(gè)十分之一，也就是0.4，最后結(jié)果是2.4。

數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多種表征形式。上述教學(xué)中，學(xué)生在進(jìn)行小數(shù)除法計(jì)算時(shí)遇到“被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)應(yīng)添0繼續(xù)除”的一大難點(diǎn)，如何突破這一難點(diǎn)成為本節(jié)課的關(guān)鍵和亮點(diǎn)所在。為此，教師引導(dǎo)學(xué)生借助言語表征、圖示表征等多種表征形式從不同角度對(duì)“添0繼續(xù)除”的算理進(jìn)行說明。在多維度的辨析中，助推學(xué)生對(duì)算理的深度理解，有效地把算法和算理勾連起來，減緩了學(xué)生的認(rèn)知坡度，有利于學(xué)生從具象思維逐步向抽象思維發(fā)展。

四、注重實(shí)踐練習(xí)，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化

計(jì)算教學(xué)最后的歸宿是“算”，所以應(yīng)通過適度的訓(xùn)練讓學(xué)生達(dá)到熟練，而“算”的良好載體是問題解決。教師如果不能深刻地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，機(jī)械地重復(fù)訓(xùn)練只會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，使學(xué)生望而生厭，而把計(jì)算融合在問題解決中，則會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激起學(xué)生的成功體驗(yàn)。

例如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算的課堂教學(xué)中，教師適時(shí)組織學(xué)生完成課堂練習(xí)題。教師通過當(dāng)堂講評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立歸納出豎式的寫法及當(dāng)中每一步驟的含義，再結(jié)合學(xué)生自己的歸納成果，一步步把課堂練習(xí)題的過程和方法抽象到豎式計(jì)算的知識(shí)體系中，從而讓學(xué)生進(jìn)一步理解算理、熟悉算法。

平時(shí)的計(jì)算教學(xué)，有些老師往往停留在刻板的訓(xùn)練上，在學(xué)生計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目之后，反復(fù)地問學(xué)生第一層積表示什么意思、第二層積表示什么意思，學(xué)生在不斷地被提問和被追問中，不過是重復(fù)“教科書上的結(jié)論”罷了，知識(shí)的內(nèi)化、素養(yǎng)的提升都不能真正落地。而在上述教學(xué)中，教師的提問給了抽象的算理和算法以鮮活的現(xiàn)實(shí)意義，一次成功的體驗(yàn)勝過無數(shù)次的空洞說教。因此，計(jì)算練習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生達(dá)到“聞一知十”的目的，以真正減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)。

［本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點(diǎn)課題“深度學(xué)習(xí)視閾下小學(xué)數(shù)學(xué)模塊化教學(xué)的行動(dòng)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：B/2021/02/38）階段性研究成果］