立足單元主題 促進(jìn)自然生成

卓麗霞

［摘 要］三角函數(shù)是一類典型的周期函數(shù)，以教學(xué)“三角函數(shù)的概念”為例，教師可以通過設(shè)計問題串，建立函數(shù)模型，借助單位圓研究三角函數(shù)，借助“C30暢言智慧課堂”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究并抽象概念，讓學(xué)生領(lǐng)悟從具體實例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的數(shù)學(xué)思想。

［關(guān)鍵詞］三角函數(shù)；函數(shù)模型；單元主題；單位圓

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0023-03

“三角函數(shù)的概念”是人教A版教材必修第一冊第五章“三角函數(shù)”第二節(jié)的內(nèi)容。三角函數(shù)是一類典型的周期函數(shù)?，F(xiàn)實世界中的許多現(xiàn)象都有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，筆者在教學(xué)“三角函數(shù)的概念”時，從我國古代發(fā)明的灌溉工具——筒車的轉(zhuǎn)動視頻導(dǎo)入，介紹筒車“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。

一、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，建立模型

問題1：根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，你認(rèn)為可以按怎樣的路徑來研究周期性問題？

教師引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，討論后得出研究路徑：明確研究背景—分析對應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)—?dú)w納共性下定義—研究性質(zhì)。教師可引導(dǎo)學(xué)生將筒車抽象為一個圓，讓學(xué)生研究圓周上動點(diǎn)[P]的位置變化情況。

追問1：[P]點(diǎn)在圓周上運(yùn)動一圈，你如何定義一圈？

學(xué)生指出要從某一點(diǎn)[A]出發(fā)，繞一圈回到[A]點(diǎn)，師生共同復(fù)習(xí)“任意角和弧度制”，指出圓周上的角順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，角的范圍為全體實數(shù)，角的大小與半徑無關(guān)，從而將筒車的圓周運(yùn)動抽象為單位圓上點(diǎn)[P]以[A]為起點(diǎn)做逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1所示）。

追問2：點(diǎn)[P]在做“周而復(fù)始”圓周運(yùn)動的過程中，從哪些方面可以體現(xiàn)出它“周而復(fù)始”的特點(diǎn)？

學(xué)生分組探討得出：點(diǎn)[P]在轉(zhuǎn)動過程中，位置會重合，以[OA]為平衡位置，點(diǎn)[P]在水平方向和豎直方向離[OA]距離呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象。

追問3：你能通過什么途徑來刻畫這種現(xiàn)象？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用坐標(biāo)來刻畫，且通過對原點(diǎn)落在不同位置的分析發(fā)現(xiàn)建立坐標(biāo)系的合適位置：以[O]為原點(diǎn)，以[OA]為[x]軸的正方向（如圖2所示）。結(jié)合前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，教師指出在運(yùn)動過程中點(diǎn)[P]的坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)角[α]都隨之變化。

設(shè)計意圖：鑒于周期現(xiàn)象的復(fù)雜性，將筒車旋轉(zhuǎn)問題簡化，抽象成單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動，并尋求合適的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫，探究建立坐標(biāo)系的必要性和合理性，滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）自主探究，歸納共性

問題2：在運(yùn)動過程中，點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)[x]、縱坐標(biāo)[y]和旋轉(zhuǎn)角[α]有哪兩個變量可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？

學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)，由勾股定理可知[x2+y2=1]，這不符合函數(shù)的定義。教師點(diǎn)明本節(jié)課的研究對象為角[α]和點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，接下來主要進(jìn)行對應(yīng)關(guān)系的分析。

追問：如何研究一個一般性的問題？

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗得出從“特殊到一般”的研究方法，為后面的探究活動做好鋪墊。

探究活動：在上述建立的直角坐標(biāo)系中，將射線[OA]從[x]軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)[O]按逆時針旋轉(zhuǎn)角[α]，終止位置為[OP]。

問題3：確定角[α]后，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)[P]唯一確定嗎？能否求出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)？

教師引導(dǎo)學(xué)生在平板電腦上做出一個確定的角[α]，之后進(jìn)行小組交流，各小組選出一份較為完整的探究材料，通過平板電腦上傳，由學(xué)生挑選出四份材料讓小組代表上臺展示（如圖3所示）。上臺展示的學(xué)生通過對不同的旋轉(zhuǎn)角的分析，得出了一致的結(jié)論：角[α]的終邊與單位圓的交點(diǎn)[P]唯一確定，且通過直角三角形可以求出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。教師引導(dǎo)學(xué)生共同得出求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)的一般步驟：畫出角[α]的終邊[OP]，過點(diǎn)[P]作[x]軸的垂線交[x]軸于[M]，在直角三角形[OMP]中，利用直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)[P]的坐標(biāo)。教師引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果[α=13π6]與[α=π6]的終邊重合，那么這兩個角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是一致的，為下一節(jié)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式做好鋪墊。

追問1：利用平板電腦中GGB畫圖，任意給定一個角[α]，觀察它的終邊[OP]與單位圓的交點(diǎn)[P]的坐標(biāo)，你能得出什么一般性的結(jié)論？

教師用GGB展示任意角對應(yīng)的點(diǎn)[P]坐標(biāo)，并借助“C30暢言智慧課堂”讓學(xué)生在平板電腦上操作，由一些特殊例子讓學(xué)生歸納出一般結(jié)論：對于[R]中的任意一個角，它的終邊[OP]與單位圓的交點(diǎn)為[P（x，y）]，無論是橫坐標(biāo)[x]還是縱坐標(biāo)[y]，都是唯一確定的。

追問2：能否用函數(shù)的語言來刻畫這種對應(yīng)關(guān)系？

學(xué)生下結(jié)論，教師補(bǔ)充完整。探究中發(fā)現(xiàn)兩個對應(yīng)關(guān)系，[f]：實數(shù)[α]（弧度）對應(yīng)點(diǎn)[P]的縱坐標(biāo)[y]；[g]：實數(shù)[α]（弧度）對應(yīng)點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)[x]，兩個都是從集合[R]到集合[-1，1]的函數(shù)。

追問3：根據(jù)這兩個對應(yīng)關(guān)系，能求出前面探究中你所取的角對應(yīng)的函數(shù)值嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過實際操作和共同探究，并結(jié)合教師的設(shè)問、追問和直觀操作，從特殊到一般再到特殊，厘清三角函數(shù)的三要素，初步建構(gòu)三角函數(shù)的概念，使讓學(xué)生體會函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

問題4：在以往的學(xué)習(xí)中你有類似引入特定符號表示一種量的經(jīng)歷嗎？

類比給對數(shù)下定義的過程，明確需引入新的符號來表示上述兩種對應(yīng)關(guān)系。設(shè)任意給定一個角[α]，它的終邊[OP]與單位圓的交點(diǎn)為[P（x，y）]，點(diǎn)[P]的縱坐標(biāo)[y]叫作 [α]的正弦函數(shù)，記作[sinα]，即[y=sinα]；點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)[x]叫作 [α]的余弦函數(shù)，記作[cosα]，即[x=cosα]，教師強(qiáng)調(diào)符號的書寫和意義：脫離了[α]，單獨(dú)的[sin]和[cos]都是沒有意義的。

追問1：給定角[α]，點(diǎn)[P]的縱坐標(biāo)[y]與橫坐標(biāo)[x]之比[yx]是否也唯一確定？

學(xué)生自行給正切函數(shù)下定義，并按照函數(shù)的定義與常用符號表示三角函數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)三要素進(jìn)行研究，指出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域和值域，通過特殊角[α=π2]的終邊[OP]與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，讓學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)中角[α]的終邊不能落在[y]軸上，從而其定義域為[xx≠π2+kπ，k∈Z]，值域為[R]。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比已有的知識，理解三角函數(shù)符號的意義，明確三角函數(shù)的三要素，給出三角函數(shù)的常用記號，為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（三）尋求關(guān)聯(lián)，深化認(rèn)識

問題5：設(shè)[x∈0，π2]，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角[x]的正弦記為[z1]，并把按三角函數(shù)定義得到的[x]的正弦記為[y1]，[z1]與[y1]相等嗎？

學(xué)生閱讀課本第178頁，獨(dú)立思考后進(jìn)行小組交流。教師引導(dǎo)學(xué)生作出[Rt△OBC]，其中[∠O=x]，[∠C=90°]，得到[z1=BCOB]。以[O]為原點(diǎn)，[OC]為[x]軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，作單位圓（如圖4所示），根據(jù)三角函數(shù)的定義有[y1=sinα=B1C1OB1=BCOB=z1]。

追問1：對于余弦函數(shù)、正切函數(shù)是否有相同的結(jié)論？初中的三角函數(shù)和高中的三角函數(shù)有什么區(qū)別？

學(xué)生自行探究發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)、正切函數(shù)有著相同的結(jié)論。教師先引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)的定義、定義域、值域三個方面，比較初中和高中的三角函數(shù)定義的區(qū)別，再進(jìn)行完善，體現(xiàn)三角函數(shù)定義的統(tǒng)一性和兼容性。

設(shè)計意圖：從邊長比值定義三角函數(shù)到借助單位圓定義三角函數(shù)，使學(xué)生理解其中的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)兩者的不同之處，感受到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中引入一個新概念或法則，總希望它與已有的概念或法則相容。

（四）聯(lián)系例題，遷移內(nèi)化

［例1］求[5π3]的正弦、余弦和正切值。

學(xué)生借助“C30暢言智慧課堂”搶答，教師給予評價，并總結(jié)從定義出發(fā)求三角函數(shù)的步驟。

［例2］設(shè)[α]是一個任意角，它的終邊上任意一個點(diǎn)[P]（不與原點(diǎn)[O]重合）的坐標(biāo)為[（x，y）]，點(diǎn)[P]與原點(diǎn)的距離為[r]，求證：[sinα=yr]，[cosα=xr]，[tanα=yx] 。

追問1：例2實際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的。你能用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言描述一下這種定義嗎？

學(xué)生小組探討交流后用數(shù)學(xué)語言給三角函數(shù)和坐標(biāo)比下定義。

設(shè)計意圖：通過例題分析，鞏固本節(jié)課的知識點(diǎn)，使學(xué)生能從另一個角度理解三角函數(shù)的定義，同時讓學(xué)生對單位圓這一模型進(jìn)行再認(rèn)識，體現(xiàn)單位圓的重要性，展示數(shù)學(xué)的簡潔美。

（五）課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模的角度思考如何建立一個函數(shù)模型來刻畫點(diǎn)[P]的位置關(guān)系，并利用從特殊到一般再到特殊的數(shù)學(xué)思想方法自主探究，在這過程中，學(xué)生體會到了單位圓在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的重要作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)三角函數(shù)讓學(xué)生經(jīng)歷了與前面所學(xué)函數(shù)不同的學(xué)習(xí)過程和相似的研究路徑，學(xué)生能利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解特殊角的三角函數(shù)值。

（六）作業(yè)布置

（1）必做題：課本第184頁習(xí)題5.2 1、2。

（2）選做題：三角函數(shù)與單位圓有著密切的聯(lián)系，類比函數(shù)性質(zhì)的研究，利用單位圓的性質(zhì)從數(shù)形結(jié)合的角度研究一下正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。

（3）“閱讀與思考”任務(wù)：閱讀課本第186頁《三角學(xué)與天文學(xué)》材料，借助教室的平板電腦查閱三角學(xué)發(fā)展歷程的相關(guān)文章，了解三角學(xué)在天文學(xué)、物理學(xué)方面的應(yīng)用，下節(jié)課課前按小組進(jìn)行分享。

二、教學(xué)設(shè)計反思

（一）整體設(shè)計，實施單元主題教學(xué)

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時應(yīng)準(zhǔn)確把握知識的前后聯(lián)系、邏輯順序，從學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平出發(fā)，把核心概念放在上、下位知識中進(jìn)行整體設(shè)計。教師在進(jìn)行單元教學(xué)時可創(chuàng)設(shè)一個貫穿單元始終的問題情境，以更好地促進(jìn)學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，讓學(xué)生的知識逐步變得具有結(jié)構(gòu)性。教師可先在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置合適的問題串，從學(xué)生的認(rèn)知角度引入，再通過問題串追問，降低思維難度，這樣既能滿足不同學(xué)生的發(fā)展需求，又能讓學(xué)生將知識進(jìn)行遷移。

（二）把握主線，實現(xiàn)持續(xù)性學(xué)習(xí)

教師需把握高中數(shù)學(xué)的四條主線脈絡(luò)，建立不同領(lǐng)域知識之間的聯(lián)系，在教學(xué)活動中，教師一方面可采用問題驅(qū)動、自主交流、合作探究的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知與舊知之間的聯(lián)系，感知新知與舊知的不同之處，感受數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與發(fā)展過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，找到聯(lián)系；同時融合信息技術(shù)，借助“C30暢言智慧課堂”更好地進(jìn)行探究活動，將學(xué)生的思維由特殊引向一般，由直觀引向抽象，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，提升學(xué)生解決問題的能力。另一方面，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從更高的層面來理解高中數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教會學(xué)生“學(xué)什么”“怎么學(xué)”“學(xué)了有什么用”，進(jìn)而實現(xiàn)由知識教學(xué)向素養(yǎng)培育的跨越。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書 數(shù)學(xué) 必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）