導(dǎo)彈擺脫距離可控的最優(yōu)突防制導(dǎo)律

余昕宇，王曉芳，林 海

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

0 引 言

隨著世界各軍事強國反導(dǎo)防御系統(tǒng)的飛速發(fā)展,攻擊方反艦導(dǎo)彈的戰(zhàn)場生存能力受到越來越大的威脅,因此先進突防手段的發(fā)展迫在眉睫[1-5]。

通常,反艦導(dǎo)彈的突防手段有電子干擾[6]、隱身技術(shù)[7]、誘餌技術(shù)[8]和機動突防[9]等,其中,機動突防是其重要的一種突防方式。傳統(tǒng)的機動突防方式主要是程序式機動突防,如方波機動、蛇形機動和螺旋機動[9],但是程序式機動是根據(jù)事先設(shè)定好的策略進行機動,而無法根據(jù)當前戰(zhàn)場環(huán)境進行實時調(diào)整,智能性不夠[10-11]。攻擊彈對敵方防御彈進行主動探測,在此基礎(chǔ)上利用最優(yōu)控制理論或微分博弈理論設(shè)計突防制導(dǎo)律進行主動機動成為突防技術(shù)發(fā)展的必然趨勢[12],此方向上目前有一些研究成果。文獻[13]假設(shè)通過辨識等手段獲知防御彈采用比例導(dǎo)引律攔截攻擊彈,以最大化防御彈的零控脫靶量為目的,基于最優(yōu)控制理論研究了二維平面內(nèi)攻擊彈的最優(yōu)躲避策略,通過最速下降法求解出三種最優(yōu)機動模式。文獻[14]同樣針對攻擊彈突防反擊采用比例導(dǎo)引律攔截的防御彈的問題,以最大化脫靶量得到的最優(yōu)突防制導(dǎo)律為基礎(chǔ)產(chǎn)生樣本,引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制方法訓(xùn)練實時次優(yōu)制導(dǎo)律,得到具有實時性和強魯棒性的突防制導(dǎo)律。文獻[15]同時考慮攻擊彈和防御彈的零控脫靶量最大、燃油成本和控制飽和問題,基于切換控制和線性二次微分對策策略,設(shè)計了同時實現(xiàn)突防和打擊的突防制導(dǎo)律。文獻[16-17]采用微分博弈理論研究多對一的主動突防問題,考慮多彈脫靶量、相對攔截角誤差和能量成本設(shè)計了單一博弈性能指標,使得兩個攻擊彈從不同的方向追擊目標同時躲避防御彈。

文獻[13-17]中基于最優(yōu)控制或微分博弈的突防方法的思路是令防御彈的脫靶量越大越好以實現(xiàn)攻擊彈的突防。對于導(dǎo)彈突防來講,防御彈的脫靶量大是有利的,但是,由于攻擊彈突防后還要攻擊目標,因此,并非令防御彈的脫靶量越大越好。防御彈脫靶量大即攻擊彈距離防御彈的最短距離(擺脫距離)大,攻擊彈可能繞飛很遠,造成突防后攻擊目標時受可用過載約束無法命中目標,同時也造成能量的過多損耗[18]。如果攻擊彈能夠以略大于防御彈毀傷半徑的距離躲過防御彈的攔截,則既能夠突防成功又不至于繞飛太遠而影響攻擊目標,但此時就需要對攻擊彈的擺脫距離進行定量控制。目前在此方面的研究還比較少。文獻[19-20]分別在零控脫靶量初值符號大小不同的條件下推導(dǎo)了二維平面內(nèi)的攻擊彈躲避攔截的改進微分對策制導(dǎo)律,設(shè)計了考慮防御彈殺傷距離的性能指標,實現(xiàn)了擺脫距離大于防御彈的殺傷距離,但是,此制導(dǎo)律只適用于平面對抗情形,而且并未考慮攻擊彈的控制能量成本問題。當攻擊彈和防御彈的攻防對抗發(fā)生在三維空間時,縱側(cè)向運動交連,運動模型也不同于二維平面的模型,此時,上述突防制導(dǎo)律不再適用。

本文針對反艦導(dǎo)彈(以下均稱攻擊彈)在三維空間的突防問題,同時考慮突防、目標打擊和節(jié)約能量的要求,基于最優(yōu)控制理論設(shè)計了攻擊彈擺脫距離可控的突防制導(dǎo)律。本文分為以下部分,第一節(jié)建立了三維空間下敵我雙方飛行器的運動學(xué)模型和相對運動關(guān)系。第二節(jié)假設(shè)防御彈采用比例導(dǎo)引律對攻擊彈進行攔截,引入零控脫靶量,建立了同時考慮擺脫距離和控制能量的突防問題最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型,基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了最優(yōu)突防制導(dǎo)律。第三節(jié)研究了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型的制導(dǎo)律關(guān)鍵參數(shù)設(shè)計方法。第四節(jié)通過仿真分析了制導(dǎo)律的有效性。

1 飛行器攻防雙方數(shù)學(xué)建模

假設(shè)一枚攻擊彈攻擊某固定高價值目標,目標發(fā)射防御彈攔截攻擊彈,三者之間的相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 攻擊彈-目標-防御彈相對運動關(guān)系圖

圖1中,OXIYIZI為以目標T為原點的地面坐標系[21],M,D分別為攻擊彈和防御彈。rMT和rMD分別為攻擊彈與目標、攻擊彈與防御彈之間的距離,qθ,qψ分別為攻擊彈的俯仰、偏航方向視線角,qy,qz分別為防御彈的俯仰、偏航方向視線角,圖中qψ和qy方向為正,qθ和qz方向為負。(VM,θM,ψVM)和(VD,θD,ψVD)分別為攻擊彈和防御彈的速度、彈道傾角和彈道偏角,圖中θD和ψVM方向為正,θM和ψVD方向為負。

由圖1可得防御彈與攻擊彈的相對運動方程組為

(1)

類似可得攻擊彈和目標的相對運動方程組為

(2)

(3)

式中:ur,vr分別為防御彈和攻擊彈加速度在視線坐標系x軸的投影。為表達簡潔,后文省略rMD的下標。

攻擊彈和防御彈的運動模型為

(4)

式中:(xi,yi,zi)為飛行器位置;ayi和azi分別是垂直于飛行器速度矢量的鉛垂方向和水平方向的法向加速度;下標i=M, D時分別表示攻擊彈和防御彈。

2 擺脫距離可控的三維最優(yōu)突防制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 突防問題最優(yōu)控制模型建立

式(3)中攻擊彈和防御彈的加速度在視線坐標系x軸的投影ur和vr與法向加速度ayi,azi之間的關(guān)系為

(5)

(6)

式中:L(qy,qz)地面坐標系到視線坐標系之間的轉(zhuǎn)移矩陣;L(θ,ψV)為地面坐標系到彈道坐標系之間的轉(zhuǎn)移矩陣。有

(7)

(8)

假設(shè)防御彈采用經(jīng)典的比例導(dǎo)引律攔截攻擊彈,則有

(9)

式中:KD為比例導(dǎo)引系數(shù)。因此,式(3)可寫為

[-cosqysinθMcos(qz-ψVM)+sinqycosθM]·

ayM-[-cosqysinθDcos(qz-ψVD)+

sinqycosθD]ayD+cosqysin(qz-ψVD)azD

(10)

(11)

(12)

引入零控脫靶量z(t)將系統(tǒng)簡化降階,令

(13)

(14)

(15)

對零控脫靶量z(t)求導(dǎo),為了表達簡潔,用ur和vr表達得

(16)

性能指標函數(shù)要根據(jù)作戰(zhàn)目的和過程來設(shè)定?？紤]到攻擊彈突防時,其與防御彈之間的最小距離(擺脫距離)要大于防御彈的殺傷半徑,但是也并非越大越好,擺脫距離越大,可能繞行越遠,以至于不能命中目標。因此,可設(shè)定理想的擺脫距離r*略大于防御彈的殺傷半徑。如果攻擊彈采用的突防制導(dǎo)律能夠使得攻擊彈突防后的擺脫距離接近r*,則既可實現(xiàn)突防,又不至于繞飛太遠從而影響攻擊目標。同時考慮在突防過程中付出盡量少的能量,因此,二次型性能指標函數(shù)設(shè)為

(17)

式中:a>0,b>0為權(quán)重系數(shù);r*為正常數(shù),即突防后z(tf)的期望值;tf是防御彈和攻擊彈彈間距離最小的時刻,令其為制導(dǎo)的終止時刻。

2.2 最優(yōu)突防制導(dǎo)指令求解

本節(jié)采用極大值原理求解2.1節(jié)建立的攻擊彈突防最優(yōu)制導(dǎo)問題。由式(17)建立哈密頓函數(shù)為

(18)

式中:λ是協(xié)態(tài)量,其正則方程為

(19)

λ在末端時刻tf滿足的橫截條件為

(20)

則由式(19)和式(20)可解得協(xié)態(tài)量λ為

λ=a[z(tf)-r*]

(21)

需要滿足的最優(yōu)化條件為

(22)

聯(lián)立式(18)和式(22)可解得

(23)

(24)

將式(24)從t到tf積分可得

(25)

得

(26)

式中:

(27)

(28)

(29)

將式(26)代入式(23),求解出攻擊導(dǎo)彈的突防制導(dǎo)律指令為

(30)

式中:z(t)由式(13)計算。至此,求解得到攻擊彈最優(yōu)突防的制導(dǎo)指令。

3 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的制導(dǎo)律關(guān)鍵參數(shù)設(shè)計

在制導(dǎo)律指令式(30)中,需設(shè)定的制導(dǎo)律參數(shù)有a,b,tf和r*。如果對突防精度要求高,則需將a設(shè)的很大,如果考慮盡量節(jié)省突防過程中的控制能量,則需將b設(shè)的很大。對于突防結(jié)束的終端時刻tf,采用如下的典型方式進行預(yù)估[18]

(31)

式中:t為當前時刻;tgo為預(yù)估的剩余飛行時間。

r*的設(shè)定很重要,如式(17)所示的突防問題性能指標函數(shù)的設(shè)計是使得零控脫靶量在tf時刻的值即z(tf)應(yīng)等于r*。直接表征攻擊彈能否突防成功的是攻擊彈與防御彈在tf時刻的距離,即擺脫距離rmin,而擺脫距離與零控脫靶量z(tf)并不相等。另外,當tf固定時,式(30)所示的制導(dǎo)律能夠使得攻擊彈的z(tf)等于設(shè)定的值r*,但是,對于突防問題來講,式(28)中預(yù)估的剩余飛行時間是在不斷變化的,因此tf也是不斷變化的,此時在tf時刻得到的z(tf)也不嚴格等于r*,兩者之間的差距與tgo的估計精度、攻擊彈和防御彈的運動情況都有關(guān)系。綜上,制導(dǎo)律參數(shù)r*與擺脫距離rmin的關(guān)系是非常復(fù)雜的,無法用解析表達式表示。因此,要研究使得擺脫距離為rmin的制導(dǎo)律參數(shù)r*的設(shè)定方法。

基于誤差反向傳播(BP)算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過將定量信息分布存儲于各個神經(jīng)元能夠以任意精度充分逼近某一非線性函數(shù)[23]。本文考慮攻擊彈和防御彈的典型作戰(zhàn)場景,仿真獲得r*和rmin數(shù)據(jù),再采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對這些數(shù)據(jù)進行學(xué)習(xí)以獲得r*和rmin間的關(guān)系,之后在實際作戰(zhàn)中,基于當前作戰(zhàn)環(huán)境和訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)給出制導(dǎo)律參數(shù)r*。

3.1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擺脫距離代理模型建立

假設(shè)典型作戰(zhàn)場景中,目標固定,目標發(fā)射的防御彈的初始位置和采用的制導(dǎo)律確定,攻擊彈和防御彈的速度大小確定,則此時影響攻擊彈突防效果的因素有開始突防時攻防雙方的相對位置和速度相對視線的方向以及攻擊彈采用的突防制導(dǎo)律。令防御彈的速度前置角為

(32)

類似地,攻擊彈相對于M和D連線rMD的視線方位角qyM=-qy,qzM=qz+π,定義攻擊彈相對于rMD的速度前置角

(33)

由上分析可知,突防開始時,攻擊彈和防御彈的相對距離r、俯仰視線方位角qy、攻擊彈的速度矢量前置角ηyM,ηzM、防御彈的速度矢量前置角ηyD,ηzD以及制導(dǎo)律參數(shù)r*共同決定了rmin。需要說明的是,由于本文場景中,開始突防時的偏航視線角qz范圍很小,因此,其影響不大,此處忽略其影響;如果qz范圍很大,則不能忽略其影響。由上,構(gòu)建一個由初始狀態(tài)X=[r,qy,ηyM,ηzM,ηyD,ηzD]和制導(dǎo)律參數(shù)r*構(gòu)成的向量作為輸入、輸出為rmin的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型f(X,r*)。

注1.采樣時,樣本應(yīng)盡量覆蓋典型對抗場景,這樣訓(xùn)練出的網(wǎng)絡(luò)的適用性更強,即攻擊彈飛行時的數(shù)據(jù)在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi),此時網(wǎng)絡(luò)的輸出精度才有保證,使得制導(dǎo)律的參數(shù)設(shè)計更精確。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

(34)

(35)

3.2 基于代理模型的突防制導(dǎo)律參數(shù)求解

(36)

顯然,式(33)是一個非線性方程。弦截法是求非線性方程近似根的一種線性近似方法,是一種擬牛頓法,其利用導(dǎo)數(shù)的定義,由相近點處函數(shù)值的差來近似導(dǎo)數(shù)[24]。用弦截法求解方程(33)的流程如下。

3)計算g0=g(c0),g1=g(c1),n=1;

4)計算

(37)

(38)

5)若|g(c)|<ε,輸出r*=c,停止迭代;否則轉(zhuǎn)6);

6)若n

求解出制導(dǎo)律參數(shù)r*后,突防制導(dǎo)律即確定。假設(shè)攻擊彈采用本文制導(dǎo)律突防,突防前后均采用比例導(dǎo)引律攻擊目標,制導(dǎo)指令為

(39)

式中:KM為比例導(dǎo)引系數(shù)。

攻擊彈采用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型的擺脫距離可控最優(yōu)突防制導(dǎo)律進行突防的過程為:

步驟1:攻擊彈末制導(dǎo)段打擊目標過程中探測到防御彈,當rMD

步驟3:采用式(30)的制導(dǎo)律開始突防;

表示上述突防過程的流程圖如圖3所示。

圖3 突防過程流程圖

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 擺脫距離可控最優(yōu)突防制導(dǎo)律性能分析

假設(shè)某攻擊彈采用比例系數(shù)為KM=3的比例導(dǎo)引律攻擊高價值固定目標,目標發(fā)射防御彈對攻擊彈進行攔截,目標位于坐標原點。攻擊彈初始位置(10 000,6 000,3 500)m,VM=500 m·s-1,θM0=-20°,ψVM0=155°。防御彈初始位置(1 000,0,0) m,VD=600 m·s-1,θM0=40°,ψVM0=-20°。攻擊彈和防御彈的最大可用過載均為8。

仿真結(jié)果如圖4所示。場景2和場景3在突防過程中由式(13)計算的零控脫靶量z(t)如圖5所示。

圖4 彈道曲線

圖5 零控脫靶量變化圖

由仿真結(jié)果可知,當攻擊彈不突防時,防御彈在t= 10.41 s成功攔截攻擊彈,此時防御彈脫靶量為rmin=4.68 m;場景2和場景3下,當t=3.10 s時,攻擊彈與防御彈之間的距離小于8 km,攻擊彈開始突防;場景2下,由圖4和圖5可知,當t=10.50 s即給定的tf時刻時,攻擊彈和防御彈的零控脫靶量為49.998 6 m,且此時彈間距離rMD=49.98 m,因此可知,當tf固定時,式(30)所示的制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)使攻擊彈的z(t)在tf時刻趨近設(shè)定的值r*,說明了制導(dǎo)律的有效性。但是,需要注意的是,在10.50 s之后,攻擊彈恢復(fù)采用比例導(dǎo)引律攻擊目標,在10.55 s時攻擊彈與防御彈之間最小彈間距離為3.32 m,攻擊彈被攔截。這是由于攻擊彈突防結(jié)束的時間并不是給定的10.50 s,因此,制導(dǎo)律產(chǎn)生了偏差。在場景3下,tf并未固定,而是按照式(31)進行估計,此時,當t=10.79 s時,攻擊彈突防成功,擺脫距離rmin=64.27 m,此時結(jié)束突防轉(zhuǎn)為打擊目標,最后成功命中目標,脫靶量為0.83 m,但此場景下攻擊彈的擺脫距離并不是期望值50 m。

場景3下由式(31)計算的tf估計值的變化如圖6所示。

圖6 剩余飛行時間估計值變化圖

由圖6可知tf在未突防時逐漸變小,在3.11 s開始突防后,tf開始增大,彈間距離rMD最小的時間為10.79 s,小于按照式(31)估計出的時間11.26 s,且在突防末段tf劇烈變化,這些都影響了制導(dǎo)律精度,使得在預(yù)估的tf時刻零控脫靶量z(t)未能收斂到r*,同時擺脫距離rmin也不在r*附近。

4.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擺脫距離代理模型的精度分析

為了訓(xùn)練基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代理模型,需要采集訓(xùn)練數(shù)據(jù)。根據(jù)典型作戰(zhàn)場景,設(shè)攻擊彈開始突防時與防御彈的相對距離、視線角、攻擊彈的速度矢量前置角、防御彈的速度矢量前置角的變化范圍如表1所示。

表1 訓(xùn)練數(shù)據(jù)初值變化范圍

將所有樣本隨機劃分為訓(xùn)練集、校驗集和測試集,比例為8∶1∶1。設(shè)置網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)率為0.05,目標誤差E=10-4,最大迭代次數(shù)500次,設(shè)置兩個隱藏層,神經(jīng)元數(shù)分別為50和35。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練到144代停止,網(wǎng)絡(luò)的誤差值最終為9.98×10-5,此時訓(xùn)練誤差已經(jīng)收斂達到目標誤差,訓(xùn)練得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型f(X,r*)。

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完畢后,代入測試集計算,平均計算時間為0.027 4 s,擺脫距離rmin的預(yù)測結(jié)果如圖7所示。

圖7 擺脫距離預(yù)測值和實際值

4.3 面向應(yīng)用的最優(yōu)突防制導(dǎo)律驗證

為了驗證制導(dǎo)律性能,將本文方法與下面兩種傳統(tǒng)的機動突防形式進行仿真對比。

1)方波機動aM(t)=Aω·D(t),D(t)是幅值為1的方波函數(shù),周期為T=1/f1。

2)蛇形機動

(40)

式中:f2是頻率,T1為開始突防的時間。

方波機動分別取Aω=32、f1=0.1(算例2)和Aω=55、f1=0.12(算例3),正弦機動取Aω=54、f2=0.1(算例4)和Aω=54、f2=0.15(算例5),本文方法為算例1,其他仿真條件同4.1節(jié)。設(shè)攻擊彈的控制能量消耗為

(41)

5個算例中攻擊彈的仿真結(jié)果對比如圖8～9所示,突防結(jié)束時間、擺脫距離和能耗對比見表2。

表2 機動參數(shù)和突防結(jié)果

圖8 不同機動突防方式的彈道圖

圖9 不同機動突防方式的攻擊彈加速度圖

表3 兩彈初值取值范圍

其他條件同4.1節(jié),分別蒙特卡洛仿真100組,當r<8 km時,求解制導(dǎo)律參數(shù)r*然后用于突防,統(tǒng)計攻擊彈的突防結(jié)果,如圖10所示。

圖10 蒙特卡洛仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

本文針對攻擊彈在攻擊目標的過程中遭遇防御彈攔截而進行突防的問題展開了研究,不僅考慮成功突防,還同時考慮了突防成功后繼續(xù)打擊目標以及在突防過程中盡量節(jié)省控制能量的問題。在攻擊彈-防御彈相對運動模型的基礎(chǔ)上,引入零控脫靶量,建立了考慮擺脫距離和控制能量的最優(yōu)突防控制模型,基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)得到三維空間的制導(dǎo)指令。構(gòu)建了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型,基于此給出了不同突防初始態(tài)勢和擺脫距離要求下的制導(dǎo)律關(guān)鍵參數(shù)。仿真中校核了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型的精度以及分析了最優(yōu)突防制導(dǎo)律的性能。