有質(zhì)量的彈簧振子固有角頻率求解方法研究

朱小飛 劉大鵬

摘?要：在大學(xué)物理機(jī)械振動教學(xué)內(nèi)容中，彈簧振子的振動是重要的內(nèi)容，其力學(xué)模型往往忽略彈簧的質(zhì)量，而彈簧的質(zhì)量對振子固有角頻率的求解有一定的影響。本文在不忽略彈簧質(zhì)量的條件下，用能量法和波動方程法分別求解了有質(zhì)量彈簧振子的固有角頻率，用python計算并討論了這兩種方法的計算精度及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：彈簧振子；彈簧質(zhì)量；能量法；波動方程法；固有角頻率

中圖分類號：TB?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.15.087

在大學(xué)物理機(jī)械振動教學(xué)內(nèi)容中，彈簧振子的振動是重要的內(nèi)容，其力學(xué)模型往往忽略彈簧的質(zhì)量。而實際上彈簧是有質(zhì)量的，本文在不忽略彈簧質(zhì)量的條件下，介紹兩種求解彈簧振子固有角頻率的方法。本文討論的問題，如圖1所示，一根彈性系數(shù)為k的彈簧，長為?L，質(zhì)量為m且均勻分布，彈簧各處橫截面相等；彈簧上端點固定，下端點連接一個質(zhì)量為M的質(zhì)點構(gòu)成彈簧振子，求此彈簧振子振動的固有角頻率。

考慮彈簧本身的質(zhì)量時，我們面對的就是一個分布質(zhì)量系統(tǒng)的振動問題，下面分別介紹求解此問題的能量法和波動方程法，以供參考。

1?能量法

能量法的原理是機(jī)械能守恒，這種方法應(yīng)用系統(tǒng)能量函數(shù)把一個分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為一個單自由度系統(tǒng)，先假定一個滿足邊界條件的系統(tǒng)振動模式，按照這一振動模式計算系統(tǒng)的哈密頓量，然后由哈密頓量守恒就可以求得對應(yīng)模式的系統(tǒng)固有角頻率。

我們假定系統(tǒng)振動模式是彈簧各截面在振動過程中同相位，在這種模式下，各截面的位移與它離固定點的距離成正比；因此，當(dāng)質(zhì)點M在某一瞬時的速度為v時，彈簧在l處微段dl的相應(yīng)速度為lvL，動能為dTs=12mL（lvL）2dl。所以整個彈簧的動能為Ts=∫dTs=12mL∫L0（lvL）2dl=16mv2，系統(tǒng)的動能為：

T=Ts+12mv2=12（M+m3）v2

此時，若振子（彈簧連接振子端）偏離平衡位置的位移為x，則有v=dxdt；并且彈簧各截面的位移總和即彈簧形變總量亦為x。在保守力作用下，系統(tǒng)的勢能和忽略彈簧質(zhì)量時一樣為：U=12kx2，系統(tǒng)的哈密頓量為：

H=T+U=12（M+m3）v2+12kx2=常量

兩邊對t微分得

（M+m3）d2xdt2+kx=0

對于簡諧振動，有d2xdt2+ω2x=0，因此求得系統(tǒng)固有角頻率ω為：

ω=kM+m/3（1）

（1）式結(jié)果說明，在不忽略彈簧質(zhì)量時，若系統(tǒng)振動可以簡化為單自由度的振動，則其固有角頻率中振子的質(zhì)量M要加上三分之一彈簧質(zhì)量m/3，這個m/3稱為彈簧的等效質(zhì)量。

2?波動方程法

2.1?彈性細(xì)桿縱向振動方程的建立

把彈簧等效為長度為L、橫截面為S、密度為ρ、楊氏彈性模量為Y（Y=kLS）的彈性直桿，原來的彈簧振子模型可用圖2代替。

以u（x，t）表示桿上x處截面相對其平衡位置的位移，它是截面位置x與時間t的函數(shù)，x處微段dx的應(yīng)變?yōu)椋害ぃ╠x）dx=u+uxdx－udx=ux，截面上應(yīng)力為：N=YSux，應(yīng)力沿桿長方向變化率為：Nx=YS2ux2，對微段dx用牛頓定律得：ρSdx2ut2=Nxdx，整理得：

2ut2=a22ux2（2）

a=Yρ（3）

方程（2）是一維波動微分方程，令u（x，t）=U（x）T（t），用分離變量法得到下面兩個常微分方程：

d2Tdt2+ω2T=0（4）

d2Udx2+ω2a2U=0?（5）

方程（4）、（5）的通解分別表示為：

T（t）=Csin（ωt+φ）（6）

U（x）=A1sinωax+B1cosωax（7）

（7）式稱為振型函數(shù)，它描繪了桿以固有角頻率ω作簡諧振動時的振動形態(tài)，即振動模式（或主振型）。

波動方程（2）的通解為：

u（x，t）=（Asinωax+Bcosωax）sin（ωt+φ）（8）

式中A、B、ω、φ四個待定常數(shù)由邊界條件和初始條件來決定。

2.2?由邊界條件確定固有角頻率

對于我們的問題，?彈簧上端固定，得：x=0處，u（x，t）=0，所以（8）式中B=0，得：

u（x，t）=Asinωax·sin（ωt+φ）（9）

彈簧下端連接質(zhì)量為M的質(zhì)點，則x=L處，拉力YSux=-M2ut2，將（9）式代入上式得：

YSωacosωLa=Mω2sinωLa（10）

由（3）、（10）兩式和m=ρSL得：

mM=ωLa·tanωLa（11）

利用Y=kLS和（3）式，（11）式可整理得：

mM=ωm/Mω0·tanωm/Mω0（12）

（12）式中ω0=kM，是忽略彈簧質(zhì)量時系統(tǒng)的固有角頻率。

給定m/M比值，可由作圖法或計算機(jī)數(shù)值計算求超越方程（12）的根，再求得固有角頻率ω。顯然，固有角頻率有無限多個，最小者ω1是第一階固有角頻率（即基頻），其他ωi隨著i值的增加而增加，階次依次為第二階、第三階……

3?計算和討論

由（1）和（12）式，用python計算基頻ω1并繪制ω1/ω0～m/M曲線。二分法計算并繪制曲線的主要程序為：

#二分法計算ω值def?f（m）：list?=?[]p1?=?0p2?=?0for?i?in?np.arange（1，3，0.01）：x?=?f1（m）y?=?f2（m，i）p1?=?p2p2?=?x?–?y#交叉點if?p1?*?p2?

圖3?ω1/ω0～m/M曲線

（1）當(dāng)m/M很小時，tanωm/Mω0≈1/M，由（12）和（1）式，均可得ω=ω0，說明彈簧質(zhì)量與質(zhì)點質(zhì)量相比很小時，求固有角頻率時可以忽略彈簧質(zhì)量。

（2）由（12）式經(jīng)python數(shù)值計算得：m/M=0.1時，ω1≈0.983635ω0；m/M=1時，ω1≈0.860334ω0?？梢姡寒?dāng)m/M=0.1時，忽略彈簧質(zhì)量的解與波動方程法精確解的相對誤差為1.66%，因此，當(dāng)m/M<0.1時，在要求不高的情況下可以忽略彈簧質(zhì)量。

（3）用能量法求解的結(jié)果（1）式計算基頻ω1，取m/M=0.1時，ω1=0.983739ω0，能量法與波動方程法精確解的相對誤差為0.011%；取m/M=1時，ω1=0.866025ω0，與波動方程法精確解的相對誤差為0.66%?？梢姡ǔＧ闆r下能量法的精度是較高的。

4?結(jié)語

通過上述分析和討論，我們在求解彈簧振子的固有角頻率時，波動方程法的結(jié)果雖然精確，但是計算復(fù)雜，需要借助計算機(jī)求解超越方程，一般情況下，不便使用。能量法的結(jié)果是近似解，只能求基頻，但簡便實用。對于常見的彈簧振子，滿足條件m/M<1，用能量法的結(jié)果（1）式計算基頻，可以得到較好的近似值。

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