深度學(xué)習(xí)視角下數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力培養(yǎng)研究

徐曉建　李祎

1 引言

數(shù)學(xué)是思維的體操，問(wèn)題是思維的動(dòng)力和起點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以看成是一個(gè)不斷提出問(wèn)題并解決問(wèn)題的過(guò)程．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出能力，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深對(duì)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)，以便更好地解決問(wèn)題．近年來(lái)，深度學(xué)習(xí)已成為教育領(lǐng)域?qū)＜覀冇葹殛P(guān)注的一個(gè)話題．深度學(xué)習(xí)與問(wèn)題提出有著密切的關(guān)系，在深度學(xué)習(xí)的背景下如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力，值得人們研究．

2 對(duì)深度學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)

深度學(xué)習(xí)的概念最早起源于人工智能領(lǐng)域，現(xiàn)在廣泛應(yīng)用于人工智能領(lǐng)域和教育領(lǐng)域．2005年上海師范大學(xué)的何玲、黎加厚開(kāi)始教育領(lǐng)域的深度學(xué)習(xí)研究，其二人在共同發(fā)表的《促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)》一文中給出了深度學(xué)習(xí)的明確定義[1]：深度學(xué)習(xí)是指在理解性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中，做出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)．這一定義得到了較為廣泛的認(rèn)可．安富海進(jìn)一步提出，深度學(xué)習(xí)是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學(xué)習(xí)，具有注重批判理解、強(qiáng)調(diào)內(nèi)容整合、促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)、著意遷移運(yùn)用等特征[2]．

具體到數(shù)學(xué)學(xué)科，許多研究者給出了自己的理解．其中有研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系、感悟數(shù)學(xué)思想、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)或“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的過(guò)程[3]．由于問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，因此我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在批判性理解的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，主動(dòng)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移與應(yīng)用，創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并發(fā)展高階思維能力的過(guò)程．

3 對(duì)問(wèn)題提出的認(rèn)識(shí)

問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一步步深入的推進(jìn)劑，沒(méi)有問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯然不存在，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、提出新問(wèn)題的循環(huán)過(guò)程．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，問(wèn)題提出甚至比解決問(wèn)題更為重要，問(wèn)題提出是解決問(wèn)題的起點(diǎn)．愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，提出一個(gè)好的問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要．

問(wèn)題提出是數(shù)學(xué)活動(dòng)的顯著特點(diǎn)，是提高學(xué)生問(wèn)題解決能力和改進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)態(tài)度的有效手段，是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的一個(gè)窗口[4]．問(wèn)題提出包括對(duì)問(wèn)題情境的探索產(chǎn)生新問(wèn)題，也包括在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)問(wèn)題的“再闡述”[5]．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題提出是指學(xué)生基于給定的問(wèn)題情境提出數(shù)學(xué)問(wèn)題以及通過(guò)改變（或改編）已有問(wèn)題來(lái)提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題[6]．

由此我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力就是學(xué)生基于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，分析情境中涉及的數(shù)學(xué)信息，綜合自身已獲得的相關(guān)知識(shí)提出新問(wèn)題或?qū)υ瓎?wèn)題進(jìn)行“再闡述”的能力．問(wèn)題提出能力已經(jīng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要掌握的一項(xiàng)重要能力．

4 深度學(xué)習(xí)與問(wèn)題提出的關(guān)系

問(wèn)題提出是學(xué)生深入探究和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的有效載體，也是深度學(xué)習(xí)的開(kāi)端．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)往往是從問(wèn)題提出開(kāi)始的．問(wèn)題提出能夠推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深入發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，這與數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展不謀而合，同時(shí)，學(xué)生具備數(shù)學(xué)高階思維反過(guò)來(lái)又有助于提出更高質(zhì)量、更有深度的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

因此深度學(xué)習(xí)與問(wèn)題提出存在著非常密切的關(guān)系，即問(wèn)題提出可以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，深度學(xué)習(xí)可以提升高階思維能力；反之，具備高階思維能力，又有助于提出更高質(zhì)量的問(wèn)題．如此可以形成一個(gè)良性循環(huán)的閉環(huán)（如圖1）．因此，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題提出能力已經(jīng)成為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)在要求，具備良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力是學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的一個(gè)必要條件．

5 深度學(xué)習(xí)背景下培養(yǎng)數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力的必要性

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維，低階思維已經(jīng)不再適應(yīng)學(xué)生的終身發(fā)展．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)很大程度上要依靠數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)．但在目前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生很多時(shí)候還是扮演被動(dòng)解決問(wèn)題的角色，一般都是教師提前設(shè)置好數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求學(xué)生用剛學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)方法來(lái)解決問(wèn)題，以達(dá)到訓(xùn)練和檢測(cè)的目的．這樣的課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)問(wèn)題情境相對(duì)封閉，學(xué)生思維得不到拓展．更重要的是，長(zhǎng)此以往，學(xué)生缺乏主動(dòng)提問(wèn)的意識(shí)與能力，對(duì)教師設(shè)置的問(wèn)題被動(dòng)作答，缺乏質(zhì)疑精神，教師怎么說(shuō)就怎么做，不敢提出自己的疑問(wèn)，更不用說(shuō)提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

思維的火花往往就在提出某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)得以迸發(fā)，但是學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)常處在一種不想提、不敢提、不會(huì)提的尷尬境地，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得不到良好的發(fā)展，數(shù)學(xué)高階思維的培養(yǎng)更是無(wú)從談起，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是停留在淺層狀態(tài)，數(shù)學(xué)低階思維占主導(dǎo)地位，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)難以實(shí)現(xiàn)．因此，在倡導(dǎo)深度學(xué)習(xí)理念的當(dāng)下，數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力的培養(yǎng)必須得到關(guān)注和重視．

6 深度學(xué)習(xí)背景下培養(yǎng)數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力的可行性

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)問(wèn)題的存在，并且自己需要問(wèn)“為什么”“是什么”“怎么辦”，這樣才能激起學(xué)習(xí)中的思維火花，而且這種問(wèn)題意識(shí)越強(qiáng)烈，自己的思維就越活躍、越深刻、越富有創(chuàng)造性[7]．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力，要著力破除學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中“不想提”“不敢提”“不會(huì)提”的現(xiàn)狀，引導(dǎo)學(xué)生向“想提問(wèn)題”“敢提問(wèn)題”“會(huì)提問(wèn)題”轉(zhuǎn)變，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維向深層次發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)．

6.1 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，激發(fā)“想提問(wèn)題”的欲望

有些學(xué)生認(rèn)為提問(wèn)題會(huì)花費(fèi)過(guò)多時(shí)間，所提的問(wèn)題也不一定有助于自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不想提問(wèn)的局面．面對(duì)這種情況，教師要幫助學(xué)生樹(shù)立正確的觀念，即問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要驅(qū)動(dòng)，能促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，不必過(guò)多考慮提問(wèn)題的時(shí)間成本或者所提問(wèn)題是否有意義等，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要有時(shí)刻想提問(wèn)題的沖動(dòng)．這樣幫助學(xué)生放下心理包袱，積極思考并嘗試提出問(wèn)題．

數(shù)學(xué)情境是學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題最直接的載體．?dāng)?shù)學(xué)教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生分析和挖掘情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解主動(dòng)進(jìn)行提問(wèn)，如此有助于激發(fā)學(xué)生想提問(wèn)題的欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題提出能力．例如，在高中教學(xué)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”時(shí)，可以設(shè)置這樣的情境：八戒西天取經(jīng)后，擔(dān)任了高老莊集團(tuán)的董事長(zhǎng)，因急需大量的資金投入，于是找大師兄孫悟空幫忙．悟空一口答應(yīng)：“行！我每天投資100萬(wàn)連續(xù)一個(gè)月（30天），但從投資的第一天起，第一天必須還給我1元，第二天還給我2元，第三天還給我4元……”八戒心里想了一下，就答應(yīng)了悟空的要求．情境戛然而止，并沒(méi)有給出要研究的問(wèn)題，學(xué)生頓時(shí)有了疑問(wèn)，有了想提問(wèn)的心理傾向，這時(shí)教師及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，激發(fā)想提問(wèn)題的欲望，讓學(xué)生自己提出想要探究的問(wèn)題．學(xué)生根據(jù)自己的想法可能會(huì)提出這些問(wèn)題：悟空一個(gè)月（30天）一共投資了多少錢？從第一天起，八戒每天還給悟空的錢分別是多少？八戒還的錢符合等比數(shù)列特點(diǎn)，通項(xiàng)公式是多少？一個(gè)月（30天）下來(lái)，八戒一共要還給悟空多少錢？悟空的投資是虧了還是賺了？

學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)情境提出的問(wèn)題，或簡(jiǎn)單或復(fù)雜，或有用或無(wú)用，或幼稚或成熟，但教師都需要給予肯定，鞏固學(xué)生“想提問(wèn)”的心理基礎(chǔ)，在肯定學(xué)生提問(wèn)精神的同時(shí)，教師可以與學(xué)生一起探討哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題值得繼續(xù)研究，哪些問(wèn)題則可以選擇跳過(guò)、不必深究，這樣的師生交流過(guò)程能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生從不想提問(wèn)到樂(lè)意提問(wèn)的態(tài)度轉(zhuǎn)變，能促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生和學(xué)生高階思維的發(fā)展．

6.2 鼓勵(lì)大膽質(zhì)疑，增強(qiáng)“敢提問(wèn)題”的勇氣

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一部分學(xué)生對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題的態(tài)度是想提卻不敢提，究其原因是學(xué)生缺乏大膽質(zhì)疑的精神，內(nèi)心有疑問(wèn)卻不敢提出．學(xué)生往往將課本和教師所說(shuō)的話視為正確無(wú)誤的“圣經(jīng)”，基本上不敢去質(zhì)疑，并且一旦質(zhì)疑失敗，會(huì)讓自己陷入尷尬境地，正是有這種心理作祟，導(dǎo)致學(xué)生不敢提出自己的問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行批判性理解，這就要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中始終要有一種質(zhì)疑和批判的精神．

數(shù)學(xué)教師必須鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出自己的疑問(wèn)，鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多問(wèn)幾個(gè)為什么，抱著質(zhì)疑的態(tài)度去理解教師的教學(xué)，將教材當(dāng)作學(xué)習(xí)的參照和參考而不是絕對(duì)真理，隨時(shí)準(zhǔn)備提出自己的問(wèn)題．例如，在高中學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”一章內(nèi)容時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)后應(yīng)該大膽提出疑問(wèn)：教材中的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)均是按照先圖象后性質(zhì)的研究順序，為什么正切函數(shù)要采用先性質(zhì)后圖象的研究順序？這樣的安排有什么特殊的意義嗎？又如，在高中學(xué)習(xí)“三角恒等變換”這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生應(yīng)該大膽質(zhì)疑并提出問(wèn)題：為什么首先要學(xué)習(xí)“兩角差的余弦公式”？是因?yàn)樗刑厥獾囊饬x與作用嗎？先學(xué)習(xí)其它公式，如“兩角和的正弦公式”，有什么不妥嗎？

學(xué)生只有大膽提出自己的疑難困惑，教師才能更精確地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)及思維狀態(tài)，從而有針對(duì)性地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)．學(xué)生要深刻意識(shí)到大膽提問(wèn)是將自身思維展現(xiàn)出來(lái)的過(guò)程，通過(guò)不斷質(zhì)疑和發(fā)問(wèn)，數(shù)學(xué)思維將會(huì)更上一層樓．

6.3 掌握提問(wèn)方法，提高“會(huì)提問(wèn)題”的本領(lǐng)

“想提問(wèn)題”“敢提問(wèn)題”還是停留在學(xué)生的心理層面，是一種心理傾向，它們構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力的心理基礎(chǔ)，但真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力的關(guān)鍵還在于“會(huì)提問(wèn)題”，這就需要學(xué)生掌握必要的提問(wèn)方法．達(dá)爾文曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)．因此，教師需要有意識(shí)地教給學(xué)生一些提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體方法，幫助學(xué)生提出有意義的、有助于思維發(fā)展的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師需要?jiǎng)?chuàng)造條件，幫助學(xué)生掌握并運(yùn)用一些實(shí)用的提問(wèn)方法．教師可以參考如下方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)[8]：因果聯(lián)想法、比較分析法、擴(kuò)大成果法、特殊化方法、變化條件結(jié)論法、逆反思考法、實(shí)驗(yàn)觀察法等．比如，要讓學(xué)生掌握比較分析法，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比分析相近事物的過(guò)程中找出不同點(diǎn)并提出新的問(wèn)題．例如，在高中學(xué)習(xí)“函數(shù)的概念”時(shí)，學(xué)生自然會(huì)聯(lián)系到初中學(xué)習(xí)過(guò)的“函數(shù)”內(nèi)容．這時(shí)教師要順著學(xué)生的思路，引導(dǎo)他們自己提出問(wèn)題：初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與高中的函數(shù)概念有什么區(qū)別與聯(lián)系？為什么高中階段采用集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系研究函數(shù)，而不繼續(xù)采用兩個(gè)變量之間的關(guān)系來(lái)研究函數(shù)？提出并解決上述問(wèn)題，不僅促進(jìn)了新知識(shí)的理解及原有知識(shí)體系的完善，而且學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步發(fā)展，這樣的學(xué)習(xí)才可以說(shuō)是真正意義上的深度學(xué)習(xí)．

又如，為了讓學(xué)生掌握擴(kuò)大成果法的提問(wèn)方法，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展類比提問(wèn)法．比如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列之后，啟發(fā)學(xué)生思考并提出問(wèn)題：是否存在等和數(shù)列與等積數(shù)列？在學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理之后，啟發(fā)學(xué)生思考并提出問(wèn)題：是否存在正切定理和余切定理？在知道了動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值、距離之差為定值的軌跡分別為橢圓和雙曲線之后，啟發(fā)學(xué)生思考并提出問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值、距離之比為定值的軌跡分別應(yīng)是什么呢？由此進(jìn)行類比聯(lián)想提問(wèn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充和拓展，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力．