一道模考?jí)狠S題的背景與多解探析

數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)軔于問題，活用于問題解決.剖析典型試題的命題立意、命題背景，探究多樣化的解法以及溝通各種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，是發(fā)展解題水平、達(dá)到解題目的的一條值得嘗試的路徑，也是體味數(shù)學(xué)源頭的一種方法.

一、試題呈現(xiàn)

（2022屆南昌市高三第一次模擬測試?yán)砜频?2題）已知A－1，0，B3，0，P是圓O：x2+y2=45上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則sin∠APB的最大值是（ ）.

本題通過設(shè)置鮮活靈動(dòng)的問題情境，考查一類最大張角問題，重點(diǎn)考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).另一方面，試題一改往常解析幾何、立體幾何或?qū)?shù)試題壓軸的命題慣例，而是選取了正弦定理、圓與圓的位置關(guān)系等“基礎(chǔ)”知識(shí)命制試題壓軸，破舊立新的背后旨在引導(dǎo)教師破除思維定勢，全面?zhèn)淇?，科學(xué)訓(xùn)練，摒棄以往醉心于“押題”訓(xùn)練、“套路”訓(xùn)練的舊有思維.總之，本題立意新穎，導(dǎo)向鮮明，內(nèi)蘊(yùn)豐富，具有較高的挖掘價(jià)值.

二、命制背景

本題源于經(jīng)典的米勒問題.1471年，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家米勒（Johannes，miller）向諾德爾（Chri-stian，roder）教授提出了如下有趣的問題：如圖1所示，在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可視角最大）？上述最大視角問題因米勒首先提出，故稱之為米勒問題.米勒問題廣泛分布于各種實(shí)際問題中，例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點(diǎn)等，成為世界數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名極值問題中的首個(gè)極值問題.

將上述問題加以抽象，即為如下問題：“如圖2，設(shè)M，N是角∠AOB的一邊OA上的兩點(diǎn)，試在邊OB上找一點(diǎn)P，使∠MPN最大.”對于上述問題，我們有如下定理：

米勒定理：設(shè)M，N是角∠AOB的一邊OA上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是射線OB上異于O點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△MNP的外接圓與射線OB相切于點(diǎn)P時(shí)，∠MPN最大.［2］

證明：如圖3，在射線上任取異于P點(diǎn)的一點(diǎn)P′，連接MP′，NP′，NP′與圓相交于點(diǎn)C.由圓周角大于圓外角得∠MCN>∠NP′M.又因?yàn)椤螹CN=∠MPN，所以∠MPN>∠MP′N，得證.

三、問題解答

以下分別從∠APB的正弦、余弦、正切值的最值問題探討三個(gè)思路尋求解題突破口.

思路一：利用正弦定理和米勒定理探索最值

本題探求一角正弦值的最小值問題，聯(lián)想到正弦定理，可轉(zhuǎn)化為△ABP的外接圓半徑最小值問題.再根據(jù)米勒定理，轉(zhuǎn)化為圓與圓的內(nèi)切關(guān)系問題，利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系式構(gòu)造方程求得最小半徑.

解法1：如圖4所示，設(shè)△ABP的外接圓半徑為R，則AB/sin∠APB=2R，從而sin∠APB=AB/2R=2/R.由米勒定理知，當(dāng)△ABP的外接圓與圓O相內(nèi)切時(shí)，R最小，sin∠APB最大.設(shè)△ABP的外接圓的圓心為C，則C1，4－R2.因?yàn)镺C=35－R，所以R2－3=35－R，解得R=85/5，sin∠APB的最大值是5/4，故選C.

思路二：應(yīng)用余弦定理和基本不等式求解最值

從結(jié)論出發(fā)聯(lián)系余弦定理，cos∠APB=PA2+PB2－AB2/2PA·PB=PA2+PB2－16/2PA·PB.于是，可考慮借助已知條件建立PA，PB長度間的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，放縮求出cos∠APB的最值問題.

解法2：（利用∠AOP與∠BOP的互補(bǔ)關(guān)系建立PA，PB長度間的關(guān)系式）設(shè)PA=m，PB=n，顯然cos∠AOP=－cos∠BOP，由余弦定理得12+452－m2/2×1×45=－32+452－n2/2×3×45，化簡得3m2+n2=192，即有3m2+n2/192=1，所以cos∠APB=m2+n2－42/2mn=m2+n2－16/1923m2+n2/2mn=9m2+11n2/24mn≥29m2×11n2/24mn=11/4，從而sin∠APB的最大值是1－11/42=5/4，故選C.

點(diǎn)評(píng)：利用“1”的代換，借助基本不等式實(shí)施放縮，求得余弦值的最小值.

解法3：（利用向量恒等式建立PA，PB長度間的關(guān)系式）設(shè)PA=m，PB=n，∠APB=θ，易知PO=3PA+PB/4，平方得PO2=9PA2+6PA·PB+PB2/16，即45=9m2+6mncosθ+n2/16，解得cosθ=720－9m2－n2/6mn，由余弦定理得cosθ=m2+n2－16/2mn，所以720－9m2－n2/6mn=m2+n2－16/2mn，化簡得3m2+n2=192，下同解法2.

解法4：（借助斯特瓦爾特定理建立PA，PB長度間的關(guān)系式）設(shè)PA=m，PB=n，由斯特瓦爾特（Stewart）定理得PA2·OB+PB2·OA=PO2·AB+AB·AO·BO，即有3PA2+PB2=45×4+1×3×4，亦即3m2+n2=192，下同解法2.

思路三：借助兩角差的正切公式和過P的直線系方程探求最值

設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y，從∠APB的正切值切入，引入過Px，y點(diǎn)的直線系方程，然后利用原點(diǎn)到該直線（系）的距離小于等于圓的半徑構(gòu)造不等式，使問題獲解.

解法5：設(shè)Px，y，則x2+y2=45，則直線PA，PB的斜率分別是kPA=y/x+1，kPB=y/x－3，tan∠APB=tan∠PBx－∠PAx=tan∠PBx－tan∠PAx/1+tan∠PBxtan∠PAx=kPB－kPA/1+kPB·kPA=y/x+1－y/x－3/1+y/x+1·y/x－3=4y/x2+y2－2x－3=4y/42－2x=2y/21－x.設(shè)2y/21－x=k，則kx+2y－21k=0，則原點(diǎn)O0，0到直線kx+2y－21k=0的距離d=21k/k2+4≤35，解得k2≤5/11，即tan2∠APB≤5/11，從而sin∠APB的最大值是5/4，故選C.

點(diǎn)評(píng)：比較上述各解題思路與解法，環(huán)肥燕瘦，辯證統(tǒng)一.但思路1應(yīng)用米勒定理，解答最為簡捷明快.

四、模型應(yīng)用

以米勒問題為背景的最大張角試題在歷年高考中屢見不鮮，經(jīng)久不衰，而米勒定理應(yīng)成為解決下此類問題的首選良策.

例1 （1986年高考全國卷理科第5題）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩定點(diǎn)A，B，試在x軸正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求一點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值.

例2 （2005年高考浙江卷理科第17題）如圖6，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，MA1：A1F1=2：1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l1：x=mm>1，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用m表示）.

例3 （2010年高考江蘇卷第17題）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位m），如圖7所示，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已經(jīng)測得一組α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據(jù)此算出H的值；

（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實(shí)際高度為125m，問d為多少時(shí)，α－β最大.

囿于篇幅，以下僅給出例3（2）的解答：

解法1：由題設(shè)知d=AB，得tanα=AE/AB=125/d，tanβ=CB/DB=EA/DA=H－h(huán)/d=125－4/d=121/d，則tanα－β=tanα－tanβ/1+tanαtanβ=125/d－121/d/1+125/d×121/d=4/d+125×121/d≤4/2d×125×121/d=4/2d×125×121/d=25/125，當(dāng)且僅當(dāng)d=125×121/d即d=555時(shí)等號(hào)成立.又0<β<α<π/2，0<α－β<π/2，由于y=tanx在0，π/2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)d=555時(shí)，α－β最大.

解法2：由題設(shè)知α－β=∠DEB，由米勒定理得，當(dāng)EA與過點(diǎn)D，B，E的圓相切且切點(diǎn)為E時(shí)，∠DEB最大.易求得DB=4/121d，此時(shí)，由切割線定理得EA=BA·DA，即125=d·4/121d+d，解得d=555，問題獲解.

以上解法中，可以再次體會(huì)應(yīng)用米勒定理大幅縮減運(yùn)算量的天然優(yōu)勢.

值得關(guān)注的是，近年來，米勒問題在競賽數(shù)學(xué)中也頻頻亮相.

例4 （2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定點(diǎn)M（－1，2），N（1，4），點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 .（參考答案：1）

例5 （2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第9題）已知橢圓x2/16+y2/4=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在直線l：x－3y+8+23=0上.當(dāng)∠F1PF2取最大值時(shí)，PF1/PF2= .（參考答案：3－1）

例6 （2017年遼寧省初賽第9題）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓Γ：x2/a2+y2/b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2=2，A為Γ的右端點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A，且垂直于x軸，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2的最大值是π/4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

解：由已知得Aa，0，F(xiàn)1－1，0，F(xiàn)21，0.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，設(shè)Pa，tt>0，由米勒定理知：當(dāng)為P經(jīng)過點(diǎn)F1，F(xiàn)2且與直線l相切的圓的切點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2取到最大值.由切割線定理，可知AP2=AF1·AF2，即t2=a+1a－1，則t=a2－1.又∠F1PF2的最大值是π/4，所以tanπ/4=1/a2－1，解得a2=2，即t=1.同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，t=－1.綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，±1）.

五、強(qiáng)化訓(xùn)練

1.（2022年1月廣東省華附等四校聯(lián)考第7題）在足球比賽中，球員在對方球門前的不同位置起腳對球門的威脅是不同的，出球點(diǎn)對球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖8為室內(nèi)5人制足球場示意圖，設(shè)球場（矩形）長BC大約為40米，寬AB大約為20米，球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點(diǎn)M處射門（假設(shè)球貼地直線運(yùn)行），為使∠PMQ最大，則BM大約是（）.（精確到1米）

A.8米 B.9米 C.10米 D.11米

2.（2022年東北三省三校聯(lián)考第12題）已知a>b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2/a2－y2/b2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為橢圓C2：x2/a2+y2/b2=1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2取得最小值，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）.

A.0，2/2B.2/2，1C.0，2/3D.2/3，1

（以上兩題分別選C，A）

參考文獻(xiàn)

［1］徐章韜.中學(xué)數(shù)學(xué)教材核心內(nèi)容分析：經(jīng)驗(yàn)型面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)［M］.北京：科學(xué)出版社，2021.1.

［2］張志剛.一道課本習(xí)題的溯源、破解與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊：2022（5）：66-68.

［3］張志剛.素養(yǎng)立意下一道視角極值題的溯源、破解與思考［J］.數(shù)理化解題研究：2022（25）：63-66.