圓柱齒輪自由曲面銑削下的齒形誤差研究

陳丹萍，廖宇蘭，周 漢，蘇 明

（1.海南科技職業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，海南?？?571126；2.海南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，海南?？?570228）

1 引言

自由曲面銑削是一種新型的柔性齒輪加工技術(shù)，可用于外齒輪的加工，尤其適用于具有復(fù)雜幾何形狀的新型齒輪。近年來(lái)，齒輪的自由曲面銑削已顯示出其巨大的潛在優(yōu)勢(shì)，并越來(lái)越具有工業(yè)應(yīng)用價(jià)值［1］。

雖然工業(yè)上通用多軸加工中心可以實(shí)現(xiàn)齒輪的自由曲面銑削，傳統(tǒng)的自由曲面理論和方法［2?4］可以被認(rèn)為是齒輪制造的基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者在齒輪銑削誤差方面開(kāi)展了大量研究，文獻(xiàn)［5］針對(duì)錐齒輪的幾何誤差控制，從影響加工誤差的因素方面建立了數(shù)學(xué)模型，研究了加工誤差的影響規(guī)律。文獻(xiàn)［6］在傳統(tǒng)單齒輪加工工藝基礎(chǔ)上，研究了齒槽加工順序與銑削均勻度的影響關(guān)系，在此基礎(chǔ)上優(yōu)化了數(shù)控加工程序。文獻(xiàn)［7］針對(duì)人字形齒輪的銑削加工精度和效率方面，基于殘差控制法建立了刀具路徑的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了立銑刀加工模型的有效性。文獻(xiàn)［8］在數(shù)控銑床上研究了一種新型凸凹齒輪的加工時(shí)間，結(jié)果表明隨著模數(shù)的增加、齒數(shù)和銑削角度的增加，加工次數(shù)增加。文獻(xiàn)［9］提出了一種精確五軸側(cè)銑螺旋錐齒輪或準(zhǔn)雙曲面齒輪的數(shù)控編程創(chuàng)新方法。其他比較典型的銑削誤差研究如文獻(xiàn)［10?13］所述。

上述研究為銑削技術(shù)的研究提供了重要參考加載，這里通過(guò)對(duì)圓柱齒輪表面幾何特征與銑刀的運(yùn)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行建模，研究了自由曲面銑削加工圓柱齒輪的齒形誤差，分析銑刀類型、銑刀進(jìn)給策略、齒輪基本參數(shù)等加工參數(shù)對(duì)齒形誤差的影響。最后在標(biāo)準(zhǔn)立銑床的通用多軸加工中心上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 齒輪自由銑削的幾何分析

2.1 自由曲面銑削齒輪的數(shù)學(xué)模型

自由曲面銑削齒輪加工結(jié)合了專用齒輪機(jī)床傳統(tǒng)制造方法和通用機(jī)床的集成數(shù)控加工方法。齒面由銑刀的掃掠運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，立銑刀銑削圓柱斜齒輪自由曲面的示意圖，如圖1所示。笛卡爾坐標(biāo)系Sm（Om?xmymzm），Og（Og?xgygzg）以及St（Ot?xtytzt）分別建立在機(jī)床、工件和銑刀上，銑刀參數(shù)a和e表示銑刀在xm軸方向和ym軸方向的位置。在齒輪的自由銑削中，工件和銑刀繞各自軸旋轉(zhuǎn)，銑刀沿著zt軸從齒輪寬度的上部向底部進(jìn)給，此時(shí)工件圍繞zg軸旋轉(zhuǎn)φ角度。隨后銑刀沿xm軸進(jìn)給一定量，然后銑刀沿著zt軸從齒輪寬度的底部向上部進(jìn)給，與此同時(shí)，工件圍繞zg軸旋轉(zhuǎn)?φ角度，整個(gè)齒側(cè)以及所有齒面均采用這種方式加工。

圖1 立銑刀銑削圓柱斜齒輪自由曲面的示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Milling Free?Form Surface of Cylindrical Helical Gear with end Mill

對(duì)于普通漸開(kāi)線螺旋面［14］，如果齒面參數(shù)為（u，θ），則在銑削點(diǎn)的齒側(cè)位置向量和法向量可表示為：

式中：rb—基圓半徑；

σ0—基圓上的半角齒厚；

p—斜齒輪的螺旋參數(shù)。

通用立銑刀示意簡(jiǎn)圖，如圖2所示。Ot為銑刀位置點(diǎn)，P為銑刀表面上的銑削點(diǎn)，H、L為銑削點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)，αt和ψ分別表示銑削刃的傾斜角和銑刀繞xt軸的旋轉(zhuǎn)角。

圖2 通用立銑刀的參數(shù)定義Fig.2 Parameter Definition of Universal end Mill

因此，立銑刀在銑削點(diǎn)處的位置向量和法向量可以表示為：

式中：αt—銑削刃的斜角；ψ—銑刀繞xt軸的旋轉(zhuǎn)角度。

通過(guò)坐標(biāo)變換，工件坐標(biāo)系Sg到加工坐標(biāo)系統(tǒng)Sm的傳遞矩陣可以表示為：

式中：Mmg—Sg到Sm的傳遞矩陣

φ—旋轉(zhuǎn)角度；p—斜齒輪的螺旋參數(shù)。

同樣，從銑刀坐標(biāo)系St到加工坐標(biāo)系Sm的傳遞矩陣可以表示為：

式中：Mmt—St到Sm的傳遞矩陣—銑刀參數(shù)，用來(lái)描述xm軸方向和ym軸方向的銑刀位置點(diǎn)。

為使工件矢量與銑刀矢量相匹配，可以根據(jù)式（3）、式（4），通過(guò)改變齒形生成參數(shù)u，得到齒形上任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度φ以及銑刀設(shè)置參數(shù)（a，e），從而可以推導(dǎo)出齒形上任意一點(diǎn)的銑刀位置點(diǎn)。

2.2 考慮殘余誤差的銑刀路徑的計(jì)算

在齒輪自由成形銑削過(guò)程中，在滿足齒形精度的基礎(chǔ)上，計(jì)算銑刀軌跡以逼近理論齒面，而不是計(jì)算齒面上的所有刀位點(diǎn)。以普通立銑刀自由銑削直齒輪為例，考慮殘余誤差在內(nèi)的銑刀路徑計(jì)算，如圖3所示。點(diǎn)A是與齒廓相切的第一個(gè)銑刀位置點(diǎn)，點(diǎn)B是與齒廓相切的相鄰銑刀位置點(diǎn)，點(diǎn)C是這兩條切線AC和BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D是圖面中齒廓曲線的法線交點(diǎn)。對(duì)于直齒輪，線CD的長(zhǎng)度表示漸開(kāi)線齒廓平面內(nèi)的殘余誤差Δt，對(duì)于斜齒輪，需要在與表面正交的方向上測(cè)量表面誤差。

圖3 立銑刀自由銑削直齒圓柱齒輪的殘余誤差Fig.3 Residual Error in Free Milling of Spur Gear with end Mil

假設(shè)坐標(biāo)A（xA，yA）、B（xB，yB），C（xC，yC）、D（xD，yD），由于AC和BC兩直線與齒廓相切，因此AC和BC的斜率kA和kB可以表示為：

對(duì)于漸開(kāi)線齒輪橫向齒廓，螺旋參數(shù)θ=0，因此式（1）中法向量ng（u，θ）表示為ng（u，0），將ng（u，0）代入式（5），則斜率為kA和kB可以表示為：

同時(shí)，點(diǎn)C是兩條切線AC和BC的交點(diǎn)，C（xC，yC）表示為：

由式（1）可知，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)D在漸開(kāi)線齒廓上，漸開(kāi)線角分別為uA，uB和uD。此外，由于直線CD垂直于點(diǎn)D處漸開(kāi)線的切線，且點(diǎn)D處的斜率kD為tan（σ0+uD），可得式（8）的幾何關(guān)系：

式中：Δt—齒形殘差。將坐標(biāo)A（xA，yA）、B（xB，yB），C（xC，yC）、D（xD，yD），斜率kA，kB和kD添加到式（8），則有：

通常給定起始銑刀定位點(diǎn)A和齒形精度要求，即uA和Δt已知。根據(jù)式（9），可以推導(dǎo)出齒廓上銑刀位置點(diǎn)的參數(shù)（uB，uD），然后根據(jù)已知的uB作為起始值，可以推導(dǎo)出銑刀位置點(diǎn)的其他參數(shù)（uB1，uD1），同樣可以獲得銑刀位置點(diǎn)的所有參數(shù)（uBi，uDi）。立銑刀自由曲面銑削直齒輪，通過(guò)數(shù)值分析模擬了采用立銑刀的漸開(kāi)線輪廓上的銑刀路徑，如圖4所示。

圖4 立銑刀自由曲面銑削直齒輪Fig.4 End Mill Free?Form Surface Milling Spur Gear

3 齒形誤差分析

本節(jié)將討論自由銑削齒輪的過(guò)程中，銑刀類型、銑刀進(jìn)給策略、齒輪基本參數(shù)等加工參數(shù)對(duì)齒形誤差的影響。

3.1 關(guān)于齒形誤差的銑刀類型

在自由銑削齒輪的過(guò)程中，不同類型的銑刀導(dǎo)致不同的加工效率和不同的齒面結(jié)構(gòu)。與齒形誤差相關(guān)的銑刀類型，立銑刀的側(cè)邊與齒面相切，而球頭銑刀的頂部圓弧邊與齒面相切，不同類型的銑刀會(huì)導(dǎo)致不同的加工時(shí)間，如圖5所示。銑削道次與殘余輪廓誤差之間的關(guān)系，可以看出在本當(dāng)前銑削參數(shù)條件下的殘余輪廓誤差范圍Δt=（0.005~0.03）mm，如圖6所示。

圖5 銑刀的類型Fig.5 Types of Tool

圖6 銑削道數(shù)與殘余輪廓誤差的關(guān)系Fig.6 Relation Between Cutting Pass Number and Residual Profile Errors

對(duì)于立銑刀，銑削道次從17個(gè)減少到7個(gè)，對(duì)于球頭銑刀，銑削道次從90個(gè)減少到37個(gè)。即當(dāng)Δt=0.03mm時(shí)，立銑刀的銑削道次為7，球頭銑刀的銑削道次為37，采用垂直銑削策略的球頭銑刀，加工時(shí)間是采用切向銑削策略的球頭銑刀的5.3倍。因此，與采用立銑刀制造齒輪相比，采用相同銑削道次的球頭銑刀將產(chǎn)生更大的殘余輪廓誤差，且需要更多的加工時(shí)間。

3.2 齒形誤差的銑刀進(jìn)給策略研究

銑刀的進(jìn)給策略也決定了齒形誤差和加工時(shí)間。齒輪自由銑削加工過(guò)程中主要有三種進(jìn)給策略：

（1）等漸開(kāi)線角進(jìn)給策略；

（2）等徑進(jìn)給策略；

（3）等殘差輪廓誤差進(jìn)給策略。

立銑刀自由銑削齒輪的進(jìn)給策略，如圖7 所示。在圖7（a）中，可以看出對(duì)于每條銑刀路徑，銑刀進(jìn)給是沿齒廓方向等距的，其漸開(kāi)線角度Δui相等。根據(jù)漸開(kāi)線齒形的特點(diǎn)，常數(shù)Δui表示從齒頂?shù)烬X根減小的齒形誤差Δti，如圖8所示。在圖7（b）中，可以看出每個(gè)銑刀路徑的銑刀進(jìn)給都是等距的，沿軸向方向徑向進(jìn)給Δx。在圖7（c）中，銑刀進(jìn)給在每個(gè)銑刀路徑上的距離相等，沿齒廓方向的殘余誤差Δt相同。也就是說(shuō)，齒頂和齒根處的表面粗糙度相同，進(jìn)給策略將直接影響齒形誤差，下一節(jié)將討論進(jìn)給策略與齒形誤差之間的關(guān)系。

圖7 立銑刀銑削齒輪進(jìn)給策略Fig.7 Feed Strategy for Milling Gears with End Mills

圖8 等漸開(kāi)線角進(jìn)給策略Fig.8 Feed Strategies of Equal Involute Angle Along Tooth Profile

為了分析進(jìn)給策略對(duì)齒形誤差的影響，在相同的銑削道次（N=14）下模擬了三種進(jìn)給策略。等漸開(kāi)線角的進(jìn)給策略，如圖9（a）所示?？梢钥闯鳊X形的殘余誤差從齒頂?shù)烬X根呈減小趨勢(shì)，齒形的最大誤差為0.011mm，最小誤差為0.0045mm，分別發(fā)生在齒頂和齒根上。從圖9（b）中可以看出，采用上述等徑向進(jìn)給策略，齒形殘余誤差從齒根到齒頂呈現(xiàn)減少趨勢(shì)，齒形的最大誤差和最小誤差分別為0.012mm 和0.007mm，分別出現(xiàn)在齒根和齒頂上。

圖9 進(jìn)給策略對(duì)齒形誤差的影響Fig.9 Influence of Feed Strategy on Tooth Profile Error

由圖9（c）可以看出，在等殘齒形誤差進(jìn)給策略下，齒形殘余誤差基本一致，最大齒形誤差為0.008mm。因此，從制造的角度來(lái)看，在給定最大齒形誤差的情況下，銑削道次越少，效率越高，即等殘余輪廓誤差的進(jìn)給策略是最優(yōu)的，等徑向進(jìn)給策略是最差的。但在可能的情況下，可以考慮采用等徑向進(jìn)給策略和等漸開(kāi)線角進(jìn)給策略進(jìn)行特殊輪廓的修形。

3.3 齒形參數(shù)對(duì)齒形誤差的影響

從經(jīng)濟(jì)角度方面考慮銑刀路徑的設(shè)計(jì)中，必須考慮工件參數(shù)，因?yàn)橐坏┐_定了銑刀和所應(yīng)用的銑削技術(shù)，齒形誤差將由齒輪的齒形參數(shù)決定。本研究在相同的銑削道次（N=14）下，分析由于工件參數(shù)（如齒數(shù)z、齒模mn、壓力角αn和螺旋角β）變化而導(dǎo)致的齒形誤差，如圖10所示。從圖10（a）中可以看出，齒數(shù)的增加將導(dǎo)致兩側(cè)齒形誤差的減小。在圖10（b）中，可以看出當(dāng)改變齒模時(shí)，齒模的增加將會(huì)導(dǎo)致兩側(cè)齒形誤差的增加。在圖10（c）中，可以看出壓力角的增大將導(dǎo)致齒形誤差減小。在圖10（d）中，可以看出增大螺旋角將導(dǎo)致齒形誤差減小。

圖10 齒形參數(shù)與齒形誤差的影響關(guān)系Fig.10 Influence Relationship Between Tooth Profile Parameters and Tooth Profile Error

如前所述，齒形是由工件參數(shù)生成的，給定齒輪齒形誤差后，銑削道次隨著齒數(shù)的增加而減少，壓力角和螺旋角也隨之減少。但對(duì)于齒模越大的齒輪，銑削道次則越多。因此，在工件參數(shù)變化的情況下，應(yīng)根據(jù)加工精度和效率的要求重新計(jì)算銑削道次。

4 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證所提出數(shù)值分析模型的合理性，在大型多軸機(jī)床上對(duì)典型人字齒輪進(jìn)行加工實(shí)驗(yàn)，如圖11所示。機(jī)床有X軸、Y軸、Z軸和U軸四個(gè)直線軸，A軸和C軸兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，可以采用通用銑刀加工各種類型和尺寸的齒輪。實(shí)驗(yàn)中銑齒的基本參數(shù)，如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter Settings of the Experiment

圖11 自由曲面銑削齒輪的通用機(jī)床Fig.11 Universal Machine Tool for Milling Gear with Free?Form Surface

由于工件是一種特殊的人字齒輪，沒(méi)有凹槽，通過(guò)傳統(tǒng)生成方法或成型方法無(wú)法完成加工，而通過(guò)自由曲面銑削方法，可在通用機(jī)床上采用標(biāo)準(zhǔn)銑刀進(jìn)行加工，立銑刀銑削齒輪自由曲面實(shí)驗(yàn)，如圖12（a）所示。

圖12 立銑刀銑削齒輪自由曲面實(shí)驗(yàn)Fig.12 Experiment on Milling Gear Free?Form Surface with End Milling Cutter

利用在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)對(duì)齒輪齒形誤差測(cè)量，從在機(jī)測(cè)量結(jié)果可以看出在自由曲面齒輪銑削中，齒形誤差與工藝參數(shù)有直接關(guān)系。在相同的銑削道次（N=10）下，齒形殘余誤差在很大程度上依賴于所給定的進(jìn)給銑刀路徑。

對(duì)于等漸開(kāi)線角度進(jìn)給策略，通過(guò)在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量得出圖12（b）中的最大誤差為0.007mm，該誤差位于齒頂上。對(duì)于等徑進(jìn)給策略，通過(guò)在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量得出的最大誤差為0.006mm，該誤差位于齒根上。對(duì)于等殘差齒形誤差進(jìn)給策略，通過(guò)在機(jī)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量圖12（c）的齒形誤差最大為0.0045mm。此外，沿齒廓方向的誤差大小基本相等，表明針對(duì)齒輪自由銑削過(guò)程中的不確定因素，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果具有較好的吻合性。此外，采用不同銑刀類型的對(duì)比試驗(yàn)表明，如果兩種銑削方法對(duì)殘余齒形誤差的要求相同時(shí)，則采用切向銑削方法的立銑刀比使用球頭銑刀的銑削效率更高。

5 結(jié)論

研究了自由銑削圓柱齒輪的齒形誤差，通過(guò)建立自由曲面銑削的數(shù)學(xué)模型，分析了銑刀類型、進(jìn)給策略、齒輪基本參數(shù)等加工參數(shù)對(duì)齒形誤差的影響。在銑刀類型的選擇上，如果給定殘余輪廓誤差，采用頂刃與齒面相切的球頭銑刀的加工時(shí)間大于側(cè)刃與齒面相切的立銑刀。在進(jìn)給策略方面，給定最大齒形誤差時(shí)，等殘余齒形誤差的進(jìn)給策略為最優(yōu)，等徑向進(jìn)給策略為最差。在齒形參數(shù)的選擇方面，可以通過(guò)增加齒數(shù)、壓力角和螺旋角來(lái)減小齒形誤差。研究結(jié)果可為自由曲面銑削加工參數(shù)的選擇提供理論依據(jù)。