函數(shù)性質(zhì)撲朔迷離 三角模型撥云見日
——談構(gòu)造三角函數(shù)模型解決抽象函數(shù)問題

唐 洵

(福建省福清第三中學(xué))

新高考以來,以抽象函數(shù)性質(zhì)為背景的問題屢見不鮮,此類問題大體上有兩種解法:一種是通過變換函數(shù)性質(zhì)的表達(dá)式配合賦值法得到相應(yīng)的結(jié)論,此方法雖為通法,但過程較為復(fù)雜,有時(shí)令人難以琢磨;另一種是根據(jù)題設(shè)的性質(zhì)條件或所給表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的三角函數(shù)模型進(jìn)行求解.那么如何選擇合適的三角函數(shù)模型?當(dāng)題目中有多個(gè)函數(shù)時(shí)應(yīng)當(dāng)如何選擇?在構(gòu)造的過程中有什么注意點(diǎn)?下面筆者結(jié)合此類問題的幾種題型進(jìn)行講解.

1.預(yù)備知識(shí),磨刀不誤砍柴工

1.1 奇偶性結(jié)論

(1)若f(ωx+φ)為奇函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(φ,0)中心對(duì)稱.

(2)若f(ωx+φ)為偶函數(shù),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=φ對(duì)稱.

1.2 對(duì)稱性結(jié)論

1.3 周期性結(jié)論

(1)若f(x+a)=f(x+b),a≠b,則f(x)為周期函數(shù),且T=|b-a|;若f(x+a)+f(x+b)=c,a≠b,則f(x)為周期函數(shù),且T=2|b-a|.

1.4 導(dǎo)函數(shù)結(jié)論

(1)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)且圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱;若函數(shù)f(x)可導(dǎo)且圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱,則其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.特別地,若偶函數(shù)可導(dǎo),則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù);若奇函數(shù)可導(dǎo),則其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).

(2)若某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),則該函數(shù)為偶函數(shù);若某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù),則該函數(shù)不一定是奇函數(shù),但其圖象一定有對(duì)稱中心.

(3)若周期函數(shù)可導(dǎo),則其導(dǎo)函數(shù)仍是周期函數(shù)(周期不變),反之不成立.

1.5 三角函數(shù)和、差與積的關(guān)系式

(1)積化和差:

(2)和差化積:

2.題型剖析,吾將上下而求索

2.1 基于單函數(shù)性質(zhì)的構(gòu)造

【例1】(2021·全國(guó)新高考Ⅱ卷·8)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+1)為奇函數(shù),則( )

C.f(2)=0 D.f(4)=0

【答案】B

【點(diǎn)睛】若題設(shè)條件給出的是f(ax+b)的奇偶性(對(duì)稱性)、周期性、特殊值等相關(guān)性質(zhì)時(shí),可以此為契機(jī),將f(ax+b)構(gòu)造成滿足題設(shè)條件的三角函數(shù);若選擇將f(x)構(gòu)造成三角函數(shù),則需先將f(ax+b)的性質(zhì)還原為f(x)的性質(zhì)后再構(gòu)造,相對(duì)復(fù)雜,非必要時(shí)不采用.

【例2】(多選)(2023廈門二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(2+x)+4x,函數(shù)f(2x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對(duì)稱,則( )

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱

B.4為f(x)的一個(gè)周期

C.f(2)=4

D.f(2 023)=-4 042

【答案】AD

【點(diǎn)睛】為了增加題目的難度,命題者有時(shí)會(huì)刻意隱藏函數(shù)的奇偶性或?qū)ΨQ性的信息,僅通過給出某個(gè)表達(dá)式讓該性質(zhì)若隱若現(xiàn),如本題中給出“f(2-x)=f(2+x)+4x”,此時(shí)需要通過認(rèn)真觀察、正確書寫、充分挖掘、適度聯(lián)想,找出奇偶性或?qū)ΨQ性后,構(gòu)造合適的三角函數(shù)模型.

2.2 基于單函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的構(gòu)造

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

【答案】BC

【例4】(多選)(2023池州二模)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R,且f(x)在R上單調(diào)遞增,記g(x)=f′(x),若f(3x-2)+f(4-3x)=f(3),g(x)+g(4-x)=4,則( )

A.f(-1)=0

B.f(f(1))>f(0)

C.g(f(-1))

【答案】ABD

【點(diǎn)睛】構(gòu)造三角函數(shù)模型研究抽象函數(shù),目的是將抽象的性質(zhì)形象化,但在多選題中,對(duì)于一些簡(jiǎn)單的選項(xiàng),可以通過直接賦值或者簡(jiǎn)單的代數(shù)變換得到,如本題中的A,B選項(xiàng),并且本題在構(gòu)造出g(x)后,由于還原為原函數(shù)的未知量較多,還需借助f(-1)=0進(jìn)行輔助,因此有時(shí)需要雙管齊下進(jìn)行解題.

2.3 基于雙函數(shù)性質(zhì)的構(gòu)造

【例5】(多選)(2023安徽模擬)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,f(x+1)-1是奇函數(shù),g(x+2)是偶函數(shù),f(x)-g(x+2)=4,g(2)=3,則( )

A.f(x)為奇函數(shù)

B.4為f(x)的一個(gè)周期

C.f(2 023)=-1

【答案】BD

【點(diǎn)睛】雙抽象函數(shù)的問題特征是兩個(gè)函數(shù)時(shí)而分離,時(shí)而聚集,如本題中“f(x+1)-1是奇函數(shù),g(x+2)是偶函數(shù),g(2)=3”體現(xiàn)了兩個(gè)函數(shù)各自的性質(zhì),而“f(x)-g(2+x)=4”體現(xiàn)了兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系,因此只要能夠確定一個(gè)函數(shù)的模型,另外一個(gè)自然迎刃而解.由于本題中g(shù)(x+2)同時(shí)出現(xiàn)在“分離”與“聚集”中,因此對(duì)g(x+2)進(jìn)行構(gòu)造.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【答案】D

【點(diǎn)睛】由于題設(shè)給出的函數(shù)性質(zhì)均涉及g(x),因此本題選擇g(x)構(gòu)造三角函數(shù).值得注意的是,在構(gòu)造的過程中,可以先由g(x)圖象的對(duì)稱性得到g(x+2)為偶函數(shù),再利用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的數(shù)據(jù),最后通過f(x)+g(2-x)=5得出f(x).

2.4 基于雙函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的構(gòu)造

【例7】(多選)(2023棗莊一模)已知函數(shù)f(x)和g(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)與g′(x)的定義域均為R,若f(x+2)-g(1-x)=2,f′(x)=g′(1+x),且g(x+1)為奇函數(shù),則( )

A.函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.函數(shù)y=g′(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱

【答案】ACD

【點(diǎn)睛】在求解本題時(shí),也可以根據(jù)g′(x+1)是偶函數(shù),構(gòu)造g′(x+1)=Acosωx+b(ω>0)進(jìn)行求解,要注意導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù),原函數(shù)未必為奇函數(shù);此外,此構(gòu)造在還原為原函數(shù)時(shí)所帶系數(shù)相對(duì)復(fù)雜一些,但也能正確解題.

【例8】(多選)(2023湖北八市3月聯(lián)考)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x) 和g′(x),若g(x)=f(2x-1)-2x,且f(x) 與g(x+1)均為偶函數(shù),則下列說法一定正確的是( )

A.f′(1)=1

B.f′(2 023)=2 023

【答案】ABD

【點(diǎn)睛】本題若直接根據(jù)f(x)與g(x+1)均為偶函數(shù)或者f′(x)與g′(x+1)均為奇函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造,容易陷入構(gòu)造誤區(qū),無法使得題設(shè)條件同時(shí)成立;此時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)題設(shè)條件先分析,再構(gòu)造;另外本題的函數(shù)并非單純的三角型函數(shù),在構(gòu)造時(shí)應(yīng)當(dāng)結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)作出分析.

2.5 基于聯(lián)想公式的構(gòu)造

A.-3 B.-2 C.0 D.1

【答案】A

【點(diǎn)睛】本題解題的難點(diǎn)在于需要通過題設(shè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)公式,進(jìn)而得到相關(guān)的三角函數(shù)后,再利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解;考慮到問題為求值,還可以使用賦值法進(jìn)行求解,具體如下:令x=1,y=0,得f(0)=2,令x=1,y=1,得f(2)=-1,令x=2,y=1,得f(3)=-2,令x=3,y=1,得f(4)=-1,令x=4,y=1,得f(5)=1,令x=5,y=1,得f(6)=2=f(0);令x=6,y=1,得f(7)=1=f(1),以此得到一個(gè)周期的值,進(jìn)而得到答案.

則( )

A.f(0)=0

B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(3+x)=-f(3-x)

【答案】ACD

3.歸納小結(jié),為有源頭活水來

【問題1】構(gòu)造三角函數(shù)模型求解問題的題目特征是什么?

【答案】當(dāng)題設(shè)條件呈現(xiàn)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性等性質(zhì),或是給出一個(gè)類似于三角函數(shù)公式的表達(dá)式時(shí),考慮構(gòu)造三角函數(shù)求解,常見的設(shè)問為求值或者研究函數(shù)的對(duì)稱性與周期性.

【問題2】如何合理地構(gòu)造三角函數(shù)模型?

【答案】若題設(shè)給出的是函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),則需在分析性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行構(gòu)造,最好能夠基于一個(gè)奇函數(shù)或者偶函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造;若題設(shè)給出的是某個(gè)三角函數(shù)的公式,需要結(jié)合公式中的三角函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造.

【問題3】在確定大致的三角函數(shù)模型后,仍然有很多未知的參數(shù),此時(shí)應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)一步得到更加精確的三角函數(shù)?

【答案】在確定大致的三角函數(shù)模型后,需進(jìn)一步根據(jù)題設(shè)中的條件,利用待定系數(shù)法得到其他的系數(shù),但并不能保證所有的系數(shù)都能被求出.

【問題4】當(dāng)題設(shè)中既有原函數(shù)又有導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?

【答案】當(dāng)二者同時(shí)出現(xiàn)時(shí),應(yīng)優(yōu)先選擇原函數(shù)構(gòu)造三角函數(shù)模型,此時(shí)要注意將導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)還原成原函數(shù)性質(zhì)時(shí)的一些易錯(cuò)點(diǎn),如導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí),原函數(shù)不一定是奇函數(shù).

【問題5】當(dāng)題設(shè)和問題比較簡(jiǎn)單時(shí),應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?

【答案】直接利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行變換處理或者直接構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.