一道離心率高考題的解法與變式研究

李 璇

(廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要性質(zhì),也是高考考查的熱點(diǎn)問題之一.解析幾何的相關(guān)題目難度大且計(jì)算繁瑣,學(xué)生對(duì)此類題目都比較害怕,難以下手,而離心率問題涉及的知識(shí)面廣、切入的角度多樣,靈活多變,也常常讓學(xué)生頭疼不已,本文通過不同的命題角度對(duì)一道離心率高考題進(jìn)行改編,并對(duì)解法進(jìn)行研究,挖掘離心率問題的解題視角和解題思路,總結(jié)離心率問題的解題方法,試圖通過該題及其變式,發(fā)散思維,使學(xué)生學(xué)會(huì)離心率的相關(guān)解題方法,在碰到離心率問題時(shí)能做到有法可依.

一、高考真題再現(xiàn)

解法一(利用余弦定理的推論)

解法二(利用對(duì)稱與勾股定理)

解法三(利用點(diǎn)坐標(biāo)與兩點(diǎn)間距離公式)

二、高考真題改編

接下來,本文將以該題為載體,將其中的部分條件改變,從不同角度進(jìn)行命題,并探究離心率問題的不同解題方法.

解法一(利用定義與余弦定理的推論)

|MF2|=3|PF2|=3b,由雙曲線的定義得|MF1|=3b-2a.

解法二(利用中位線與勾股定理)

過點(diǎn)F1作F1G⊥MF2于點(diǎn)G,∴OP∥F1G.

∵OP=a,又O為F1F2中點(diǎn),

∴|F1G|=2a,|GF2|=2b,∴|MG|=b.

又|MF1|=3b-2a,

∴在Rt△MF1G中,b2+4a2=(3b-2a)2,

解法三(利用求點(diǎn)坐標(biāo)與代入點(diǎn)坐標(biāo))

解法一(方法與變式1的解法三相同)

解法二(利用求點(diǎn)坐標(biāo)與相似比)

解析(利用定義與兩次余弦定理)

設(shè)|NF2|=t,則|MF2|=3t,由定義可得,

|NF1|=t+2a,|MF1|=3t-2a.

∴在△MF1F2中,(3t-2a)2=(3t)2+(2c)2-2·3t·2ccos∠MF2F1,

在△NF1F2中,(t+2a)2=t2+(2c)2-2·t·2ccos∠MF2F1.

∴-12at+4a2=4c2-12bt, ①

4at+4a2=4c2-4bt, ②

②-①得,16at=8bt,即2a=b,

解析(利用定義與幾何關(guān)系)

過點(diǎn)F1作F1G⊥MF2于點(diǎn)G,則G為MN的中點(diǎn).

∵|OP|=a,OP是△F1GF2的中位線,

∴|F1G|=2a,|GF2|=2b,

設(shè)|MF1|=|NF1|=t,

由定義可得|NF2|=t-2a,|MF2|=t+2a,

|MN|=|MF2|-|NF2|=4a,

則|MG|=|NG|=2a,

解法一(利用正弦定理與三角函數(shù))

又Rt△OPF2中,

∴在△MF1F2中,

解法二(利用直角三角形中的三角函數(shù)與雙曲線定義)

過點(diǎn)F1作F1G⊥MF2于點(diǎn)G,則|F1G|=2a,|GF2|=2b,

則由定義

解法一(同變式2方法)

由已知,F1Q∥OP,又O為F1F2的中點(diǎn),

解法二(利用對(duì)稱與幾何性質(zhì))

由于兩漸近線關(guān)于y軸對(duì)稱,

∴∠POF2=∠QOF1,

由∠F1QF2為直角,O為F1F2的中點(diǎn),得|OQ|=|OF2|.又P為F2Q的中點(diǎn),

解法三(利用圓與等面積法)

聯(lián)立兩方程可得Q(-a,b),

解法四(利用圓與兩點(diǎn)間距離公式)

整理得2a2+ac-c2=0,e2-e-2=0(e>1),

解得e=2.

解法一(利用定義與基本不等式)

|QF1|=2a1,|QF2|=2b1,

由橢圓定義,得2a1+2b1=2a2,∴b1=a2-a1,

解法二(利用正弦定理與三角函數(shù))

設(shè)∠QF2F1=θ,

三、方法總結(jié)

求解離心率是解析幾何中一個(gè)重要的問題,是幾何與代數(shù)相結(jié)合的一類題型,它綜合性強(qiáng),涉及面廣、知識(shí)融合巧妙、切入角度多樣,解題時(shí)有時(shí)一種方法一種策略就可以解決問題,有時(shí)則需多種方法策略融合使用.不同的解題視角、不同的解題思路,往往能得到不同的解題效果和體驗(yàn).

四、教學(xué)啟示

一題多變、一題多解可以避開題海戰(zhàn)術(shù)、打破學(xué)生思維定式,達(dá)到舉一反三、提高教學(xué)效率的效果.本文以高考真題為載體,進(jìn)行多個(gè)變式,對(duì)試題進(jìn)行有效拓展,并對(duì)不同解法進(jìn)行探究,可開拓學(xué)生求異思維,教會(huì)學(xué)生在不同中找相同,相同中找不同,讓學(xué)生在不同的問題情境中分析問題的本質(zhì),尋找解決問題的切入口.因此,在平時(shí)的教學(xué)中,應(yīng)正確運(yùn)用變式教學(xué),以點(diǎn)帶面,通過對(duì)題目進(jìn)行改編變式,拓展學(xué)生思維的深度和廣度,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力.