注重轉(zhuǎn)化思想 落地核心素養(yǎng)
——以基本不等式為例

索朗卓嘎

(拉薩那曲第一高級(jí)中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中明確了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)與課程目標(biāo),要求學(xué)生能自主、自覺(jué)地運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維進(jìn)行理性思考、邏輯推理,以解決相關(guān)問(wèn)題.若要達(dá)到該目標(biāo),需要教師采用合適的方式,循序漸進(jìn),逐步引導(dǎo)學(xué)生夯基提能、訓(xùn)練思維、開(kāi)拓視野、學(xué)以致用.

在筆者看來(lái),高考改革進(jìn)程中,教師要把重心放在新教材的變化、知識(shí)模塊的變動(dòng)、新高考考法與側(cè)重、課堂授課方式等,認(rèn)真鉆研、探究,提煉出一套適合學(xué)生的學(xué)習(xí)方法,在教學(xué)中高效落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與四基四能.

“基本不等式”是高中新教材人教A版必修第一冊(cè)第二章的內(nèi)容,與舊教材相比,放到了較靠前的位置,將其作為備用內(nèi)容,為后面其他模塊的求解作基石,即可以與大多數(shù)模塊綜合命制試題或作為求解工具.可見(jiàn)基本不等式的重要性不言而喻.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境發(fā)現(xiàn)、探索“重要不等式”“不等式鏈”是不可忽視的一個(gè)內(nèi)容,讓學(xué)生不僅知其然,還要知其所以然,這樣,才有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)據(jù)分析能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.另外,基本不等式也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)之一.在高考中一般是直接考查或者與其他知識(shí)模塊綜合考查,主要命題角度為比較大小、求最值、求范圍等,在各題型中都可能出現(xiàn),主要考查靈活轉(zhuǎn)化能力.

因此,筆者以“基本不等式”為例,基于常見(jiàn)、常用的基本不等式基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于各類題型,學(xué)會(huì)如何思考、如何變形、如何破題、舉一反三,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

一、知識(shí)儲(chǔ)備

1.定義

2.使用條件

使用基本不等式需要滿足條件“一正、二定、三相等”.

一正:各項(xiàng)必須為正數(shù);二定:積或和必須為定值;三相等:等號(hào)成立的條件能否取到.

3.基礎(chǔ)不等式

(4)①一般地,當(dāng)a,b∈R時(shí),有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立．

當(dāng)a,b∈R時(shí),

4.不等式鏈

這個(gè)不等式鏈揭示了兩正數(shù)倒數(shù)和、積、和、平方和之間的不等關(guān)系,當(dāng)某一部分為定值時(shí),其余三部分都能取到最值,且都在兩數(shù)相等時(shí)取等號(hào),利用這個(gè)不等式鏈往往可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

二、題型與策略

以經(jīng)典、啟發(fā)性試題引入,通過(guò)觀察、分析,提高對(duì)已知式或所求式的變形能力,利用“和定積最大”“積定和最小”求最值,鍛煉構(gòu)造、建模思維,滲透數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

提高觀察、變形能力的途徑主要是:教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生,使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)形成梯級(jí),一般知識(shí)、主要知識(shí)、關(guān)鍵知識(shí),使之形成一個(gè)有層次的有機(jī)融合體.這樣,學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí),觀察有方向、分析有重點(diǎn)、知識(shí)用得上、方法有效力.一些有啟發(fā)性的練習(xí)有助與將學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)整理成梯級(jí).

1.和式的最小值

需注意以下三點(diǎn):

(1)優(yōu)先確定兩個(gè)式子的正負(fù);

(2)乘積是否為定值,若不是定值,則能否變形湊成積為定值;

(3)等號(hào)是否能取到要驗(yàn)證.

思路:若要出現(xiàn)積為定值,只需將a變成a+5-5.

注意:本題求出的a值有2個(gè),要根據(jù)a的范圍刪除一個(gè).

注意:(1)變形后,兩個(gè)式子都是負(fù)數(shù),此時(shí)不等號(hào)的方向是“≤”;

(2)本題求出的a值有2個(gè),要根據(jù)a的范圍刪除一個(gè).

思路:見(jiàn)和想積.若要出現(xiàn)積為定值,只需將2a變成2(a+5)-10.

注意:本題求出的a值有2個(gè),要根據(jù)a的范圍刪除一個(gè).

2.積式的最大值

【例1】(對(duì)和式采用基本不等式)

思路:本題“和”已經(jīng)為定值,可直接利用基本不等式求“積”的最值.

【例2】(對(duì)積式采用基本不等式)

已知f(x)=6x(6-3x)(0

思路:觀察到3x+6-3x為定值,故對(duì)原解析式進(jìn)行等價(jià)變形f(x)=6x(6-3x)=2·3x(6-3x).

【評(píng)析】正確的觀察是解決問(wèn)題的第一步,例2注意到“6x=2·3x,3x與6-3x和為定值”是關(guān)鍵信息,由此入手解決問(wèn)題.觀察與分析為伴才能保證正確.通過(guò)有啟發(fā)性的練習(xí)鍛煉觀察能力也就是鍛煉了分析能力.

3.根式的最值

“遇根式,先平方”,屢試不爽,求與根式有關(guān)的最值問(wèn)題,也是如此,平方后,再變形、配湊.從示例、現(xiàn)象中找規(guī)律,這就是歸納,是學(xué)生需掌握的基本能力之一.

4.分式的最值

求解分式型的最值,一般先用消元法或整體法等方式處理,再同除以分子或分母,利用基本不等式求解.

轉(zhuǎn)化技巧1:令ax2+bx+c=m(dx+e)2+n(dx+e)+p,建立關(guān)于m,n,p的方程組,求解m,n,p.

思路1:整體法.以“x+1”為整體進(jìn)行變形,設(shè)x2+3x-18=(x+2)2+m(x+2)+n.列出關(guān)于m,n的方程組,求解,然后分子、分母同除以“x+2”,利用基本不等式求解.

思路2:整體法.分子x2+3x-18=(x+6)(x-3)=(x+2+4)(x+2-5),將“x+2”看成一個(gè)整體,展開(kāi),分子、分母同除以“x+2”,利用基本不等式求解.

5.“1”的妙用

當(dāng)已知條件中,代數(shù)式的值為1時(shí),常常將所求代數(shù)式乘“1”、除以“1”或?qū)⑺蟠鷶?shù)式中的常數(shù)“1”用等于“1”的式子代替.

錯(cuò)因:連續(xù)使用基本不等式時(shí),忽視了等號(hào)成立的條件一致性.

警示:連續(xù)多次(2次及以上)使用基本不等式時(shí),應(yīng)注意保證等號(hào)成立的條件是相同的.

思考:將2x+4y=1,換成2x+4y=10,又該如何做呢?

思路:以“所求代數(shù)式的分母”為目標(biāo),進(jìn)行變形.將x+y=6變形為x+3+y+6=15,將“x+3”“y+6”看成整體,與所求式相乘,最后利用基本不等式求解.

思路:以“所求代數(shù)式的分母”為目標(biāo)進(jìn)行變形,將4x+5y=1變形得4(x+y)+y+2=3,然后將“x+y”“y+2”看成整體,與所求式相乘,最后利用基本不等式求解.

6.不等式恒成立問(wèn)題

恒成立或有解問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住最值,通常有以下兩種解題策略:

(1)不用參變分離.

如果參數(shù)不影響最值的求解,則不用分離參數(shù),直接求最值即可.

①對(duì)任意的x∈D,f(m,x)≥0恒成立,則滿足f(m,x)min≥0即可;

對(duì)任意的x∈D,f(m,x)≥0有解,則滿足f(m,x)max≥0即可;

②對(duì)任意的x∈D,f(m,x)≤0恒成立,則滿足f(m,x)max≤0即可;

對(duì)任意的x∈D,f(m,x)≤0有解,則滿足f(m,x)min≤0即可.

(2)需要參變分離.

將參數(shù)從不等式中分離出來(lái),使不等式的一端是含有參數(shù)的代數(shù)式,另一端是一個(gè)具體的函數(shù),這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端含參數(shù)的不等式的形式,便于問(wèn)題的解決.

①對(duì)任意的x∈D,f(x)≥g(a)恒成立,則滿足f(x)min≥g(a)即可;

對(duì)任意的x∈D,f(x)≥g(a)有解,則滿足f(x)max≥g(a)即可;

②對(duì)任意的x∈D,f(x)≤g(a)恒成立,則滿足f(x)max≤g(a)即可;

對(duì)任意的x∈D,f(x)≤g(a)有解,則滿足f(x)min≤g(a)即可.

思路:不用分離參數(shù),直接求左邊式子的最小值,然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)a的不等式.

【例2】對(duì)于任意m,n∈(0,+∞),都有5m2-amn+4n2≥0,求實(shí)數(shù)a的最大值.

7.基本不等式的多次使用

在求最值的過(guò)程中,有的題型適合采用多次基本不等式求最值,易錯(cuò)點(diǎn)在于一定要驗(yàn)算取等,如果各個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)成立,最終的不等式一定不能取等.可以這么理解:只有a≥b,b≥c的等號(hào)都取得到的前提下,才有a≥c,否則只能說(shuō)a>c.

【講評(píng)】利用基本不等式求解最值問(wèn)題,不論題目有沒(méi)有問(wèn)何時(shí)取“=”,都一定要注意該不等式能否取“=”,這就是關(guān)鍵知識(shí),即解題學(xué)中的“關(guān)鍵點(diǎn)”.若有多處取“=”,還應(yīng)觀察其能否同時(shí)取“=”.

三、研究教學(xué)策略 落實(shí)素養(yǎng)教學(xué)

基本不等式幾乎貫穿于所有模塊中,是求最值的一大利器,每年高考都有對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查,掌握其?？碱}型、解法是關(guān)鍵,難點(diǎn)是式子的變形.遇到問(wèn)題,先仔細(xì)觀察式子與已知式子之間的關(guān)系,找到變形的切入點(diǎn).

數(shù)學(xué)教學(xué)的重心應(yīng)是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、建模思維,學(xué)以致用,這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的真正核心所在.如本篇所講“基本不等式”,將常見(jiàn)題型歸類,引導(dǎo)學(xué)生向目標(biāo)方向去變形,明晰哪一類試題該用哪種方式去切入.在教學(xué)過(guò)程中,以學(xué)生的學(xué)為出發(fā)點(diǎn),以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的,設(shè)置課堂教學(xué)與實(shí)踐.

科學(xué)、合理的課程設(shè)計(jì)是高效教學(xué)的基礎(chǔ),也是核心.在新課標(biāo)中,“基本不等式”一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)、探索并證明基本不等式,探究其幾何背景,掌握用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題的基本方法.通過(guò)這一節(jié)的教學(xué),激發(fā)學(xué)生的探究精神和認(rèn)真學(xué)習(xí)的態(tài)度,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想,落實(shí)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教師需要從情境出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析探究、交流學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)和證明基本不等式,并給出其幾何解釋.通過(guò)對(duì)典型例題的分析,讓學(xué)生理解基本不等式成立的條件,能用基本不等式解決常見(jiàn)的“最值問(wèn)題”,抓住本質(zhì),突破“基本不等式成立的條件以及構(gòu)造幾何圖形驗(yàn)證基本不等式”等教學(xué)難點(diǎn).