運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 優(yōu)解函數(shù)小題

何紅燕

(甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)理第16題是一道考查函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的壓軸小題,這道題入手容易,深入難,因?yàn)樗瑫r(shí)考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,深度考查推理論證能力.本文應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等方法破解它,以饗讀者.

【試題】(2022·全國(guó)乙卷(理)·16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

【分析】本題外表簡(jiǎn)練樸素,表面考查函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)等知識(shí),但內(nèi)涵豐富,實(shí)際考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想,試題難度較高,數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查突出,對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維水平和推理論證能力都有很高的要求,突出創(chuàng)新性和選拔性,起到很好的區(qū)分作用.

【優(yōu)解1】f′(x)=2axlna-2ex.

因?yàn)閤1,x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),且x1

所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增,即當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)>0,作出函數(shù)f(x)和f′(x)的大致圖象如圖1與圖2所示.

圖1

圖2

(1)若a>1,當(dāng)x<0時(shí),2axlna>0,2ex<0,則此時(shí)f′(x)>0,這與前面矛盾,故a>1不符合題意;

(2)若0

因?yàn)?

圖3

設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與函數(shù)y=axlna的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(x0,ax0lna),

因?yàn)楹瘮?shù)y=axlna與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

【評(píng)注】由方程axlna=ex的兩個(gè)根為x1,x2,等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=axlna與函數(shù)y=ex的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,運(yùn)用了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想,再根據(jù)圖象,數(shù)形結(jié)合得不等式,解得取值范圍,其中數(shù)形結(jié)合是優(yōu)化解題的開始,它就像杠桿,撬出了問題的實(shí)質(zhì).數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué),在具體的數(shù)學(xué)題中,利用數(shù)形結(jié)合思想解題,將困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題,會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

【優(yōu)解2】f′(x)=2axlna-2ex至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)x1和x2,令g(x)=2axlna-2ex,則g′(x)=2ax(lna)2-2e.

(1)若a>1,則g′(x)在R上單調(diào)遞增,此時(shí)若存在x0∈R,使得g′(x0)=0,則f′(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,若f′(x0)<0,此時(shí)有x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>1)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),g′(x),f′(x),f(x)的大致圖象如圖4、圖5、圖6所示,不符合題意.

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

【評(píng)注】(1)含有指對(duì)函數(shù)、三角函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的方程稱為超越方程,一般情況下,高考中函數(shù)解答題中f′(x)=0(或g′(x)=0,g′(x)為函數(shù)f′(x)的導(dǎo)函數(shù))是超越方程,高中階段是無法解出超越方程的,此時(shí),我們常用的策略有兩種:

①二次求導(dǎo),即對(duì)函數(shù)f′(x)再次求導(dǎo),函數(shù)f′(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著f′(x)的增減性,進(jìn)而得出f′(x)的正負(fù)情況,最終確定f(x)的增減情況.

②設(shè)而不求,即先分析導(dǎo)函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù))的單調(diào)性,判斷它是否存在零點(diǎn),若存在,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而設(shè)出零點(diǎn),對(duì)問題進(jìn)行求解;這里設(shè)而不求f′(x)=0與g′(x)=0的根,判斷出導(dǎo)數(shù)正負(fù)的情況,解決函數(shù)f(x)的單調(diào)性問題.

(2)數(shù)形結(jié)合有益于解題的順利進(jìn)行,能畫草圖的地方盡量畫草圖,這里參數(shù)a的值不確定,只需要取滿足條件的特殊值即可,并不影響結(jié)果,a的值越簡(jiǎn)單方便越有利于解題,往往這樣做能起到推動(dòng)解題、簡(jiǎn)化解題的良好效果.

【優(yōu)解3】f′(x)=2axlna-2ex(a>0且a≠1),

因?yàn)閤1和x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),

圖10

(2)當(dāng)a>1時(shí),若函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則函數(shù)的圖象如圖11所示,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,x1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增,則x1為極大值點(diǎn),x2為極小值點(diǎn),這與題意不符.

圖11

【優(yōu)解4】f′(x)=2axlna-2ex,

x(-∞,0)0,1lna 1lna1lna,+∞ y'--0+y↘↘elna↗

圖12

x-∞,1lna 1lna1lna,0 (0,+∞)y'+0--y↗elna↘↘

圖13

(ⅱ)注意邏輯思維的嚴(yán)密性與完整性,二者缺一不可,如上面證明當(dāng)a>1時(shí),與題意不符的情形.

【優(yōu)解5】因?yàn)閒′(x)=2axlna-2ex,

因?yàn)閍x=elnax=exlna,

t(-∞,0)(0,1)1(1,+∞)φ'(t)--0+φ(t)↘↘e↗

這道題凝聚著命題專家們的心血與智慧,蘊(yùn)含著豐富的理性精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.大多數(shù)考生看不清問題的本質(zhì),想不到解決問題的辦法.它起點(diǎn)低、入手難,但更難在與題目的等價(jià)轉(zhuǎn)換、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法上.因此,考生解函數(shù)題的首要任務(wù)是提煉與運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法,所以平時(shí)需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,到考試時(shí),才能如魚得水、得心應(yīng)手.另一方面,此題著重考查思維能力與邏輯推理能力,綜合考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平,暗里強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的本質(zhì)不是把籃子裝滿,而是如何把燈點(diǎn)亮.

此文為甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“問題串”引導(dǎo)教學(xué)的策略研究》課題(課題批準(zhǔn)號(hào)GS【2019】GHB0921)階段性成果之一.