深度學(xué)習(xí)視域下問題設(shè)計(jì)的“高階優(yōu)化”
——以《函數(shù)與方程》復(fù)習(xí)課為例

林迪迪 陳 敏

(浙江省溫州市永嘉縣羅浮中學(xué))

以《函數(shù)與方程》復(fù)習(xí)課為例,進(jìn)行深度學(xué)習(xí)視域下的高三單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐.首先從低起點(diǎn)的問題引入,帶領(lǐng)學(xué)生回顧知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程,系統(tǒng)化地構(gòu)建聯(lián)系,然后再進(jìn)行螺旋式的變式拓展,幫助學(xué)生深化理解核心知識(shí)的本質(zhì)以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí),發(fā)展理性思維水平,最后通過多維度的探究提煉發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.問題引領(lǐng),深度體驗(yàn)

在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置低起點(diǎn)的典型問題引出課題,能引起學(xué)生的共鳴,它是教學(xué)的起點(diǎn),也是思維的增長點(diǎn),能保證教學(xué)過程由淺入深、由表及里、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由單一到綜合、由低到高、循序漸進(jìn)得開展、促使深度學(xué)習(xí).

【引例】函數(shù)f(x)=ex-2的零點(diǎn)為________.

生1:ln2.

師:你是如何求得的?

生1:解方程ex=2.

師:厲害!那這道填空題的答案是?

生1:(ln2,0).

其他學(xué)生補(bǔ)充:零點(diǎn)是個(gè)數(shù),不是個(gè)點(diǎn),不能寫坐標(biāo),應(yīng)該是ln2.

師:謝謝你們的解釋!這就是我們今天要復(fù)習(xí)的內(nèi)容:函數(shù)與方程.

師生共同知識(shí)總結(jié)并板書:

零點(diǎn)的定義:________________.

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)?________(函數(shù)與方程思想)?________(數(shù)形結(jié)合思想).

【設(shè)計(jì)意圖】通過引例設(shè)計(jì),復(fù)習(xí)了函數(shù)零點(diǎn)的定義,從數(shù)的角度和形的角度重新認(rèn)識(shí)函數(shù)零點(diǎn).通過創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境,喚醒學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu),從數(shù)和形的角度認(rèn)識(shí)和感受函數(shù)零點(diǎn)、方程的根.

2.螺旋變式,系統(tǒng)構(gòu)建

深度學(xué)習(xí)的載體和原動(dòng)力在于問題的廣度、梯度、深度,通過問題變式和方法變式引領(lǐng)學(xué)生探究,促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的遷徙,促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從低階逐步跨越到高階,驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)的順利開展.

片段1:合作探究,發(fā)現(xiàn)方法

【變式1】判斷方程ex-2+x=0的根的個(gè)數(shù)?并證明你的結(jié)論.

教師給出問題,學(xué)生小組合作討論,小組匯報(bào)討論結(jié)果.

生2:從形的角度直觀判斷.ex-2+x=0的根的個(gè)數(shù)?方程ex=2-x的根的個(gè)數(shù)?兩個(gè)函數(shù)f(x)=ex,g(x)=2-x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).將方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),非常直觀的判斷方程ex-2+x=0有唯一的根.

師:非常棒!一目了然,一幅圖解決了問題.抽象的數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為直觀的形的問題!

生3:令f(x)=ex,則f(x)在R上單調(diào)遞增.

令g(x)=2-x,則g(x)在R上單調(diào)遞減.

∵f(0)=1g(1)=1.

∴f(x)與g(x)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn),即ex-2+x=0有唯一的根.

師:感謝你!非常不錯(cuò)的想法!但是,這樣的想法似乎還缺了點(diǎn),誰還有補(bǔ)充?

(學(xué)生情緒高漲,都在積極思考更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?

生4:從數(shù)的角度嚴(yán)格證明.

令f(x)=ex-2+x,

∴f(x)在R上單調(diào)遞增.

又f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,

∴f(0)·f(1)<0.

由零點(diǎn)存在定理可知f(x)在R上存在唯一的零點(diǎn),證畢.

師:謝謝你帶我們進(jìn)入嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)世界.方程的根的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),然后利用零點(diǎn)存在定理從數(shù)的角度嚴(yán)格證明了.非常棒!

師生共同知識(shí)總結(jié):

零點(diǎn)存在定理:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象________,且________,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上________.

【設(shè)計(jì)意圖】通過變式,加深對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的認(rèn)識(shí),從數(shù)的角度和形的角度來理解函數(shù)零點(diǎn),以及函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換.

片段2:層層遞進(jìn),總結(jié)方法

【變式2】求函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)?并說明理由.

教師給出問題,學(xué)生小組合作討論,小組匯報(bào)討論結(jié)果.

生5:a的幾何意義為過原點(diǎn)的直線的斜率.

解得x0=1(k為相切時(shí),切線的斜率),

∴切點(diǎn)為(1,e),k=e,

由圖可知(圖略):

當(dāng)a>e時(shí),有2個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)a=e,a<0時(shí),有1個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)0≤a

師:厲害,這一小組借助于形,加以數(shù)的角度,數(shù)形結(jié)合判斷出交點(diǎn)個(gè)數(shù).突破口——發(fā)現(xiàn)參數(shù)a的幾何意義為直線的斜率,反應(yīng)在形的角度為直線的傾斜程度.那還有其他思考的角度嗎?

∴h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0),(0,1)上單調(diào)遞減.

根據(jù)圖象及前面的分析,可得:

當(dāng)a>e時(shí),有2個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)a=e,a<0時(shí),有1個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)0≤a

師:又是全新的視角,突破口為分離參數(shù)a,然后再借助于形的角度解決問題!非常棒,謝謝你的分享!

生7:令h(x)=ex-ax,h′(x)=ex-a,

①當(dāng)a<0時(shí),h′(x)>0,則h(x)單調(diào)遞增,

∴h(x)在R上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)a=0時(shí),沒有零點(diǎn).

③當(dāng)a>0時(shí),令h′(x)=ex-a>0?x>lna,

∴h(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,

∴h(x)min=h(lna)=elna-alna=a(1-lna).

當(dāng)00,∴h(x)無零點(diǎn).

當(dāng)a=e時(shí),h(x)min=0,∴h(x)有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>e時(shí),h(0)=1>0,h(x)min=h(lna)<0,h(a)=ea-a2>0.

∴h(x)在(-∞,lna)上有1個(gè)零點(diǎn),在(lna,+∞)上有1個(gè)零點(diǎn),即h(x)在R上有2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)a>e時(shí),有2個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a=e,a<0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)0≤a

師:通過構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理對(duì)零點(diǎn)情況給予說明.邏輯思維非常的嚴(yán)謹(jǐn).感謝你!

師:我們剛剛通過三種方法來解決這一問題,我們來總結(jié)反思每一種方法.切線法在于找出直線和曲線相切時(shí)的特殊情況為出發(fā)點(diǎn),但僅僅適用于凹凸性不變的函數(shù),而且在解答題很難描述清楚,更適用于選擇和填空題.參數(shù)分離的優(yōu)點(diǎn)在于避免對(duì)參數(shù)的討論,但是會(huì)出現(xiàn)分參困難,或者不含參部分難求極值.直接討論,要對(duì)參數(shù)進(jìn)行細(xì)致合理的分類,這對(duì)學(xué)生的能力提出了更高的要求.

【設(shè)計(jì)意圖】通過變式2的鋪墊,使學(xué)生儲(chǔ)備了足夠的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),學(xué)生自己不斷嘗試,探索不同的方法,不僅提升了自豪感,而且更加深刻認(rèn)識(shí)了對(duì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)零點(diǎn)問題.通過這兩道題目,求解思路更寬廣,能夠整合知識(shí),梳理方法,提升能力,發(fā)展核心素養(yǎng).

3.多維探究,思維進(jìn)階

通過上述2個(gè)變式的螺旋式探究,學(xué)生基本掌握了零點(diǎn)問題的一般求解思路和解答程序,筆者又設(shè)置了一道變式,讓學(xué)生從不同維度探究求解策略,提煉方法,培育理性思維,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【變式3】已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=ex-ax2-a2,

(Ⅰ)當(dāng)0

教師給出問題,學(xué)生小組合作討論,小組匯報(bào)討論結(jié)果.

生8:

(Ⅰ)f′(x)=ex-2ax,令q(x)=f′(x),則q′(x)=ex-2a,

令q′(x)>0?x>ln2a,

所以f′(x)在(ln2a,+∞)上單調(diào)遞增,

在(-∞,ln2a)上單調(diào)遞減.

∴[f′(x)]min=f′(ln2a)=eln2a-2aln2a=2a(1-ln2a)>0,

∴f′(x)恒為正.

∴f(x)在R上單調(diào)遞增.

又f(0)=1-a2>0,f(lna2)=-a(2lna)2<0,

∴f(0)·f(lna2)<0.

由零點(diǎn)存在定理可知,f(x)在R上有唯一的零點(diǎn).

師:非常厲害!完美詮釋了數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)!

生9:(Ⅱ)解法1:

令g(a)=-a2-x2a+ex,

(3)式顯然成立.

下面先證(1)式.

∴h′(x)在R上單調(diào)遞增.

同理可證(2)式成立.

解法2:

先證(1)式.

由切線不等式ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),可得

下證(2)式:

由切線不等式ex≥x+1可得

師:今天主要講解函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題.由于時(shí)間關(guān)系,這道題留給同學(xué)們自己課后思考,還可以從其他哪些角度思考.

以上問題,學(xué)生主動(dòng)探究,自主構(gòu)建,互動(dòng)交流,課堂十分活躍,同學(xué)們收獲滿滿,教學(xué)效果令人滿意.

4.教學(xué)反思及感悟

基于核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí),不同于傳統(tǒng)的被動(dòng)接受,在課堂教學(xué)過程中以問題為載體,以自主探究和高階思維為學(xué)習(xí)與解決問題的基本手段,獲得對(duì)知識(shí)方法、思維方式的深度理解與建構(gòu).既是一種指向核心素養(yǎng)、利于核心素養(yǎng)生成的學(xué)習(xí),也是一種追求知識(shí)的“質(zhì)”勝過追求知識(shí)的“量”的學(xué)習(xí).

4.1 數(shù)學(xué)課堂應(yīng)給足學(xué)生“悟”的時(shí)間——深層體驗(yàn)

本節(jié)課采用學(xué)生小組討論、小組匯報(bào)的形式進(jìn)行,課堂是在學(xué)生的思維活動(dòng)中構(gòu)建的.在教學(xué)過程中要充分相信學(xué)生,讓學(xué)生全面、深入地參與教學(xué)過程.學(xué)之道在于“悟”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本身就需要有悟的過程,悟的過程就是一個(gè)自我思考、自我反思、自我總結(jié)的過程.通過小組討論中思維的碰撞、以及自我反思總結(jié),對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、規(guī)律進(jìn)行思考和做出判斷,不斷地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).讓核心素養(yǎng)滲透到每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,流淌于各個(gè)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間.在學(xué)生深層體驗(yàn)中親歷解題過程,感悟解題思想方法,內(nèi)化知識(shí),構(gòu)建自身知識(shí)體系,發(fā)展核心素養(yǎng).

4.2 數(shù)學(xué)課堂恰當(dāng)選擇“最近發(fā)展區(qū)”——深入探究

維果斯基提出“最近發(fā)展區(qū)”理論,教師的職責(zé)在于引導(dǎo)、幫助學(xué)生從已有的水平發(fā)展到他可能達(dá)到的水平.在實(shí)際課堂上,如何尋覓學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”?如何選擇最佳的“教學(xué)最佳區(qū)”?“最近發(fā)展區(qū)”可能是知識(shí)型、方法型、能力型,還是可以是素養(yǎng)型,因此在課堂教學(xué)過程中,應(yīng)當(dāng)綜合考量、具體分析,辯證思考,從中選擇最適合學(xué)生的最佳“最近發(fā)展區(qū)”實(shí)施教學(xué).比如在變式2的教學(xué)中,學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中已經(jīng)非常熟悉此類問題,積累了多種教學(xué)方法,直接討論法最易想到,但是參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響,需要學(xué)生對(duì)此進(jìn)行細(xì)致的分類討論.教師需要在學(xué)生的原有基礎(chǔ)上,進(jìn)行有方向的引導(dǎo)教學(xué).

4.3 強(qiáng)化思考交流,培養(yǎng)高階思維——深化思考

問題和變式在教學(xué)過程中起到很好的驅(qū)動(dòng)作用,教師引導(dǎo)學(xué)生剖析問題本質(zhì),從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的方法本質(zhì),總結(jié)通性通法,然后再從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律,體現(xiàn)知識(shí)的遷移,為學(xué)生搭建解決問題的臺(tái)階.深度視域下的復(fù)習(xí)課還要以拓展和延伸為突破口,變換不同的問題情境,促進(jìn)學(xué)生多維度深度思考,最終實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)體系和思想方法的感悟和內(nèi)化,培養(yǎng)學(xué)生的高階思維,提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

我們應(yīng)該關(guān)注每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),從每一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)做起,立足每一個(gè)知識(shí)、方法,進(jìn)行深度教學(xué),讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),那么學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展就不是一句空話,就能夠在課堂教學(xué)過程中落地生根、開花結(jié)果,促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展.