函數(shù)圖象的應(yīng)用舉例

陳曉明

(安徽省寧國中學(xué))

函數(shù)圖象的應(yīng)用很廣泛,利用函數(shù)圖象可研究函數(shù)的性質(zhì)、解決方程和不等式的求解問題、求參數(shù)范圍等,同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.有時利用函數(shù)圖象能夠更便捷地解決問題.函數(shù)圖象應(yīng)用的考查在高考中占有重要地位,應(yīng)引起師生重視.

【解析】如圖1所示,函數(shù)f(x)的圖象由三部分組成(特別要注意中間部分圖象是一個“點(diǎn)”,坐標(biāo)為(0,0)).因為函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),所以整個函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.當(dāng)c=0時,方程有三個不同的實數(shù)解,當(dāng)c≠0時,方程有兩個不同的實數(shù)解.

圖1

【設(shè)計意圖】利用翻折變換畫出函數(shù)的大致圖象,利用函數(shù)圖象解決方程中解的個數(shù)問題:所求方程f(x)=c解的個數(shù),即函數(shù)y=f(x)與y=c圖象交點(diǎn)的個數(shù).

【解析】如圖2所示,函數(shù)f(x)的圖象由三部分組成(特別要注意中間部分圖象是一個“點(diǎn)”,坐標(biāo)為(1,0)),整個函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱.答案與例1相同,即當(dāng)c=0時,方程有三個不同的實數(shù)解,當(dāng)c≠0時,方程有兩個不同的實數(shù)解.

圖2

【設(shè)計意圖】利用平移變換得到函數(shù)圖象,同時將問題由簡單變得稍有復(fù)雜,讓學(xué)生學(xué)會將問題拓展延伸.

【解析】如圖3所示,函數(shù)f(x)的圖象同樣由三部分組成(特別要注意中間部分圖象是一個“點(diǎn)”,坐標(biāo)為(1,0)),整個函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱,只不過形狀有所變化,因此引起答案變化:當(dāng)c<0時,方程沒有實數(shù)解;當(dāng)c=0時,方程有三個不同的實數(shù)解,當(dāng)c>0時,方程有四個不同的實數(shù)解.

圖3

【設(shè)計意圖】再次利用翻折變換得到函數(shù)圖象,問題逐步變得復(fù)雜,充分顯示圖象魅力,提升學(xué)生變式能力,體會數(shù)形結(jié)合的思想,滲透了分類討論的思想.

【解析】由f2(x)-f(x)=0得f(x)=1或f(x)=0,如圖3所示,方程f(x)=1有4個解,方程f(x)=0有3個解,所以原方程有7個不同的實數(shù)解.

【設(shè)計意圖】此變式讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法,前面是對條件(函數(shù)解析式)變式,這里是對求解問題進(jìn)行變式,充分利用函數(shù)圖象解決問題.讓學(xué)生學(xué)會探究數(shù)學(xué)問題的方法,能對一個問題進(jìn)行舉一反三,觸類旁通的研究,避免搞題海戰(zhàn)術(shù),提升解題能力,減輕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)!

A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0

【解析】如圖3所示,只要方程f2(x)+bf(x)+c=0中能解出f(x)的兩個值,其中一個值等于0(可得c=0),另一個值大于0(f2(x)+bf(x)=0可得b=-f(x)<0),故選C.

【設(shè)計意圖】此解析使用了換元法的思想,得出方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數(shù)解的充要條件是關(guān)于t的二次方程t2+bt+c=0有兩個不等的實根,其中一根為0(可得c=0),另一根為正數(shù)(t2+bt=0,可得b=-t<0).這樣就自然地將復(fù)雜問題化為我們熟悉的簡單問題.另外,變式3是變式4的特例(b=-1,c=0),通過對這一特例的研究悟出變式4的求解方法,自然滲透換元法、由特殊到一般的思想方法.這樣處理,突出了變式4的本質(zhì),其解答也就水到渠成.同時又讓不同層次的學(xué)生都能得到相應(yīng)發(fā)展,充分體現(xiàn)了以學(xué)生為本的人文精神.

【例2】已知函數(shù)f(x)=|3x-2|-|2x-3|,若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2+a恰有3個整數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.

圖4

【變式1】若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2+a恰沒有整數(shù)解,其余條件不變,情況怎樣?

【變式2】若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2+a恰有1個整數(shù)解,其余條件不變,情況怎樣?

【變式3】若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2+a恰有4個整數(shù)解,其余條件不變,情況怎樣?

【變式4】若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2+a恰有5個整數(shù)解,其余條件不變,情況怎樣?

(提示:如圖4所示,變式1:2a2+a≤-1;變式2:-1<2a2+a≤0;變式3:1<2a2+a≤2;變式4:2<2a2+a≤3)

【設(shè)計意圖】“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生對數(shù)形結(jié)合思想的精辟論述.上述變式題通過函數(shù)圖象一目了然,否則很難說清楚.因此,本例及其變式讓學(xué)生進(jìn)一步體會利用函數(shù)圖象解決問題的優(yōu)越性.另外,我們可繼續(xù)通過計算函數(shù)值,進(jìn)一步增大整數(shù)解的個數(shù),但因為f(-4)=f(2)=3,如圖4所示,所以接下來可能有7個整數(shù)解,而沒有6個整數(shù)解的可能.

圖5

【解析】如圖5所示,當(dāng)m=0或者m=1時,關(guān)于x的方程f(x)=m(m∈R)有三個不同的實數(shù)解x1,x2,x3.當(dāng)m=0時,三個實數(shù)解分別為-2,0,1,所以x1x2x3=0.當(dāng)m=1時,三個實數(shù)解分別為-1,x2,x3,且x2x3=1,所以x1x2x3=-1.因此,本題正確答案為0或-1.

【設(shè)計意圖】通過變式,進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)學(xué)生對問題舉一反三、觸類旁通的能力,增強(qiáng)學(xué)生對知識完整性的認(rèn)知,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

圖6

【設(shè)計意圖】本題是一道關(guān)于復(fù)合函數(shù)的題目,熟練掌握函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.對于一般的復(fù)合函數(shù)(嵌套函數(shù))“y=g(f(x))”的零點(diǎn)問題,其解題步驟是:(1)換元解套,令t=f(x),則y=g(t),從而將一個復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題拆解為兩個相對簡單的函數(shù)t=f(x)和y=g(t)的零點(diǎn)問題.(2)依次解方程,令g(t)=0解出t的值,然后代入t=f(x)中解出x的值.而由含參嵌套函數(shù)方程引起的參數(shù)范圍問題,在上述解題要訣的基礎(chǔ)上,讓含參的值動起來,動靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、抓臨界位置進(jìn)行求解.

結(jié)束語

問題,是驅(qū)動學(xué)生思維的源泉!在數(shù)學(xué)教學(xué)中,好的問題,可以啟動學(xué)生的思維、形成有效的數(shù)學(xué)探究活動.因此,例1設(shè)置了具有一定梯度,同時又能啟迪學(xué)生思維,層層遞進(jìn),發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的問題串,讓學(xué)生充分思考,積極探究!其他三道例題同樣對問題進(jìn)行了變式探究,加強(qiáng)知識的整體性,將知識網(wǎng)絡(luò)化,增強(qiáng)知識的系統(tǒng)性,便于學(xué)生掌握一類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

解題,需要研究.通過解題研究挖掘題目背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想,透過現(xiàn)象認(rèn)識本質(zhì).解題研究既是高中數(shù)學(xué)教師必備素養(yǎng)與能力,也是教學(xué)研究的重要組成部分.解題研究的最終目的是為了學(xué)生的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生走出題海,提高效率,減輕學(xué)生負(fù)擔(dān).