源于教材 挖掘應(yīng)用
——三次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用探究

歐陽(yáng)才學(xué)

(湖南省長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué))

高中階段,數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)一些與三次方程或三次函數(shù)有關(guān)的試題,求解“三次”問(wèn)題的基本思路是“降次”,即通過(guò)配方、因式分解或換元等方法將“三次”降為“二次”,但解答過(guò)程往往比較繁瑣.而對(duì)于許多“三次”問(wèn)題而言,運(yùn)用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答,可簡(jiǎn)化計(jì)算.其實(shí),三次方程根與系數(shù)的關(guān)系源于新教材的“閱讀與思考”欄目,重視挖掘它的應(yīng)用顯得尤為必要.為此,本文首先給出一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系并予以證明,然后舉例說(shuō)明在解題中的應(yīng)用.

一、三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

普通高中教科書(shū)人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)(2019年版)第82頁(yè)給出了一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理:

一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)的三個(gè)根分別為x1,x2,x3,則

【證明】因?yàn)閤1,x2,x3是a3x3+a2x2+a1x+a0=0的三個(gè)根,

所以a3x3+a2x2+a1x+a0=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3).

將右邊展開(kāi),得a3(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a3[x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3]=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3,

所以a3x3+a2x2+a1x+a0=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3.

二、三次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

應(yīng)用1.求代數(shù)式的值

【例1】(2021全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽)若x1=1,x2=1-i,x3=1+i(i為虛數(shù)單位)為方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)解,則a+b-c=________.

【解析】根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得

解得a=-3,b=4,c=-2,

所以a+b-c=-3+4-(-2)=3.

【例2】(2023北京大學(xué)測(cè)試)設(shè)復(fù)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=a2+b2+c2=0,a3+b3+c3=3,則a2023+b2023+c2023的值為( )

A.0 B.3

C.2 023 D.其他三個(gè)選項(xiàng)均不對(duì)

【解析】因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,

所以結(jié)合已知得ab+bc+ca=0.

又因?yàn)閍3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),

所以結(jié)合已知得abc=1.

所以根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理可知a,b,c是方程x3-1=0的三個(gè)根.

因?yàn)? 023除以3的余數(shù)為1,所以a2023+b2023+c2023=a+b+c=0,故選A.

應(yīng)用2.求解方程問(wèn)題

【例3】(2020全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽)設(shè)r為方程x3-x+3=0的解,則以r2為其解的首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)一元三次方程為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)x1,x2,x3是方程x3-x+3=0的根,則根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得

由此可知,所求的一元三次方程為x3-2x2+x-9=0.

【例4】(2023北京大學(xué)測(cè)試)方程組x+y+z=4,x2+y2+z2=6,x3+y3+z3=10的解的個(gè)數(shù)為( )

A.0 B.3

C.6 D.其他三個(gè)選項(xiàng)均不對(duì)

【解析】因?yàn)?x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,所以結(jié)合已知得xy+yz+zx=5.

又因?yàn)閤3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx),所以結(jié)合已知得xyz=2,

又t3-4t2+5t-2=t3-1-4t2+4t+t-1=(t-1)(t2+t+1)-4t(t-1)+t-1=(t-1)(t2-3t+2)=(t-1)2(t-2),

所以x,y,z是1,1,2的一個(gè)排列,即原方程組的解有3組,故選B.

應(yīng)用3.求方程根(函數(shù)零點(diǎn))的范圍

【例5】(2020山東萊蕪一中月考)已知函數(shù)f(x)=x3+2的圖象與函數(shù)g(x)=kx的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),其中x1

A.k>3 B.x1<-2

C.x2+x3>2 D.x2x3>1

由f(x)=g(x),得x3-kx+2=0.

根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得

因?yàn)閤1<0

解得x1<-2,B正確;

x2+x3=-x1>2,C正確;

【解析】三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,即一元三次方程x3+ax2+bx+c=0有三個(gè)根x1,x2,x3,

由三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得

因?yàn)閒(-1)=f(1),

所以-1+a-b+c=1+a+b+c,

解得b=-1;

因?yàn)閒(0)=f(2),所以c=8+4a+2b+c,

應(yīng)用4.求系數(shù)的范圍

【例7】(浙江卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0

A.(-∞,3] B.(3,6]

C.(6,9] D.(9,+∞]

【解析】令f(-1)=f(-2)=f(-3)=t,

則0

即方程x3+ax2+bx+c-t=0的三個(gè)根.

根據(jù)三次方程根與系數(shù)間關(guān)系得

c-t=-(-1)·(-2)·(-3)=6,

所以c=t+6.

由0

所以c的取值范圍是(6,9],

故選C.

【例8】(2023廣東深圳一調(diào))已知函數(shù)f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

C.a+b>2 D.abc的取值范圍是(0,4)

【解析】因?yàn)閒(x)=x(x-3)2=x3-6x2+9x,

所以f′(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1).

令f′(x)=0,即3(x-3)(x-1)=0,

解得x=1或x=3.

當(dāng)f′(x)>0時(shí),有x<1或x>3,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)和(3,+∞);

當(dāng)f′(x)<0時(shí),有1

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).

又因?yàn)閒(3)=0,f(1)=f(4)=4,

所以函數(shù)大致圖象如圖所示,

令f(a)=f(b)=f(c)=t,

因此0

又a,b,c是方程f(x)-t=0的三個(gè)根,

即x3-6x2+9x-t=0的三個(gè)根,

因?yàn)?

解得2

故選BCD.

應(yīng)用5.求解最值問(wèn)題

【例9】(2019北大綜合營(yíng)試題)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=x2+y2+z2=2,求xyz的最大值和最小值.

得m′=3t2-4t+1=(3t-1)(t-1).

當(dāng)t=0或t=1時(shí),m=xyz取得最小值為0,

此時(shí)x=y=1,z=0,

無(wú)獨(dú)有偶,2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃第13題:已知實(shí)數(shù)x,y,z∈R,x+y+z=1,x2+y2+z2=1,則下列結(jié)論正確的有( )

A.xyz的最大值為0

【答案】ABD.該題與例9如出一轍,請(qǐng)讀者自行完成該題的解答.

應(yīng)用6.求解綜合問(wèn)題

【例10】(2023南京、鹽城一模)已知f(θ)=cos4θ+cos3θ,且θ1,θ2,θ3是f(θ)在(0,π)內(nèi)的三個(gè)不同零點(diǎn),則( )

B.θ1+θ2+θ3=π

【解析】由cos4θ+cos3θ=0,得cos4θ=-cos3θ,

所以在(0,π)內(nèi)4θ+3θ=π或3π或5π,

因?yàn)閏os4θ+cos3θ=2cos22θ-1+4cos3θ-3cosθ=2(2cos2θ-1)2-1+4cos3θ-3cosθ=8cos4θ+4cos3θ-8cos2θ-3cosθ+1=(cosθ+1)·(8cos3θ-4cos2θ-4cosθ+1),

故選ACD.

【例11】(2023北京大學(xué)測(cè)試)設(shè)三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為復(fù)平面上的三點(diǎn)z1,z2,z3,滿足z1z2z3=0,z1+z2+z3=8+2i,z1z2+z2z3+z3z1=15+10i,則三角形ABC內(nèi)心的復(fù)數(shù)坐標(biāo)z的虛部所在區(qū)間為( )

A.(0.5,1)

B.其他三個(gè)答案都不對(duì)

C.(1,2)

D.(0,0.5)

【解析】根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知,z1,z2,z3為x3-(8+2i)x2+(15+10i)x=0的三個(gè)根,首先必定有一個(gè)為0,不妨設(shè)z1=0,則z2,z3為x2-(8+2i)x+15+10i=0的兩個(gè)根,分解因式得(x-5)(x-3-2i)=0,所以z2=5,z3=3+2i,所以三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(0,0),B(3,2),C(5,0).

由于r就是I點(diǎn)縱坐標(biāo),也就是z的虛部,故選A.

【例12】(2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽)若實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)=x0,則稱(chēng)x=x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn).

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+3,其中a,b為常數(shù).

(Ⅰ)若a=0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(Ⅱ)若a=0時(shí),存在一個(gè)實(shí)數(shù)x=x0,使得x=x0既是f(x)的不動(dòng)點(diǎn),又是f(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的值;

(Ⅲ)求證:不存在實(shí)數(shù)組(a,b),使得f(x)對(duì)互異的兩個(gè)極值點(diǎn)皆為不動(dòng)點(diǎn).

【解析】(Ⅰ)若a=0,則f(x)=x3+bx+3,

所以f′(x)=3x2+b.

當(dāng)b≥0時(shí),顯然f(x)在R上單調(diào)遞增;

故當(dāng)b≥0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);

(Ⅲ)證明:假設(shè)存在一組實(shí)數(shù)(a,b)滿足條件,由條件知f′(x)=3x2+2ax+b.

因?yàn)閒(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn),則Δ=4a2-12b>0,即a2>3b.①

令g(x)=2x3+9x-162,

則g′(x)=6x2+9>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增,從而g(x)=0至多有一個(gè)實(shí)根.

又因?yàn)間(0)=-162<0,g(4)=2>0,從而g(x)=0至少有一個(gè)實(shí)根.

所以g(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根x=a∈(0,4).

故不存在實(shí)數(shù)組(a,b),使得f(x)對(duì)互異的兩個(gè)極值點(diǎn)皆為不動(dòng)點(diǎn).

三、教學(xué)啟示

隨著高考命題改革的不斷深化,教材已成為高考數(shù)學(xué)命題一個(gè)重要的生長(zhǎng)點(diǎn).因此,在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,要摒棄將教材“束之高閣”的舍本逐末、本末倒置的做法,引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)教材內(nèi)容、題目乃至“閱讀與思考”等方面的復(fù)習(xí)和挖掘,使得“回歸教材”成為復(fù)習(xí)備考的一種常態(tài).在數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考中,注重回歸教材的教學(xué)是至關(guān)重要的,回歸教材、細(xì)品教材,更能讓學(xué)生體會(huì)到“書(shū)中自有黃金屋”的妙處.高考命題離不開(kāi)教材,教材是高考命題的依托.教材決定了試題的穩(wěn)定,也決定了試題的創(chuàng)新.“從教材中尋求支撐”成為高考數(shù)學(xué)命題的“潛規(guī)則”.要多回到教材,對(duì)教材內(nèi)容、典型例、習(xí)題多做挖掘的工作.回歸教材,不僅是備考者應(yīng)對(duì)命題者的策略,也是備考者提升應(yīng)考能力水平的手段.

1.數(shù)學(xué)高考,首先需要的是閱讀能力,要能讀懂問(wèn)題的背景、讀出隱含在文字表述中的信息等,都需要閱讀能力.而閱讀能力只有通過(guò)閱讀來(lái)培養(yǎng),其中教材是培養(yǎng)閱讀能力的基本素材,我們不能想象,一個(gè)沒(méi)有教材閱讀經(jīng)歷的人,能夠讀懂考卷中的嶄新材料.

2.每次專(zhuān)題訓(xùn)練,不少學(xué)生的失分是由于概念混淆、定義不清造成的,回歸教材吃透其中的概念、定義、公式、例題,并將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行橫向、縱向比較、歸納,就不會(huì)出現(xiàn)冤枉失分.也就是說(shuō),回歸教材實(shí)際上落實(shí)基礎(chǔ),盡力為自己攬分,減少無(wú)謂的失分.

3.回歸教材,讓學(xué)生自主梳理知識(shí),可以使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化,這樣做到具體題目時(shí),會(huì)有一種“一覽眾山小”的感覺(jué),不至于“一葉障目,不見(jiàn)泰山”,縮手縮腳,打不開(kāi)思路.

4.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,常用到一些“小結(jié)論”.除課本命名的性質(zhì)、定理或公式外,這些“二級(jí)結(jié)論”散見(jiàn)于教材的例、習(xí)題或“閱讀與思考”欄目中.通過(guò)回歸教材,熟悉和掌握這些“二級(jí)結(jié)論”,對(duì)于解答選擇、填空題可以節(jié)省時(shí)間,增加準(zhǔn)確性.在處理解答題時(shí),它也是探尋解題思路、進(jìn)行合理推理的依據(jù).

5.許多基本的解題思想、方法就存在課本結(jié)論、公式的推導(dǎo)過(guò)程中,通過(guò)回歸教材,能讓學(xué)生更深刻地理解、掌握和靈活運(yùn)用.

6.規(guī)范作答,是重要的高考增分點(diǎn).哪些定理不能直接套用、哪些過(guò)程不能省略、哪些表述不能隨意、哪些符號(hào)不能承認(rèn),這些都只能依據(jù)教材,需要靠教材做示范.

7.回歸教材,可以幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏.通過(guò)回歸教材,彌補(bǔ)沒(méi)有掌握好的概念、知識(shí)和方法技巧.

通過(guò)回歸教材,可以消除學(xué)生在復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中由于自信心程度不夠而造成的空洞感、恐懼感或浮躁情緒.應(yīng)在系統(tǒng)的高度重新審視教材,站在數(shù)學(xué)整體的高度與教材對(duì)話,讓不同領(lǐng)域的知識(shí)交匯.

課題A—179《新教材改革下數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)研究》的成果材料.