具有弱Allee效應(yīng)的離散染病捕食系統(tǒng)的分支分析

李航航, 胡新利

(西安工程大學 理學院, 陜西 西安 710048)

傳染病傳播在種群動力學的研究中是不可避免的。生態(tài)學中傳染病的預(yù)防和控制日益成為人們關(guān)注的熱點[1-3]。在簡單的2種群系統(tǒng)中,無論是食餌還是捕食者,疾病的引入增加了2種群相互作用系統(tǒng)中發(fā)生混沌的機會。因此,為了有效控制混沌行為,考慮的其中因素之一就是Allee效應(yīng)[4-5]。

為了研究Allee效應(yīng)對2維離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響, Wang等[6]將Allee效應(yīng)引入離散的捕食模型的結(jié)果表明, Allee效應(yīng)使平衡點到達穩(wěn)定狀態(tài)所需時間更少, 而且使滅絕的物種存活了下來, Allee效應(yīng)增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 Celik等[7]考慮了具有和不具有Allee效應(yīng)的離散食餌-捕食者模型,結(jié)果表明Allee效應(yīng)對種群動態(tài)具有穩(wěn)定作用。 Chen等[8]研究了具有Allee效應(yīng)離散食餌-捕食者模型的動力性質(zhì)。 利用中心流行定理和分支理論得到了系統(tǒng)發(fā)生Flip分支和Neimark-Sacker分支的條件。 隨著Allee常數(shù)的增加(在有限制內(nèi)), 動力學行為和復雜的不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)。 因此, 本文研究的主要目的是3維離散系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象如何通過正密度依賴增長因子(即弱Allee效應(yīng))來控制。

本文易感者食餌和捕食者均考慮了密度制約,且食餌染病后不具有生育能力。食餌具有雙線性疾病發(fā)生率,并且食餌染病后不能恢復。捕食者具有尋求配偶的Allee效應(yīng)。由于食餌染病后活動能力減弱,更容易被捕食者捕獲,所以假設(shè)捕食者僅捕食染病食餌。建立具體模型如下:

(1)

對系統(tǒng)(1)進行歸一化處理得:

(2)

為了研究離散系統(tǒng)豐富的動力學行為,使用前向歐拉法對系統(tǒng)(2)離散化,得到如下3維離散系統(tǒng):

(3)

式中,Sn,In和Pn分別是n世代易感者食餌、染病食餌和捕食者的種群密度;h為步長,其他參數(shù)同系統(tǒng)(2)。

1 平衡點的存在性和穩(wěn)定性

系統(tǒng)(3)的平衡點可以通過如下代數(shù)方程求得:

(4)

通過求解方程組(4),可得到定理1。

定理1 系統(tǒng)(3)有以下6個平衡點:

1) 總存在無病平衡點E0(0,0,0),E1(1,0,0),E2(0,0,1),E3(1,0,1);

2) 當d<1時,食餌存在捕食者滅絕的平衡點E4(d,r(1-d)/(r+1),0);

3) 當P*<(1-d)/γ且d<1時,存在唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)。

其中:

S*=γP*+d;

對系統(tǒng)(3)的唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)進行穩(wěn)定性分析,需引入引理1。

引理1[9]考慮如下3次特征方程

F(λ)=λ3+C1λ2+C2λ+C3=0。

(5)

式中,C1,C2,C3是實系數(shù)。因此,特征方程(5)所有的特征根都位于開的單位圓盤內(nèi)的充分必要條件為

定理2 假設(shè)P*<(1-d)/γ且d<1,系統(tǒng)(3)唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)是局部漸近穩(wěn)定的,當且僅當

其中:

(6)

證明 當P*<(1-d)/γ且d<1時,系統(tǒng)(3)在唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)處的雅可比矩陣為

因此,雅可比矩陣J(S*,I*,P*)對應(yīng)的特征方程為

F(λ)=λ3+D1λ2+D2λ+D3=0。

(7)

應(yīng)用引理1得到系統(tǒng)(3)唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)是局部漸近穩(wěn)定的條件為

2 Neimark-Sacker分支和Flip分支

由于系統(tǒng)(3)對應(yīng)的特征值形式復雜,因此在不考慮特征值的情況下,為了研究系統(tǒng)(3)在唯一正平衡點處發(fā)生Neimark-Sacker分支和Flip分支,給出如下n維離散系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分支和Flip分支的顯式判據(jù)。

首先考慮下面n維離散系統(tǒng)

Yk+1=fm(Yk)。

其中,m∈是分支參數(shù)。設(shè)Y*是fm的不動點,n維映射fm(Yk)的雅可比矩陣J(Y*)=(cij)n×n對應(yīng)的特征多項式為

Fm(λ)=λn+c1λn-1+…+cn-1λ+cn。

引理2[10]如果滿足下列條件,在分支參數(shù)m=m1處發(fā)生Neimark-Sacker分支。

引理3[11]如果滿足下列條件,在分支參數(shù)m=m2處發(fā)生Flip分支。

定理3 假設(shè)P*<(1-d)/γ且d<1,如果滿足下列條件,系統(tǒng)(3)唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)在m=m1處發(fā)生Neimark-Sacker分支:

定理4 假設(shè)P*<(1-d)/γ且d<1,如果滿足下列條件,系統(tǒng)(3)唯一正平衡點E*(S*,I*,P*)在m=m2處發(fā)生Flip分支:

系統(tǒng)(3)發(fā)生Flip分支時的分支參數(shù)m2可通過Fm2(-1)=0求得。

3 數(shù)值模擬

例1 考慮系統(tǒng)(3)的參數(shù)值為r=0.7,γ=0.27,d=0.02,a=0.04,μ=0.1,h=1.8,0≤m≤1.5和初始值為(S0,I0,P0)=(0.49,0.21,1.73)。在m=0.672 7時,系統(tǒng)(3)發(fā)生Neimark-Sacker分支。易感者食餌Sn、染病食餌In和捕食者Pn的Neimark-Sacker分支分別如圖1(a)、圖1(b)和圖1(c)所示, 最大李雅普諾夫指數(shù)如圖1(d)所示,分支參數(shù)在m∈[0,1.5]內(nèi)變化時對應(yīng)的相圖如圖2所示。

(a) Sn的分支(b) In的分支(c) Pn的分支(d) 最大李雅普諾夫指數(shù)

(a) m=0.5(b) m=0.6727(c) m=0.7

系統(tǒng)(3)在正平衡點E*(0.487 7,0.211 0,1.732 2)處雅可比矩陣對應(yīng)的特征多項式為

F(λ)=λ3-2.285 1λ2+2.230 5λ-0.868 8。

當D1=-2.285 1、D2=2.230 5、D3=-0.868 8時,對應(yīng)特征方程的根為λ1=0.868 8、λ2,3=0.708 1±0.706 1i,且|λ2,3|=1。因此,有:

定理3的所有條件都滿足,則系統(tǒng)(3)的唯一正平衡點E*(0.487 7,0.211 0,1.732 2)在m=0.672 7處發(fā)生Neimark-Sacker分支。

例2 考慮系統(tǒng)(3)的參數(shù)值為r=2.3,γ=0.33,d=0.1,a=3.1,μ=0.32,h=0.81, 0≤m≤0.6和初始值為(S0,I0,P0)=(0.45,0.39,1.05)。在m=0.348時,系統(tǒng)(3)發(fā)生Flip分支。易感者食餌Sn、染病食餌In和捕食者Pn的Flip分支和最大李雅普諾夫指數(shù)如圖3所示。

(a) Sn的分支(b) In的分支(c) Pn的分支(d) 最大李雅普諾夫指數(shù)

系統(tǒng)(3)在正平衡點E*(0.447 5,0.385 1,1.052 9)處雅可比矩陣對應(yīng)的特征多項式為

F(λ)=λ3-0.154 5λ2-0.612 6λ+0.541 2。

當D1=-0.154 5、D2=-0.612 6、D3=0.541 2,特征方程的根λ1=-1、λ2,3=0.577 1±0.456 3i,且|λ2,3|=0.735 7≠1。因此,有:

定理4的所有條件滿足,則系統(tǒng)(3)的唯一正平衡點E*(0.447 5,0.385 1,1.052 9)在m=0.488處發(fā)生Flip分支。

4 結(jié) 論

本文主要研究了僅食餌染病的離散食餌-捕食者模型, 考慮了捕食者的弱Allee效應(yīng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 在不同的參數(shù)條件下, 以Allee效應(yīng)參數(shù)m作為分支參數(shù)進行了分支分析。 從數(shù)值模擬來看, 捕食者具有的弱Allee效應(yīng)有穩(wěn)定系統(tǒng)的作用, 將系統(tǒng)由混沌狀態(tài)變得穩(wěn)定。 隨著Allee效應(yīng)參數(shù)m不斷增大, 易感者食餌和捕食者的數(shù)量明顯增加, 染病食餌的數(shù)量不斷減少。 因此, 在生物控制中, 想要及時減少或消除染病食餌的種群密度, 可以適當增大捕食者的Allee效應(yīng)參數(shù)m來達到預(yù)期效果。