處理通信延遲的分布式無跡卡爾曼濾波算法

王立梅, 曾 靜

(沈陽化工大學 信息工程學院, 遼寧 沈陽 110142)

隨著社會的進步和科學技術的發(fā)展,新型工業(yè)過程涉及的方面越來越多,分工也越來越細,為了滿足產能的需求和提高經(jīng)濟效益,新型工業(yè)過程逐漸朝著分布式控制方向發(fā)展。分布式控制能夠很好地節(jié)約能源、降低能源損耗和減少排放量。近年來,許多復雜工業(yè)過程的分布式控制方案的發(fā)展引起了廣泛的關注[1-3]。在這些分布式方案中,不同的控制器相互通信,以協(xié)調它們的行動,實現(xiàn)分散控制方案性能的提高。它們在大規(guī)模集成過程網(wǎng)絡中都產生了非常好的效果[4-7]。同集中式控制系統(tǒng)一樣,大多數(shù)分布式控制也依賴于整個系統(tǒng)的狀態(tài)測量值的可用性。因此開發(fā)分布式框架下的狀態(tài)估計方案顯得尤為重要。

近年來,學者們針對不同類別系統(tǒng)在開發(fā)分布式狀態(tài)估計方面做出了許多努力。滾動時域狀態(tài)估計(moving horizon state estimation, MHE)是一種可以在分布式框架中使用的方法,可以解決線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的狀態(tài)約束和不確定性,但它的計算復雜度通常較高[8-9]。An等[10]提出了一種針對離散時間系統(tǒng)的分布式MHE協(xié)調算法,該方案顯著提高了局部估計器的性能,但不適用于非線性系統(tǒng)。焦志強等[11]針對網(wǎng)絡中單個傳感器對目標狀態(tài)不完全觀測的情況, 提出了一種分布式MHE估計算法,通過量測補償對目標狀態(tài)進行完整估計,但這一算法計算復雜度較高。Yin等[12]提出了一種迭代分布式MHE方案,有效解決了污水處理系統(tǒng)的估計問題,降低了計算復雜度。另外,分布式卡爾曼濾波(distributed Kalman filtering,DKF)得到了廣泛的研究。相比于分布式MHE,DKF的計算量要小得多。Vadigepalli等[13]提出了可以應用于植物化過程的多速率分布估計和控制的DKF算法,該方法適用于線性系統(tǒng)。針對非線性系統(tǒng),楊姝[14]提出一種基于自適應高增益擴展卡爾曼濾波器(extended Kalman filter, EKF)的分布式估計方法,提高了非線性系統(tǒng)的估計精度。王長城等[15]在無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)基礎上提出了分布式一致性算法,通過信息交換解決了目標狀態(tài)的跟蹤問題。譙小康等[16]進一步改進了UKF算法,針對車輛節(jié)點進行分布式計算,有效提高了定位精度,但由于用到了車載網(wǎng)絡,在實際應用時可能存在通信誤差。

在分布式狀態(tài)估計方案的研究中,信息交互是很重要的一部分,數(shù)據(jù)傳輸?shù)臏蚀_率會對估計性能產生很大影響。隨著數(shù)據(jù)傳輸逐漸網(wǎng)絡化和共享化,通信延遲成為不可忽視的問題。文獻[17]提出了一種自適應多導彈協(xié)同編隊控制器,保證了通信延遲和輸入飽和影響下系統(tǒng)狀態(tài)的漸進穩(wěn)定性;文獻[18]為了補償時間延遲,應用Smith預估器在協(xié)同自適應巡航控制中,提高了車輛控制性能;文獻[19]提出了一種分布式自適應魯棒控制方法,在存在參數(shù)不確定、通信延遲等情況下實現(xiàn)隊列控制。以上研究的延遲處理方法多應用在一些信息交互的分布式控制系統(tǒng)中,在狀態(tài)估計領域研究較少,對于存在通信延遲的分布式非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題仍需仔細考慮。另外,在處理分布式非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題時多使用MHE、EKF和UKF等作為局部估計器。MHE對于非線性系統(tǒng)都有不錯的估計效果,但計算復雜度相對較高;EKF通過雅可比矩陣進行線性化處理,計算復雜度低,但當系統(tǒng)高度非線性時,濾波會發(fā)散,導致估計性能降低;UKF無需對非線性系統(tǒng)進行近似處理,因而不受非線性系統(tǒng)具體形式的限制,適用范圍更廣。選擇UKF作為分布式系統(tǒng)的主要估計器,在研究如何處理通信延遲問題時更有優(yōu)勢。

基于上述考慮,本文提出了處理通信延遲的分布式無跡卡爾曼濾波(distributed unscented Kalman filtering, DUKF)估計方案,不僅給出了對應的分布式狀態(tài)估計算法,用于指定子系統(tǒng)之間的信息交換協(xié)議和DUKF的實現(xiàn)策略;還利用分布式系統(tǒng)的特點為每個子系統(tǒng)設計了一個局部UKF,描述了局部UKF的詳細設計;同時在方案中給出了通信延遲補償策略,保證了估計效率與估計的準確度。最后,將方案應用于一個化工實例,通過與不同條件下分布式狀態(tài)估計方案的比較,證明方案的有效性和適用性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 系統(tǒng)模型

考慮一類由m個相互關聯(lián)的子系統(tǒng)組成的非線性系統(tǒng),其中第i個子系統(tǒng)用以下狀態(tài)空間模型描述:

(1)

假設系統(tǒng)狀態(tài)xi滿足約束xi∈Ti,其中集合Ti是凸集合。狀態(tài)擾動wi∈Wi,測量噪聲vi∈Vi是有界的,且

Wi∶={wi∈Rnwi:|wi|≤θwi,θwi>0},

Vi∶={vi∈Rnvi:|vi|≤θvi,θvi>0}。

這樣,整個系統(tǒng)可以描述如下:

(2)

假設m個子系統(tǒng)的輸出在時間{tk≥0}是同步和周期性地采樣,這樣tk=t0+kΔ,其中t0=0是初始時間,Δ為一個固定的采樣時間間隔,k為正整數(shù)。

1.2 通信網(wǎng)絡及延遲模型

在分布式狀態(tài)估計框架中,每個子系統(tǒng)都關聯(lián)一個相應的局部狀態(tài)估計器。

首先,假設一個子系統(tǒng)的局部輸出測量值通過專用的局部通信網(wǎng)絡傳輸?shù)狡湎嚓P的子系統(tǒng)估計器,該局部通信網(wǎng)絡的通信延遲可以忽略不計。也就是說,子系統(tǒng)估計器在每次采樣時間內都可以直接訪問其局部輸出測量值。

其次,每個子系統(tǒng)的局部估計器在必要時可以與其他子系統(tǒng)的估計器進行通信,以交換子系統(tǒng)的輸出測量值和狀態(tài)估計值。假設各局部狀態(tài)估計器之間通過共享通信網(wǎng)絡進行信息交換,并且在通信網(wǎng)絡中信息傳輸會受到時變通信延遲的影響。為了對通信中的延遲進行建模,引入了一個輔助變量di,j(tk),它表示tk時刻子系統(tǒng)j給子系統(tǒng)i傳送信息時產生的時延,變量di,j(tk)取值為正整數(shù)。假如在tk時刻,子系統(tǒng)i接收到的子系統(tǒng)j的最新信息是tk-q時刻發(fā)出的,那么可以得到di,j(tk)=q。所有的信息都是時間標記的,所以在共享通信網(wǎng)絡中延遲時間是已知的。

考慮所提出的分布式狀態(tài)估計方案的確定性和穩(wěn)定性,給延遲變量di,j(tk)設定一個上限D。通信中的延遲是時變的,因此在2個連續(xù)的采樣周期內可能不會提供新的信息。子系統(tǒng)存儲從當前時刻到DΔ時間段內其他子系統(tǒng)發(fā)送的所有信息。在tk時刻,如果子系統(tǒng)i接收到的子系統(tǒng)j的最新信息是在tk-di,j(tk)時刻發(fā)送的,那么最遲在tk+D-di,j(tk)時刻接收到包含子系統(tǒng)j新的狀態(tài)估計信息的數(shù)據(jù)包,因為最大可能的延遲是DΔ。

2 處理通信延遲的DUKF方案設計

2.1 方案描述

針對通信網(wǎng)絡中可能存在時變延遲的非線性系統(tǒng),給出了處理延遲的DUKF狀態(tài)估計方案,方案設計原理如圖1所示。在該設計中,每個子系統(tǒng)都有相應的局部狀態(tài)估計器UKF,用UKFi表示子系統(tǒng)i對應的局部狀態(tài)估計器,i=1,…,m。當當前狀態(tài)估計和輸出測量可用時,就會將信息發(fā)送給系統(tǒng)中的其他子系統(tǒng)。然而,由于信息傳輸中的通信延遲,子系統(tǒng)可能無法同步接收來自其他子系統(tǒng)的信息。為了解決這個問題,在每個子系統(tǒng)的狀態(tài)估計器中嵌入一個預測器,它可以根據(jù)之前接收到的信息來預測其他子系統(tǒng)的狀態(tài)。

圖1 方案設計原理Fig.1 Principle of schematic design

2.2 狀態(tài)預測器設計

(3)

2.3 子系統(tǒng)局部UKF設計

在分布式系統(tǒng)中,每一個子系統(tǒng)都與一個局部UKF相關聯(lián),其基于局部測量值、狀態(tài)預測值和從其他子系統(tǒng)接收到的信息計算當前狀態(tài)估計。子系統(tǒng)i(i∈I)的局部UKF設計如下:

1) 利用初始估計值及UT變換,生成2n+1個Sigma點。

(4)

2) 將從其他子系統(tǒng)接收到的信息和采樣點代入狀態(tài)方程,計算采樣點的一步預測;若存在延遲,用狀態(tài)預測值代替延遲信息代入狀態(tài)方程。求出采樣點的一步預測后,對采樣點的預測值加權求和,得到系統(tǒng)狀態(tài)量的一步預測及協(xié)方差矩陣。

(5)

(6)

(7)

3) 求出預測的觀測量。對觀測量加權求和,求得觀測量的均值及協(xié)方差。

(8)

(9)

(10)

(11)

4) 計算Kalman增益。

(12)

5) 更新誤差協(xié)方差矩陣和系統(tǒng)狀態(tài)。

PXi(k+1|k+1)=PXi(k+1|k)-Ki(k+1)PykiykiKi(k+1)T,

(13)

(14)

2.4 分布式狀態(tài)估計算法

本節(jié)中給出實現(xiàn)所提出的分布式UKF狀態(tài)估計方案的算法,算法流程圖如圖2所示。在每個采樣時間內,各子系統(tǒng)及其局部狀態(tài)估計器具體執(zhí)行以下步驟。

圖2 所提出的分布式算法流程圖Fig.2 Flow chart of the proposed distributed algorithm

2.在tk>0時,執(zhí)行以下步驟:

1) UKFi通過專用通信網(wǎng)絡接收子系統(tǒng)i的輸出測量值yi(tk);

2) UKFi在時間間隔tk-1到tk之間接收并檢測其他子系統(tǒng)發(fā)送的數(shù)據(jù)包,根據(jù)數(shù)據(jù)包中的信息更新di,j(tk)的值并存儲數(shù)據(jù)包;

3) 當檢測到di,j(tk)的值大于1,即信息傳輸過程中產生了延遲時,狀態(tài)預測器開始工作,根據(jù)存儲的延遲信息生成系統(tǒng)先前時刻的狀態(tài)預測值xp,i(tk-1);

3.在下一采樣時刻tk+1,返回步驟2繼續(xù)執(zhí)行。

從上述算法可以看出,在步驟2的4)中發(fā)送了子系統(tǒng)i的當前信息,并在下一個采樣時間內使用該信息,這表明不可避免會有一個采樣時間的延遲,di,j(tk)=1。由于在信息傳輸過程中可能會導致額外的延遲,當總延遲大于一個采樣時間(即di,j(tk)>1)時,再使用預測器計算tk-1的狀態(tài)預測。基于該預測,子系統(tǒng)UKF計算當前子系統(tǒng)狀態(tài)估計。

3 仿真分析

把本文提出的處理通信延遲的分布式UKF應用于化工過程模型,該化工模型由2個連續(xù)攪拌釜式反應器和1個分離器構成,具體狀態(tài)方程和參數(shù)描述見文獻[20]。在該過程中涉及的9個狀態(tài)變量,xA1、xA2、xA3、xB1、xB2、xB3和T1、T2、T3分別為反應物A、B在反應器1、2、3中的質量分數(shù)和反應器1、2、3中的溫度。假設溫度T1、T2和T3為可測量的輸出值,基于這些測量值來估計9個狀態(tài)。

整個過程根據(jù)反應器1、反應器2和分離器分為3個子系統(tǒng),每個子系統(tǒng)中都涉及反應物A、B的質量分數(shù)和反應器溫度,狀態(tài)可由xi=[xAi,xBi,Ti]T,i=1,2,3表示。對于每個子系統(tǒng),其對應的容器都有一個外部輸入,Q1、Q2和Q3。測量結果受到有界噪聲的影響,測量中的有界噪聲產生均值為零和標準差為1的正態(tài)分布值,這些值以[-1,1]為界。除了測量噪聲,過程隨機干擾也被引入方程中。添加到溫度的過程有界隨機噪聲干擾生成均值為0,標準差為100的正態(tài)分布,以[-10,10]為界。添加到其他狀態(tài)的過程有界隨機噪聲干擾生成均值為0和標準差為1的正態(tài)分布,以[-1,1]為界。

將提出的DUKF(方案1)、不考慮通信延遲的DUKF(方案2)和通信狀況理想的DUKF(方案3)進行比較。在這組仿真中,考慮了一種極端的情況,讓子系統(tǒng)之間的通信延遲總是等于延遲的最大值D,D=5。在所提出的DUKF方案中,當存在通信延遲時,預測器將用于生成相應狀態(tài)預測,以最大程度地減小延遲的影響。在不考慮通信延遲的DUKF方案中,當存在通信延遲時,使用最新接收到的信息來近似當前信息。而在通信理想的DUKF方案中,信息傳輸沒有延遲。

在這組仿真中,3種DUKF方案使用了相同的初始條件、干擾、噪聲序列和外部輸入。該工藝的初始條件為

x0=[0.178;0.680;485.120;0.199;0.660;477.514;0.066;0.677;479.637]T,

而3種DUKF方案的初始估計值是

外部輸入為

Qi=Qs,i+5×105e-0.01tsin(0.1t),i=1,2,3。

(15)

式中,Qs,i,i=1,2,3是子系統(tǒng)對應的穩(wěn)態(tài)輸入值。這種類型的輸入用來激發(fā)過程狀態(tài)軌跡中不同的變化速率。需要注意的是,當過程輸入存在時,設計的DUKF方案需要考慮到這些輸入,并且假定輸入是已知的。在局部UKF的設計中,參數(shù)矩陣設計為:Qci=0.000 1diag([12,12,1002]);Rci=diag(12);Pdi=Qci,i=1,2,3。

圖3為3種方案與實際狀態(tài)的比較結果(見封3),從圖中可以看出,當通信延遲總是等于最大延遲5時,3種方案在開始時誤差都較大,這是初始條件導致的,但隨著時間推移,所提出的DUKF和通信理想的DUKF都能較好地追蹤上系統(tǒng)實際狀態(tài),而不考慮通信延遲的DUKF估計效果與實際情況的偏差要大一些。對于B的質量分數(shù),3種方案對比更明顯,可以看到,不考慮通信延遲的DUKF估計效果不穩(wěn)定,有些跟蹤不上實際狀態(tài),而所提出的DUKF和通信理想的DUKF相比之下能更快地追蹤上實際狀態(tài),這說明所提出的DUKF的延遲處理方法是有效的,能夠減小延遲帶來的影響。另外,對估計誤差也進行了比較, 如圖4所示。 從圖4可以看出, 所提出的DUKF能夠快速地驅動估計誤差到一個較小的值,并將誤差保持在一個小區(qū)域接近于零,與通信理想的DUKF估計誤差接近,而沒有考慮通信延遲的DUKF的估計誤差變化較大。在估計誤差平均值方面,所提出的DUKF的誤差范數(shù)平均值為0.167 3,不考慮通信延遲的DUKF誤差范數(shù)平均值為0.375 9,通信理想的DUKF誤差范數(shù)平均值為0.157 0。可以看出,所提出的DUKF有效改善了延遲影響。

第2組仿真考慮正常情況下延遲對估計結果的影響?；谛畔鬏斶^程的實際情況,將子系統(tǒng)之間的通信延遲用D=5生成1和D之間的隨機整數(shù)模擬隨機延遲。仿真中各子系統(tǒng)之間的通信延遲,如圖5所示。在這組仿真中,3種方案的系統(tǒng)初始條件、初始估計值、噪聲干擾、噪聲序列和外部輸入與第1組仿真相同。3種方案相應的估計誤差范數(shù)軌跡如圖6所示。

(a) 子系統(tǒng)2到子系統(tǒng)1的延遲(b) 子系統(tǒng)3到子系統(tǒng)1的延遲(c) 子系統(tǒng)1到子系統(tǒng)2的延遲(d) 子系統(tǒng)3到子系統(tǒng)2的延遲(e) 子系統(tǒng)1到子系統(tǒng)3的延遲(f) 子系統(tǒng)2到子系統(tǒng)3的延遲

圖6 第2組仿真中3種方案的估計誤差范數(shù)Fig.6 Estimated error norm for the three scenarios in the second set of simulations

從圖6中可以得出與第1組仿真類似的結論。也就是說,所提出的DUKF能夠快速地將估計誤差驅動到零附近區(qū)域,接近通信理想的DUKF,而沒有考慮通信延遲的DUKF的估計誤差變化較大。另外,在這組仿真中,所提出的DUKF給出的誤差范數(shù)平均值為0.162 9,沒有考慮通信延遲的DUKF給出的誤差范數(shù)平均值為0.382 7,而通信理想的DUKF給出的誤差范數(shù)平均值為0.157 1,與所提出的DUKF方案估計誤差的平均值接近?？梢钥闯?所提出的DUKF有效改善了延遲影響,提高了估計性能。

在第2組仿真基礎上只改變過程噪聲干擾,觀察過程噪聲干擾對方案的影響。由于第1組仿真和第2組仿真用的是同一組噪聲干擾,故以這組噪聲干擾為基準,改變噪聲干擾標準差系數(shù)獲得多組噪聲。3種方案在不同過程噪聲干擾下對應的估計誤差的平均值如表1所示。從表中可以看出,無論過程噪聲干擾偏大還是偏小,所提出的方案的估計誤差平均值都較小。所提出的DUKF方案能較好處理噪聲干擾和延遲帶來的影響,甚至在過程噪聲較小時(前3組系數(shù)對應的數(shù)據(jù))優(yōu)于通信理想的DUKF方案。

表1 不同過程噪聲干擾下的估計誤差平均值Table 1 Average of estimation error under different process noise interference

在第3組仿真中,考慮延遲上限D對仿真結果的影響。在仿真設計中,改變所提出的DUKF方案中最大通信延遲D的值。考慮了最大延遲D分別為1、3、4、5、7、9。圖7(a)～圖7(f)分別顯示了D=1、3、4、5、7、9時對應的估計誤差范數(shù)軌跡。在每一個分圖中都有一條虛線,虛線標明了各估計誤差的最大值,可以更直觀地看到不同條件下估計誤差的最大波動區(qū)域。當不存在通信延遲(即D=1)時,如圖7(a)所示,與其他存在通信延遲的情況相比,估計誤差相對較小;當存在通信延遲(即D>1)時,如圖7(b)～圖7(f)所示,可以看出各圖中估計誤差變化都很接近,也就是說最大通信延遲的值增加并沒有過于影響所提出的DUKF方案的估計準確度,說明所提出的DUKF方案在不同延遲時間影響下也能保持良好的估計效果。另外,比較了不同最大延遲下估計誤差的平均值和最大值,結果如表2所示。從表中也可以看出,雖然最大通信延遲的值不同,但各估計誤差的平均值和最大值相差不大,表明所提出的方案穩(wěn)定性能較好。

表2 估計誤差平均值及最大值Table 2 Average and maximum of estimation error

(a) D=1(b) D=3(c) D=4(d) D=5(e) D=7(f) D=9

4 結 論

針對通信網(wǎng)絡中存在延遲的一類非線性系統(tǒng)開發(fā)了一種DUKF方案,得出以下結論:

1) 不同于傳統(tǒng)集中系統(tǒng)模型,分布式方案將非線性系統(tǒng)劃分為多個子系統(tǒng)進行狀態(tài)估計,更適用于分工復雜的工業(yè)過程;

2) 提出的分布式UKF方案對通信延遲進行了處理,有效補償了延遲帶來的影響,保證了估計的準確度;

3) 提出的分布式方案估計性能較高,在噪聲干擾和隨機延遲的影響下仍能保持較好的估計效果。

下一步將研究數(shù)據(jù)丟包對估計效果的影響,朝著同時處理通信延遲和數(shù)據(jù)丟包的分布式UKF算法方向研究。