基于自適應反步法的無人機容錯控制

董 亮, 丁甜甜, 霍 焱

(沈陽大學 信息工程學院, 遼寧 沈陽 110044)

四旋翼飛行器的質量輕、體積小、機動性強,十分便于攜帶,在日常生活中的應用越來越廣泛,為我們的社會帶來了很多方便。實際應用中,隨機擾動和實際環(huán)境的變化會引發(fā)執(zhí)行器故障問題,并且它本身是一個擁有多輸入和多輸出的強耦合、非線性復雜被控對象,因此,為實現(xiàn)對飛行器的精確控制,需要采用更有效的控制策略。近年來,關于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的故障檢測、跟蹤控制、容錯控制等問題的研究越來越多,文獻[1-3]分別對這些問題的研究現(xiàn)狀作了歸納總結;文獻[4-5]分別考慮了無人機發(fā)生執(zhí)行器故障、傳感器故障和系統(tǒng)故障時的容錯控制問題。文獻[6-8]針對故障容錯問題,提出了反步法、模型預測、PID控制、反饋線性化、魯棒控制等解決方法。

無人機的安全性和穩(wěn)定性問題影響著它的應用范圍,因此對如何提高飛行器的容錯控制能力的研究是非常有必要的[9-10]。在這種背景下,本文考慮了無人機執(zhí)行器發(fā)生乘性故障的問題,提出了不依賴于故障觀測器的容錯控制,設計了以反步法為基礎的四旋翼無人機飛行控制器。依據牛頓-歐拉公式建立具有執(zhí)行器乘性故障的四旋翼飛行器動力學模型。在反步法的基礎上設計了相應的自適應律,通過對故障因子的在線估計,補償執(zhí)行器故障給系統(tǒng)帶來的影響,以達到容錯控制的目的。

1 旋翼飛行器動力學模型

如圖1所示,四旋翼無人機是由中心對稱分布的4只槳葉來共同驅動的,4個直流無刷電機產生飛行動力源頭且互不干擾,可通過改變4個螺旋槳產生的升力來控制飛行狀態(tài),這簡化了結構和動力學特性。飛行器的1號電機和3號電機驅動1號槳和3號槳進行逆時針轉動,2號電機和4號電機驅動左右兩槳進行順時針轉動,每只螺旋槳所產生的反扭矩力,可通過十字對稱的動力學分布進行對消,以保證4個電機轉速一致時機身不會產生自旋現(xiàn)象,實現(xiàn)姿態(tài)雙閉環(huán)控制中內環(huán)實現(xiàn)角速度控制,外環(huán)實現(xiàn)角度的期望誤差控制。

圖1 四旋翼動力學模型Fig.1 Dynamic model of quadrotor

為了對四旋翼無人機進行建模,需要引入2個坐標系,即地面坐標系OE={XE,YE,ZE}和機體坐標系OB={XB,YB,ZB},則機體坐標系到地面坐標系的總轉換矩陣為

(1)

式中:ψ為偏航角;θ為俯仰角;φ為翻滾角。 定義四旋翼飛行器在飛行過程中受到向上的升力為U1。 根據牛頓第二定律可得到無人機在地面坐標系下的位置運動方程, 其表達式為

(2)

(3)

根據剛體的轉動定律可以得到無人機的角運動方程為

(4)

式中,l表示四旋翼飛行器每一個的螺旋槳轉軸到幾何中心的距離。根據以上分析可以得到四旋翼飛行器的6自由度動力學方程為

(5)

2 容錯控制器設計

由四旋翼飛行器的動力學方程(5)可知,其控制系統(tǒng)是內外環(huán)控制結構,其結構如圖2所示,因此可將其分為姿態(tài)控制回路和位置控制回路,并分別進行控制器設計。(zd,xd,yd)表示位移的期望輸入,(φd,θd,ψd)表示姿態(tài)的期望輸入,(z,x,y)表示位移的實際值,(φ,θ,ψ)表示姿態(tài)的實際值,(U1,U2,U3,U4)表示控制系統(tǒng)的控制量。

圖2 四旋翼無人機控制結構Fig.2 Diagram of quadrotor UAV control structure

將期望的位置輸入與實際的位置做差,形成跟蹤誤差信號,根據反步法原理設計出位置控制器U1x、U1y、U1z,然后再反推出U1。進入姿態(tài)內環(huán)后,可以由Ux和Uy反解得到期望的姿態(tài)角φd和θd,再將期望的姿態(tài)角與實際的姿態(tài)角進行比較,形成跟蹤誤差信號,依據反步法原理即可得到U2、U3和U4。

(6)

式中:U1、U2、U3、U4為控制量,a1=(Iy-Iz)/Ix;a2=(Iz-Ix)/Iy;a3=(Ix-Iy)/Iz;b1=l/Ix;b2=l/Iy;b3=l/Iz;Ux=(cosφsinθcosψ+sinφsinψ);Uy=(cosφsinθsinψ-sinφcosψ)。

以姿態(tài)控制回路中的滾轉角φd通道為例。由四旋翼飛行器的狀態(tài)空間方程式(6)可得帶有執(zhí)行器乘性故障的滾轉角子系統(tǒng)的表達式為:

(7)

定義滾轉角期望輸入φd=x1d,跟蹤誤差變量e1=x1d-x1,對其求導可得

(8)

引入虛擬控制量x2d,并定義跟蹤誤差變量

e2=x2-x2d。

(9)

(10)

取

(11)

式中,控制參數r1為大于0的常數。將式(11)代入到式(10),可得

(12)

為確保式(13)為負定,取

(14)

式中,控制參數r2為大于0的常數。由式(14)可得翻滾角φd的通道控制量

(15)

(16)

取參數α1估計值的自適應控制律

(17)

式中,自適應參數λ1為大于0的常數。此時,選取李雅普諾夫函數

(18)

對其求導并將式(13)代入可得

將式(16)代入式(19)可得

(20)

根據李雅普諾夫穩(wěn)定性定理,可以判斷出使用上述自適應控制律時,該系統(tǒng)能夠漸進穩(wěn)定。同理,定義俯仰角θd=x3d、偏航角ψd=x5d,并且定義e3=x3d-x3,e5=x5d-x5。則俯仰角θd和偏航角ψd的通道控制量分別為:

(21)

參數α2和α3估計值的自適應控制律分別為:

(22)

式中,控制參數r3、r4、r5、r6、λ2、λ3皆為大于0的常數。

(23)

取參數α4估計值的自適應控制律

(24)

式中,控制參數λ4為大于0的常數。則水平控制通道在x、y軸上的通道控制量分別為:

(25)

由四旋翼無人機的內外環(huán)結構可知,無人機的水平運動由姿態(tài)角間接控制,因此通過反解無人機在x、y軸方向上的控制量Ux和Uy,就能夠得到期望的翻滾角φd與俯仰角θd,即反解非線性約束:

(26)

反解可得:

(27)

由以上的設計過程可以看到,根據四旋翼飛行器的內外環(huán)控制結構,通過分別對姿態(tài)和位置回路進行控制器的設計,可以有效地利用并解決其驅動特性和強耦合特性。當無人機發(fā)生執(zhí)行器乘性故障時,通過分別設計相應的自適應律,可以使其保持穩(wěn)定,并實現(xiàn)無人機的位置、姿態(tài)的跟蹤控制。

3 仿真示例

選擇無人機位置初始值為[0,0,0]T,偏航角ψ的期望值ψd=0 rad,期望的懸停位置為[1,1,1]T。選擇控制器參數ci=1,i=1,…,10;c11=2;c12=2。在t=10 s時引入執(zhí)行器乘性故障因子α1=0.9,α2=0.72,α3=0.8,α4=0.9。四旋翼無人機的自身參數見表1。

表1 四旋翼無人機相關參數Table 1 Quadrotor UAV related parameters

在執(zhí)行器發(fā)生乘性故障的情況下,引入普通反步算法和自適應反步算法的對比試驗。選取自適應反步容錯算法中自適應律增益參數為λ1=0.005、λ2=4、λ3=2、λ4=2。根據前面的推導,要求這些增益參數為大于0的常數,依據相應的狀態(tài)方程選擇合適的參數值,再根據仿真實驗結果修正其具體數值,以達到滿意的結果。通過Simulink進行仿真后得到的兩個算法的X軸方向、Y軸方向和Z軸方向的位置跟蹤對比曲線如圖3所示,姿態(tài)角的跟蹤曲線如圖4所示。

(a) X軸方向(b) Y軸方向(c) Z軸方向

(a) 翻滾角通道(b) 俯仰角通道(c) 偏航角通道

從圖3的跟蹤曲線可以看出,在10 s處引入執(zhí)行器故障后,基于普通反步法的位置曲線迅速偏離軌道,并且不能自我調節(jié)至期望位置。而基于自適應反步法的控制器由于具有容錯功能,在發(fā)生執(zhí)行器乘性故障后,輸出曲線在一開始會產生較小的超調量,但都能在8 s內快速穩(wěn)定至期望狀態(tài),穩(wěn)態(tài)誤差為0。

從圖4跟蹤曲線可以看出,在10 s處引入執(zhí)行器故障后,基于普通反步法的姿態(tài)角曲線前期會產生較大的超調且偏離軌道,不能自我調節(jié)至期望位置。而基于自適應反步法的控制器由于具有容錯功能,在發(fā)生執(zhí)行器乘性故障后,翻滾角和俯仰角的跟蹤曲線在一開始產生的超調量比基于反步算法的小,能在10 s內快速穩(wěn)定至期望狀態(tài),且穩(wěn)態(tài)誤差為0;從偏航通道的輸出曲線可以看出偏航通道的跟蹤效果很好,產生的超調量較小,最大誤差僅為0.04,在18 s左右就能到達穩(wěn)定狀態(tài),穩(wěn)定速度較快。

4 結 論

為解決四旋翼無人機控制系統(tǒng)在發(fā)生執(zhí)行器故障時的穩(wěn)定性問題,本文提出了一種基于自適應反步法的容錯控制器設計方法。通過仿真實驗可以看出,基于反步算法設計出的控制器在無人機正常工作時具有較好的控制效果,但在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下,其控制效果并不理想。而基于自適應反步算法設計出的控制器具有相應的容錯功能,在無人機正常工作時具有較好的控制效果,在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下仍能實現(xiàn)無人機的定點飛行,且各通道跟蹤效果較好。該控制器能夠使無人機在發(fā)生故障的情況下迅速達到期望位置。