簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩個(gè)定義的等價(jià)推證與實(shí)踐應(yīng)用

許冬保 朱文惠

(1. 九江市第一中學(xué),江西 九江 332000; 2. 九江市濂溪區(qū)第一中學(xué);江西 九江 332000)

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng),是理想化的物理模型.現(xiàn)行教材[1-2]從運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)兩個(gè)視角,分別給出了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義.由此引起教學(xué)上的困惑,為什么給出兩個(gè)定義?兩個(gè)定義是否是等價(jià)關(guān)系?在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),如何有效地選用定義來(lái)處理問(wèn)題.

1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)定義

1.1 定義1——運(yùn)動(dòng)學(xué)定義

如果物體的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律,即它的振動(dòng)圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線,這樣的振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

1.2 定義2——?jiǎng)恿W(xué)定義

如果物體在運(yùn)動(dòng)方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比,并且總是指向平衡位置,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

1.3 等價(jià)性推證

定義1與定義2并非獨(dú)立的,兩者描述的角度不同,但兩者是等價(jià)的,由一個(gè)定義可以導(dǎo)出另一個(gè)定義.以下以彈簧振子為例進(jìn)行分析.

1.3.1 由定義1導(dǎo)出定義2

如圖1所示,把連在一起的彈簧和小球穿在光滑水平桿上,彈簧左端固定在支架上,小球可以在桿上滑動(dòng),桿非常光滑,小球滑動(dòng)時(shí)的摩擦力可以忽略,彈簧的質(zhì)量比小球的小得多,也可以忽略.這樣就構(gòu)成了一個(gè)彈簧振子.它是一個(gè)理想化模型.

圖1 彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型

如圖1所示,使小球偏離平衡位置O一段距離,由靜止釋放小球,小球在回復(fù)力F作用下,以O(shè)點(diǎn)為平衡位置來(lái)回振動(dòng),在O點(diǎn)右側(cè)任意選擇一個(gè)位置P,該時(shí)刻t=0,相對(duì)O點(diǎn)的位移為x.若彈簧的勁度系數(shù)為k,選O為坐標(biāo)原點(diǎn),取向右為x軸正方向,小球相對(duì)平衡位置的位移x隨時(shí)間t按正弦(或余弦)規(guī)律變化.即

x=Asin(ωt+φ0).

(1)

由速度及加速度的定義,結(jié)合微分知識(shí)可得

(2)

(3)

對(duì)于某一時(shí)刻t,由式(1)(2)得到

(4)

上述表達(dá)式中,A、ω、φ0分別表示振幅、圓頻率、初相位.A、φ0由初始條件(x0,v0)確定,這里x0為初位移,v0為初速度.由式(1)(2)可得關(guān)系式[3]

由式(1)(3)知a=-xω2.結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律,有F=-xmω2.令k=mω2,則

F=-kx.

(5)

1.3.2 由定義2導(dǎo)出定義1

如圖1所示,小球在P處,考慮到力F與x的方向,由胡克定律可以直接得到(5)式.同理,小球在O點(diǎn)左側(cè)某位置Q,所受回復(fù)力F具有與式(5)相同的形式.

設(shè)P處的加速度大小為a,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律,有ma=-kx,即

綜上,方程(1)(5)分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的視角描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),兩者是等價(jià)的,均可作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判據(jù).由上述分析還可以得到簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式

2 實(shí)踐應(yīng)用

彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其位移、速度、加速度等物理量隨時(shí)間按正弦(或余弦)規(guī)律變化,并且對(duì)平衡位置具有時(shí)間、空間上的對(duì)稱性.由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)定義是等價(jià)的,因此,在具體問(wèn)題的分析中,可以根據(jù)問(wèn)題的已知信息及待求的物理量,靈活地選擇相關(guān)定義來(lái)分析.

2.1 x-t表達(dá)式分析

(1) 振幅和周期; (2) 質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)受到的作用力.

評(píng)述: 理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式中各量的物理意義是解決問(wèn)題的基礎(chǔ).關(guān)于問(wèn)題(2),也可以由定義2出發(fā)求解.根據(jù)k=mω2,得到k=6.25×10-3N/m.由于在t=0時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位移為x=-6 cm,同樣由F=-kx可得作用力F=3.75×10-4N.

2.2 x-t圖像分析

例2.一彈簧振子沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn).t=0時(shí)振子的位移為-0.1 m;t=1 s時(shí)位移為0.1 m,則

(C) 若振幅為0.2 m,振子的周期可能為4 s.

(D) 若振幅為0.2 m,振子的周期可能為6 s.

解析:由彈簧振子的x-t圖像進(jìn)行分析.彈簧振子振動(dòng)的位移設(shè)為x=Asin(ωt+φ0).若振幅為0.2 m,且t=0時(shí)刻,位移為-0.1 m, 即-0.1=0.2sinφ0,此時(shí)速度不為0,其振動(dòng)方向可能遠(yuǎn)離平衡位置,振動(dòng)圖像如圖2所示;振動(dòng)方向也可能指向平衡位置,如圖3所示.

圖2 x-t圖像分析1

圖3 x-t圖像分析2

圖4 參考圓分析

令n=0,上述各式中分別可得到Tmax.同樣,取振幅為0.1 m進(jìn)行討論,所得結(jié)果同上.

2.3 動(dòng)力學(xué)視角分析

例3.兩位外星人A和B生活在一個(gè)沒(méi)有自轉(zhuǎn)的勻質(zhì)球形星體上,有一次他們決定進(jìn)行一場(chǎng)比賽,看誰(shuí)先到達(dá)星球的對(duì)徑位置.A計(jì)劃沿著星體直徑開一個(gè)隧道,采用自由下落的方式到達(dá)對(duì)徑位置;B計(jì)劃像衛(wèi)星一樣沿著緊貼星球表面的空間軌道飛到對(duì)徑位置.問(wèn);誰(shuí)會(huì)贏得這場(chǎng)比賽?(已知均勻球殼對(duì)其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的引力為零)[4]

圖5 星體隧道中分析

由于TA=TB,則比賽以平局告終.

評(píng)述:由定義2得到,外星人A在隧道中做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).導(dǎo)出的過(guò)程與彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證相同.對(duì)于一個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的論證,從定義2出發(fā)思路清晰,自然流暢,合乎探究的邏輯脈絡(luò).

2.4 多視角分析

例4.如圖6所示,固定在天花板上的輕桿將光滑輕質(zhì)小定滑輪懸掛在空中,一根彈性輕繩一端固定在左邊墻壁上A點(diǎn),另一端與套在粗糙豎直桿上P點(diǎn)、質(zhì)量為m的滑塊連接,用手平托住滑塊,使ABP在一條水平線上.繩的原長(zhǎng)與A點(diǎn)到滑輪距離AB相等,BP之間的距離為d,繩的彈力F與其伸長(zhǎng)量x滿足胡克定律F=kx.滑塊初始在P點(diǎn)時(shí)對(duì)桿的彈力大小為mg,滑塊與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2.現(xiàn)將滑塊由靜止釋放,當(dāng)滑到Q點(diǎn)時(shí)速度恰好為0,彈性繩始終處在彈性限度內(nèi),重力加速度為g.

圖6 滑塊的振動(dòng)

(1) 證明滑塊從P到Q的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);

(2) 滑塊從P到Q又從Q沿桿上滑速度再次減至零的整個(gè)過(guò)程通過(guò)的路程.

解析: (1) 證明滑塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),以下給出兩種方法.

視角1:定義2分析.

圖7 滑塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)推證1

F=mg-Ff-FTcosα.

式中,Ff=μFN.由平衡條件及已知信息,得FN=kd=mg,因此

視角2:定義1分析.

若滑塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),參考圖7,則P、Q連線中點(diǎn)O為平衡位置,假設(shè)滑塊振動(dòng)的振幅為A,由于在平衡位置O,滑塊的合力為0,故有mg=kA+μmg.已知kd=mg,則A=0.8d.

若某時(shí)刻通過(guò)任意位置M的速度為v,M相對(duì)平衡位置O的位移為x.由功能關(guān)系,有

式中,|Wf|為克服摩擦力所做的功,且|Wf|=μmg(A-x);ΔEp為彈性勢(shì)能的增加量,即

解得

(2) 視角1:定義2分析.

用定義2分析推證,方法同上.

如圖8所示,滑塊從Q沿桿上滑至任意位置M′,運(yùn)動(dòng)位移s′,令O′為平衡位置,相對(duì)O′位移大小為x′.取向上為正方向,滑塊在M′點(diǎn)受到沿桿方向的合力為

圖8 滑塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)推證2

F=k(2A-s′)-mg-μmg=

視角2:能量觀念分析.

由問(wèn)題(1)已得到,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A=0.8d,對(duì)應(yīng)的路程為l1=2A=1.6d;參考圖8,對(duì)于滑塊從Q上滑到速度減至0的過(guò)程,設(shè)該過(guò)程對(duì)應(yīng)的路程為l2,根據(jù)能量守恒定律,有

(1+μ)mgl2.

解得l2=0.8d.因此,兩次振動(dòng)的總路程l=l1+l2=2.4d.

評(píng)述: 彈性繩等效彈簧,彈性繩與滑塊構(gòu)成彈簧振子模型.從定義1及定義2出發(fā)分析論證滑塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).通過(guò)比較不難發(fā)現(xiàn),用定義2推證滑塊的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),更加簡(jiǎn)潔.教材上在分析單擺的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),正是使用定義2進(jìn)行推證.需要說(shuō)明的是,本題中滑塊受到摩擦力作用,滑塊的振動(dòng)屬阻尼振動(dòng),在振動(dòng)過(guò)程中,交替改變平衡位置,振幅不斷減小,直到最后停下來(lái).[5]但是在特定的半個(gè)周期(即從平衡位置的一端到另一端)內(nèi),由于阻力大小恒定,滑塊做區(qū)域簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).每個(gè)區(qū)域簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均相同.若設(shè)問(wèn)中只需求兩次振動(dòng)的總路程,則用能量守恒定律或功能關(guān)系求解更方便.