“小題大做”中的學科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

2022年高考全國卷體現(xiàn)了鮮明時代主題,強化對學生的價值引領(lǐng)并引導(dǎo)學生全面發(fā)展.高考試題堅持通性通法在解題中的運用,同時重視對核心素養(yǎng)的考查,題目形式較靈活,這也有利于引導(dǎo)中學教學回歸正常軌道,避免一味練習傳統(tǒng)的難題怪題.下面筆者通過2022年兩道高考選擇題的多角度解析,梳理出比較兩個數(shù)的大小常用的方法和基本原理,剖析了命題者的目的,從考查學生的學科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的方式方法上進行了分析,并給出了教學建議.

1.題目與求解

【例1】(2022·全國甲卷文·12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則

( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【解題思路】

【點評】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知m=log910>1,再利用基本不等式、換底公式可得m>lg11,log89>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

因為a=10m-11=10m-10lg11,

所以a=10m-10lg11>0.

綜上,a>0>b,故選A.

【點評】通過對數(shù)恒等式,將問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的運算問題.利用基本不等式進行放縮解決問題.

令h(x)=xlnx-(x+1)ln(x+1),x>1,

則h′(x)=lnx-ln(x+1)<0,

所以h(x)

所以f′(x)<0,所以f(x)單調(diào)遞減,

所以log89>log910>log1011,

所以a=10m-11>10lg11-10lg11=0,

【點評】此方法中關(guān)注了冪的變化規(guī)律,從而構(gòu)造出函數(shù)f(x),利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

解法四:由9m=10,所以a=10m-11=10m-10-1=10m-9m-1,

b=8m-9=8m-10+1=8m-9m+1.

令f(x)=(t+1)x-tx(t>1,x>1),

則f′(x)=(t+1)xln(t+1)-txlnt>0,

所以f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)>f(1)=1,

則a=10m-11>10lg11-11=0,

b=8m-9<8log89-9=0.

綜上,a>0>b,故選A.

【點評】此方法中關(guān)注了底的變化規(guī)律,從而構(gòu)造出函數(shù)f(x),利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

綜上,a>0>b,故選A.

【點評】此方法中關(guān)注了條件和結(jié)論間的關(guān)系,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

( )

A.a

C.c

總體思路一:構(gòu)造函數(shù)法

比較兩個數(shù)的大小常用方法是構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.構(gòu)造函數(shù)的基本思路是根據(jù)兩個數(shù)的結(jié)構(gòu)特點,聯(lián)想到相關(guān)知識從而構(gòu)造出適合自身知識結(jié)構(gòu)的函數(shù),進而解決問題.構(gòu)造出的函數(shù)形式因人而異,形式多變,體現(xiàn)出對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力,也是創(chuàng)新思維的具體表現(xiàn).

對于a,b的大小比較方法主要有下面的解法:

所以設(shè)f(x)=ln(1+x)-x(x>-1),

當x∈(-1,0)時,f′(x)>0,當x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,

所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,

故a

令u(x)=(x-x2)ex-x(0

則u′(x)=(1-x-x2)ex-1,

令t(x)=(1-x-x2)ex-1(0

則t′(x)=(-3x-x2)ex,

因為0

所以u′(x)<0,所以u(x)

解法三:由題得lna-lnb=0.1+ln(1-0.1),

令f(x)=x+ln(1-x)(0

所以f(0.1)

對于a,c的大小比較方法主要有下面的方法:

由于a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1),

令h(x)=ex(x2-1)+1,h′(x)=ex(x2+2x-1),

當0

所以當0

所以當00,函數(shù)g(x)=xex+ln(1-x)單調(diào)遞增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1>-ln0.9,所以a>c,故c

總體思路二:利用近似計算

近似計算是數(shù)據(jù)處理常用的方法,以直代曲是微積分的精髓,也是進行近似計算的常用方法.通過切線進行近似是中學中常用的近似方法.

解法一:ex在(0,1)的切線方程是y=1+x,所以ex≈1+x,

ln(1+x)在點(0,0)處的切線是y=x,所以ln(1+x)≈x,

c=-ln0.9=-ln[1+(-0.1)]≈-(-0.1)=0.1,

所以c

所以c

基本思路三:放縮法

放縮法是常用的數(shù)學方法,在解決各類數(shù)學問題中經(jīng)常用到,其理論基礎(chǔ)是不等式的傳遞性,因此可以把要比較的兩個數(shù)進行適當?shù)姆糯蠡蚩s小,使復(fù)雜的問題得以簡化,來達到比較兩個實數(shù)的大小的目的.

因為ex>1+x(00.1(1+0.1)=0.11,

所以a>0.11,所以a>c.

綜上,c

2.命題意圖與試題評析

2.1 命題意圖

我們可以看到,以上兩個題目分別以學生熟悉的指對運算為背景,從學生非常熟悉的知識出發(fā),考查學生比較數(shù)的大小的常用方法.學生可以通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,從而判斷數(shù)的大小關(guān)系,也可以通過放縮法,或估值法對數(shù)據(jù)進行處理,最終得到數(shù)據(jù)的大小關(guān)系.題目可以很好的考查學生的邏輯推理能力、運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力.從思想方法的角度看,可以很好的考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,以及數(shù)據(jù)估算與近似估計的思想.體現(xiàn)數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng),從而考查學生的關(guān)鍵能力以及必備知識的掌握程度.

2.2 試題評析

數(shù)的大小比較問題是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型,題目的背景靈活多變,可以在多個知識點設(shè)置題目,綜合性強,靈活度高,并且難度比較好控制.今年這兩道比較大小的問題解題方法靈活多變,綜合性強,有效地規(guī)避了經(jīng)常用的特殊值法,達到了去模式化、套路化的目標.試題設(shè)計的非常新穎,不僅有高度,還有深度,充分體現(xiàn)創(chuàng)新性,有效地規(guī)避解題的套路化,回歸數(shù)學本質(zhì).用學生熟悉的知識背景,設(shè)計開放、靈活的題目,考查學生對學科內(nèi)涵的理解廣度與深度,從而考查學生的數(shù)學素養(yǎng),更好的服務(wù)創(chuàng)新型人才的選拔.

3.探本溯源

比較兩個數(shù)的大小是教材當中貫穿教學的一條內(nèi)在主線,從預(yù)備知識開始就進行比較兩個數(shù)的大小的基本方法.從基本事實:a,b∈R,a>b,a-b>0;a=b,a-b=0;a

4.教學建議

4.1 立足必備知識 提升核心素養(yǎng)

《課程標準》、《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》是備考與命題的綱領(lǐng)性文件,結(jié)合高考試題,仔細研究這些文件在高考試題中是如何與四基四能相結(jié)合,怎樣通過創(chuàng)新題目設(shè)置方式和背景,從而考查學生的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng),教師在備課時把這些研究透徹后,就可以很好的把握命題方向,在復(fù)習時實現(xiàn)事半功倍的效果.教師要轉(zhuǎn)變自身的教育理念,聚焦于核心素養(yǎng),在《課程標準》和《中國高考評價體系》的指引下重塑知識間的關(guān)系,以核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力重新審視高中知識和方法,從而轉(zhuǎn)變對于學生的培養(yǎng)方案和教學模式.使教師不僅僅是知識和方法的傳授者,更應(yīng)該是學生學習思想和方法的引領(lǐng)者.

教師可以對同一個問題創(chuàng)設(shè)不同的情境,采用不同的表述方式,多角度,多層次的考查學生的學科素養(yǎng),學生在解題基本活動經(jīng)驗的積累過程中,根據(jù)各類試題的特點,歸納總結(jié)出解決某類問題的基本思路與方法,從而提煉通性、通法,如函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,利于提升學生的學科核心素養(yǎng).

4.2 注重知識的綜合應(yīng)用,提升關(guān)鍵能力