基于高考情境化試題的命題研究
——以四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題為例

朱 彬 胡曉靜

(1.湖南省長沙市南雅中學(xué);2.湖南省長沙市雨花區(qū)雅境中學(xué))

2023年度高考藍皮書《中國高考報告(2023)》中,對2023年高考數(shù)學(xué)命題變化提出“考試加入復(fù)雜情境”,這一變化在不久前出爐的由教育部命制的四省(安徽、云南、吉林、黑龍江)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題中得以落地生花,整套試卷突出情境命題,像球形幾何、圓周率中的強弱率、開關(guān)陣列、養(yǎng)魚、橢圓曲線區(qū)塊鏈等新穎情境試題悉數(shù)登場,既融入了中國傳統(tǒng)文化,又體現(xiàn)了中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用,充分呈現(xiàn)出“無情境,不成題”的特征,對2023年的全國新高考復(fù)習(xí)備考有著非常明確的指導(dǎo)意義和導(dǎo)向作用.為此,本文對四省聯(lián)考出現(xiàn)的新情境試題進行研究,并從中得到教學(xué)啟示,供2023屆全國新高考地區(qū)師生在臨考階段復(fù)習(xí)備考時參考.

一、試題解析

1.新定義情境

這類題型是指試題給出中學(xué)數(shù)學(xué)沒有出現(xiàn)過的一些新概念、新性質(zhì)、新符號、新運算等情境,在讀懂、理解新定義的基礎(chǔ)上,要求考生主動思考,通過將新定義信息遷移,建立新知識與已有知識的聯(lián)系,進而分析并解決問題.

【例1】(2023·四省聯(lián)考·22)橢圓曲線加密算法運用于區(qū)塊鏈.

(Ⅰ)當(dāng)4a3+27b2=0時,討論函數(shù)h(x)=x3+ax+b零點的個數(shù);

(Ⅲ)已知P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,且直線PQ與C有第三個交點,求P⊕Q的坐標(biāo).

參考公式:m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2).

當(dāng)b>0時,h(x2)=0,所以h(x)有2個零點;

當(dāng)b<0時,h(x1)=0,所以h(x)有2個零點.

當(dāng)a=0時,b=0,則h(x)有1個零點.

【點評】本題情境豐富,對數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求高,既有新定義運算情境,又有高等數(shù)學(xué)情境;既考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,但又不全盡然,需要在充分閱讀、理解所給信息的基礎(chǔ)上,通過推理論證才能完成解答,有效考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),是一道情境頗為新穎的壓軸題.

2.新設(shè)問情境

這類題型在設(shè)問角度或方向上進行創(chuàng)新,要求考生能綜合運用所學(xué)知識進行探究,分析問題并最終解決問題.

【例2】(2023·四省聯(lián)考·8)已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則

( )

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

故a

當(dāng)0

【點評】本題作為單選壓軸題,從題設(shè)條件到選項的設(shè)置,其情境都十分的新穎.求解本題的方法較多,若從單選題的題型特點考慮,可有下面的“秒殺”方法:當(dāng)b→0時,a→log52,c→-∞,可知選B.請大家體會.

3.知識結(jié)合情境

這類題型往往不囿于單一的知識點,而是強調(diào)知識間的整合,在知識的結(jié)合點處創(chuàng)新情境進行命題,這是高考數(shù)學(xué)命題的一種重要趨勢.

( )

綜上,故選ABD.

【點評】本題設(shè)置三角函數(shù)模型在物理質(zhì)點的圓周運動中的應(yīng)用情境,結(jié)合物理內(nèi)容考查三角函數(shù)的知識和應(yīng)用,體現(xiàn)了跨學(xué)科間的相互支撐、相互補充,這類情境問題有意識地將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科交叉、融合,對于促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展具有很大的作用.

4.新載體情境

這類題型的命題載體往往打破常規(guī),不受某些知識覆蓋面的約束,與數(shù)學(xué)學(xué)科中的內(nèi)容也沒有直接和太多的聯(lián)系,不是課本中固有的知識或模型,但對理解、分析、判斷和邏輯推理能力卻有著較高的考查要求.

【例4】(2023·四省聯(lián)考·16)如圖為一個開關(guān)陣列,每個開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài),按其中一個開關(guān)1次,將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài).例如,按(2,2)將導(dǎo)致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改變狀態(tài).如果要求只改變(1,1)的狀態(tài),則需按開關(guān)的最少次數(shù)為________.

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

【解析】把9個開關(guān)分成兩組:A組為(1,2),(2,1),(2,3),(3,2);B組為(1,1),(2,2),(1,3),(3,1),(3,3).按下A組開關(guān)可改變偶數(shù)個開關(guān)的狀態(tài),按下B組開關(guān)可改變奇數(shù)個開關(guān)的狀態(tài).若只改變(1,1)的狀態(tài),則B組開關(guān)必須按下奇數(shù)次.另外,按下同一個開關(guān)兩次不會改變?nèi)魏螤顟B(tài),所以為了讓次數(shù)盡可能小,每個開關(guān)最多只按一次.

根據(jù)上面的分析,按下(1,1),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)可使得最終只改變(1,1)的狀態(tài),且不存在按開關(guān)次數(shù)更少的方法.

故需按開關(guān)的最少次數(shù)為5.

【點評】本題不屬于某個數(shù)學(xué)知識點,而是在閱讀圖表、理解分析的基礎(chǔ)上進行推理判斷的,考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及直觀想象等核心素養(yǎng).

5.數(shù)學(xué)文化情境

這類題型以弘揚中華傳統(tǒng)文化,增強數(shù)學(xué)文化浸潤,吸收世界數(shù)學(xué)文化的精華為情境命題,引導(dǎo)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)文化,體現(xiàn)立德樹人總目標(biāo)的要求.

【點評】本題以圓周率為命題情境,給出弱率和強率的定義,并以此進行分析、推理解答.我國古代的數(shù)學(xué)家在圓周率方面的研究,成績特別突出.祖沖之對圓周率的研究成果,讓我們感到十分驕傲和自豪.

( )

A.sinβ=sinγcosδ

B.cosβ=cosγcosδ

故選ACD.

【點評】本題以元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算為命題情境,在滲透數(shù)學(xué)文化的同時,考查了空間幾何體線面垂直的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)定義的應(yīng)用,考查邏輯推理核心素養(yǎng).

6.高等數(shù)學(xué)情境

這類題型注重從高中到大學(xué)的銜接,將大學(xué)有關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識下放,以高等數(shù)學(xué)知識為情境命題,然后應(yīng)用中學(xué)所學(xué)的知識解答,既可以開闊考生知識視野,有利于考生完成初等與高等知識的和諧銜接,又能夠考查考生運用高中知識分析、解決問題的能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).比如例1第22題的橢圓曲線,例6第12題的球面幾何,例7的極大似然估計等,都是高等數(shù)學(xué)情境、中學(xué)知識解答的典型試題.

7.實際應(yīng)用情境

給出現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際、科學(xué)研究等問題情境,與數(shù)學(xué)知識、方法建立聯(lián)系,構(gòu)造并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問題.

【例7】(2023·四省聯(lián)考·20)一個池塘里的魚的數(shù)目記為N,從池塘里撈出200尾魚,并給魚作上標(biāo)識,然后把魚放回池塘里,過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚,X表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識的魚的數(shù)目.

(Ⅰ)若N=5 000,求X的數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識,試給出N的估計值(以使得P(X=15)最大的N的值作為N的估計值).

(Ⅱ)當(dāng)N<685時,P(X=15)=0;

故當(dāng)N=6 666時,σ(N)最大,所以N的估計值為6 666.

【點評】本題以實際應(yīng)用情境考查超幾何分布的概率公式、數(shù)學(xué)期望公式的應(yīng)用.其實該題是試驗研究中常用的“標(biāo)志重捕法”,讓考生用中學(xué)數(shù)學(xué)知識詮釋概率論與統(tǒng)計知識的可行性,銜接高中與大學(xué)的數(shù)學(xué)知識,考查“數(shù)學(xué)的應(yīng)用”.

二、方法程序

解答數(shù)學(xué)情境化試題一是要全面審視各相關(guān)材料之間的關(guān)系,注意問題的整體結(jié)構(gòu);二是要尋求合理解決問題的思路、方法和途徑,其思維過程的程序框圖是:

具體地說,1.閱讀材料,理解題意:弄清題目中材料所表達的含義,并進行比較、分析、綜合、抽象與概括,領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實質(zhì),為制訂解題策略作準(zhǔn)備.

2.整合材料,明確方向:在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上,有目的地對外來的和內(nèi)在的信息進行提取、轉(zhuǎn)化、加工、整合和傳輸,從而明確解題的目標(biāo)與方向.

3.聯(lián)想類比,分析求解:聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)換為相關(guān)知識或方法,采用適當(dāng)?shù)牟襟E,合乎邏輯地進行推理判斷或演算,實現(xiàn)解題目標(biāo).

三、教學(xué)啟示

2023年度高考藍皮書《中國高考報告(2023)》在高考評價體系內(nèi)在的三條邏輯線中有這樣一段描述:“通過合理創(chuàng)設(shè)情境,設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式,促使學(xué)生主動思考,發(fā)現(xiàn)新問題、進行新解釋、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論.”無論是從這段描述還是從四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題中,可以預(yù)測2023年高考命題將更加重視對情境創(chuàng)新性的考查,這就要求我們在臨考復(fù)習(xí)備考階段重視和加強對數(shù)學(xué)創(chuàng)新型問題的研究.那么,高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意哪些問題?下面提出幾方面建議,供讀者參考.

1.高考數(shù)學(xué)命題復(fù)雜情境越來越多、越新,閱讀理解、計算要求也越來越高,在教學(xué)中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生加強針對數(shù)學(xué)情境化試題的訓(xùn)練,進一步提高閱讀理解、推理論證和探索求解能力.要想讓學(xué)生考出理想的成績,復(fù)習(xí)中要多指導(dǎo)學(xué)生提升閱讀量,不懼怕試卷中題干較長的題目,而是迎難而上,抽絲剝繭般分析究竟想表達什么意思.

2.復(fù)習(xí)備考要重視抓基礎(chǔ)知識的理解和變通;重視典型題目中的基本方法總結(jié),哪個方法在什么情況下使用要理順;要引導(dǎo)學(xué)生注重思考、總結(jié)和自主探究,這樣可以在一定程度上提高解決創(chuàng)新問題的能力.

本文系長沙市教育科學(xué)院“十三五”規(guī)劃課題“信息技術(shù)與中小學(xué)數(shù)學(xué)生命化課堂的深度融合研究”(CJK2019014)階段性成果.