灰色馬爾科夫模型在過程性學習評價中的應用

馬永梅 陳佩樹 彭維才 汪峰 朱睿

文章編號：1003?6180（2023） 03?0019?05

摘? 要：以過程性評價為灰數(shù)，建立灰色馬爾科夫預測模型.通過實證研究建立灰色評價等級和灰色轉移概率矩陣，預測學生后期學習狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)學生的學習狀態(tài)轉移明顯，在未來三學期的學習狀態(tài)幾乎趨于平衡點.

關鍵詞：灰色馬爾科夫模型；過程學習評價；灰色轉移概率矩陣；狀態(tài)轉移

[? ?中圖分類號? ? ]O213 [? ? 文獻標志碼? ?]? A

The Application of Grey Markov Model in Process

Learning Evaluation

MA Yongmei1*，CHEN Peishu1，PENG Weicai1，WANG Feng2，ZHU Rui1

（1.Department of Mathematics and Statistics，Chaohu University，Chaohu，238000，China；

2.Graduate School，Nanjing University of information engineerin，Nanjing 210046，China）

Abstract：A Grey Markov prediction model was established with the process evaluation as the grey number. Through the empirical study to establish the gray evaluation level，using the gray transfer probability matrix to predict the learning status of students. It is found that the learning state of the students has a significant shift，and the learning state of the students in the next three semesters tends to the equilibrium point.

Key words：grey Markov model； process learning evaluation； grey transition probability Matrix； state transition

大學生學習過程的學習狀態(tài)是不斷改變的，積極的學習狀態(tài)是學生取得優(yōu)異成績的保障，也是一個班級形成良好學風的關鍵.高凌飚認為，過程性學習評價不是對微觀意義上學習過程的評價，它不僅注重過程也注重結果，是對課程實施意義上的學習動機、過程和效果的三位一體的評價.[1]前期關于過程性評價的研究很多，涉及了不同的研究方法.[2-16]大學生的學習過程是動態(tài)變化的，一段時期的狀態(tài)保持會直接影響這個時期的學習效果，而下一時期的學習效果，與最近這個時期的學習狀態(tài)相關程度最高，而與前一時期的狀態(tài)關系不大，這個過程可以近似看作一個馬爾科夫過程.學生學習過程中有一些信息是已知的，有一些信息是未知的，因此，學生整個的學習狀態(tài)應該是灰色的，整個學習過程可以理解為一個灰色過程. 本研究以某高校2020級數(shù)學與應用數(shù)學一個班的學生為研究對象，以概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程為例，動態(tài)觀察學生的學習狀態(tài)，分析學習狀態(tài)的變化情況，將過程性評價結果與期末考試進行對比分析，通過全體學生的學習狀態(tài)分析整個班級的學風變化，從而給班級管理提出合理建議.

1 模型的構建

定義1 設[{Xn，n∈T}] 為隨機過程，若對于任意的整數(shù)[n∈T] 和任意的狀態(tài)[i0，i1…in+1∈I]，條件概率滿足

2 實證分析

某高校2000級數(shù)學與應用數(shù)學某班有49名學生，在2021-2022學年開設概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程，課程分兩個學期完成，采用學習通互動教學平臺記錄學生的作業(yè)、測試、簽到、主題討論、章節(jié)學習次數(shù)的情況.

課堂表現(xiàn)由任課教師根據(jù)學生的平時表現(xiàn)進行區(qū)間打分.評價標準為：

（1）章節(jié)學習次數(shù)（10%），章節(jié)學習次數(shù)大于300次滿分.

（2）作業(yè)（20%），取多次作業(yè)平均值.

（3）測試（20%），按所有考試的平均分計分.

（4）簽到（5%），按學生出勤率計分，出勤率=出勤次數(shù)/簽到總數(shù).

（5）主題討論（15%），發(fā)表一個話題累計2.0分，回復一個話題累計10.0分（同一話題下多次回復不重復得分），獲得一個贊累計 1.0分，最高100分.

（6）課堂表現(xiàn)（30%），根據(jù)學生平時表現(xiàn)在[0，100]進行區(qū)間評價.

課堂表現(xiàn)的評分是一個灰數(shù)，沒有給出具體的分值，比較符合教師對學生整體學習過程的評價特點，對學生的整體印象很難用一個具體的數(shù)來表示，一個區(qū)間范圍可能更合理一些，因此，在整個評價體系中，有一些信息已知，一些信息未知，要給學生做出評價還需要將灰數(shù)白化.為了方便計算，采用均值白化，即取區(qū)間端點平均值作為課堂表現(xiàn)的得分，按各項得分占比算出綜合得分作為學生的過程性考核評價成績. 根據(jù)學生的得分情況，劃分為四個灰色狀態(tài).（1）消極狀態(tài)：[?1∈[0，70）]，評價等級記為D；（2）一般狀態(tài)：[?2∈[70，80）]，評價等級記為C；（3）積極狀態(tài)：[?3∈[80，90）]，評價等級記為B；（4）非常積極狀態(tài)：[?4∈[90，100]]，評價等級記為A.

由頻數(shù)轉移矩陣發(fā)現(xiàn)，第二學期學生的學習狀態(tài)明顯轉移，尤其是處于A級的學生數(shù)明顯減少，大部分流入了B級，C級的人數(shù)也小幅增加，說明班級的學風有所下降.為了更好地證明推斷的有效性，對兩個學期學生期末考試的卷面成績進行分析.結果見表1.

兩個學期的期末考試成績差距比較明顯，班級平均分降低了7分左右，最低分由25分降到了5分.第二學期分數(shù)低于第一學期的人數(shù)竟高達32人，這個結果充分說明班級的學風確實有很大變化，如果不加干預，學生的學風還會持續(xù)惡化.預測后面幾個學期處于四個等級學生分布概率.

同理，計算出[PT（3）=PT（0）P（?）3，PT（4）=PT（0）P（?）4].預測結果見表2.

預測結果顯示，2021-2022學年第一學期處于B級的人數(shù)占比增加了17%左右，處于非常積極學習狀態(tài)的人數(shù)下降14%，和之前的49%差距明顯；處于一般狀態(tài)的學生由原來的8%上升至25%.這種變化是非常驚人的，說明大二下學期很多學生學習投入的熱情上明顯下降，如果繼續(xù)不加控制，到大三上學期學習狀態(tài)消極和學習狀態(tài)一般的學生占比將達到60%以上，學習非常積極的學生占比會減小至4%，整個班級的學風降為一般.

后面幾個學期變化逐漸趨于穩(wěn)定.概率矩陣[P（?）] 是標準概率矩陣，所以隨著時間的推移，整個班級的學習狀態(tài)達到均衡.假設均衡點為[∏=（π1，π2，π3，π4）]，則滿足

因此，如果不加管束和引導，班級的最終均衡狀態(tài)為[∏=（π1，π2，π3，π4）=（0.32，0.42，0.24，0.02）].從均衡點的結果來看，各個狀態(tài)的占比和2023-2024學年第一學期的結果相差不大，說明整個班級的學風變化影響最大的學期是后面的三個學期.

績點能夠有效評價學生的學習成績，根據(jù)學生的平均績點得分建立學業(yè)預警，對學生的學業(yè)有一定的監(jiān)督作用.以第二學期的期末成績?yōu)槔?，可計算出灰色績點損益矩陣

利用轉移概率矩陣預測出下一期的期望績點：

[v1（1）=1.5，? v2（1）=-1.725，? v3（1）=7.705，? v4（1）=34.558.]

如果大二考試結束后不對學生進行學風糾正，繼續(xù)任由學生發(fā)展，則一步轉移后的期望績點處于狀態(tài)C時，期望績點為負數(shù)；處于B狀態(tài)的期望績點也明顯偏低，說明班級學生成績下滑趨勢明顯，需要及時預警干預.

3 結論及建議

（1）灰色馬爾科夫模型能夠對含有灰數(shù)的指標進行等級評價，這種評價模式更加符合實際.

（2）通過灰色轉移概率矩陣可以預測整個班級學生的學習狀態(tài)，通過班級學風的變化及時制定對策，督促向消極方向轉變的學生調(diào)整學習狀態(tài).

（3）根據(jù)狀態(tài)轉移概率矩陣結果，狠抓大二年級的學風.

（4）提出改革績點計算方式，重構預警干預體系.

總之，過程性評價能夠根據(jù)學生在學習過程中的表現(xiàn)判斷每位學生的學習質(zhì)量和水平，有利于激發(fā)學生的自信心和學習動力，在班級管理中具有重要的作用，在實際教學中，要充分發(fā)揮過程性評價的優(yōu)勢，讓大學生學習過程更加高效.

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編輯：琳莉