SO*(2n)的極小和限制極小冪零軌道的維數(shù)*

蘭超，范興亞

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

軌道法自引進以來,一直是諸多領(lǐng)域中十分有用和強大的工具,這些領(lǐng)域包括: 李理論、群表示論、可積系統(tǒng)、復(fù)幾何和辛幾何以及數(shù)學(xué)物理等.設(shè)g 是域F 上的李代數(shù),定義l 是g 上的根基(李代數(shù)g 的極大可解理想).如果l{0},則稱g 是域F 上的半單李代數(shù)[1].特別的,當(dāng)F 為復(fù)數(shù)域且g 為有限維李代數(shù),則在g 中存在半單子代數(shù)s 使得gs⊕l 為直和分解.此分解稱為Levi 分解,一般而言,此分解不唯一[1].Levi 分解表明,要弄清楚一般李代數(shù)的結(jié)構(gòu),必須深刻理解可解李代數(shù)和半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu).對于復(fù)半單李代數(shù)而言,其結(jié)構(gòu)是非常清楚的.對于可解李代數(shù)而言,就目前為止,其結(jié)構(gòu)知之甚少[2].隨著人們對復(fù)半單李代數(shù)研究的深入,許多數(shù)學(xué)家開始研究此代數(shù)對應(yīng)的冪零軌道、Weyl 群的表示,以及包絡(luò)代數(shù)中的本原理想三者之間的關(guān)系[3].任何試圖理解或利用這些聯(lián)系的最終前提是: 對每一個對象都有一個很好的理解.比如有關(guān)冪零軌道分類問題,此問題最主要的是復(fù)冪零軌道的Dynkin-Kostant 和Bala-Carter 分類,還有導(dǎo)出冪零軌道的Lusztig-Spalsten 理論,進而對實冪零軌道進行分類等[3－4].在冪零軌道的分類問題中,冪零軌道的維數(shù)將是重點考慮的對象,特別的,極小冪零軌道的維數(shù)是連接Weyl 群表示和包絡(luò)代數(shù)中的本原理想的橋梁.

現(xiàn)在回到線性李代數(shù)上來.設(shè)GL(n,C) 是一般復(fù)線性群.此群通過共軛作用于其所對應(yīng)的李代數(shù)gl(n,C)上,相應(yīng)的軌道自然是矩陣的相似類[4].Jordan 理論告訴我們可以把半單部分和冪零部分兩類區(qū)分開來,即對角線矩陣表示的類是半單的,嚴(yán)格上三角矩陣表示的類是冪零的[1－2].特別的,冪零矩陣只有有限個相似類.更準(zhǔn)確地說,這類集合是由n 的剖分來參數(shù)化,并且在任何經(jīng)典半單李代數(shù)中都有一個非常相似的冪零軌道的參數(shù)化[3].

設(shè)so*(2n) 為SO*(2n) 的李代數(shù),θ 和τ 分別為so*(2n) 的Cartan 對合和共軛對合.U(n) 和SO(n,C) 的李代數(shù)分別為k{x ∈so*(2n):θ(x)x} 和h{x ∈so*(2n):τ(x)x}.設(shè)p 和q 為θ 和τ 的-1 的特征空間.容易驗證θττθ.通過文獻[9]的一般性討論,有so*(2n) 的正交分解

通過so*(2n)的限制冪零子代數(shù),本文給出了限制性極小冪零軌道的維數(shù)公式: 設(shè)n 為大于2 的偶數(shù)時,g+的極小冪零軌道的維數(shù)為n-2;當(dāng)n 為奇數(shù)時,g+的極小冪零軌道的維數(shù)為n-1.此外,利用so*(2n)基本余伴隨軌道,得到了極小冪零軌道的維數(shù)公式: 當(dāng)n 為奇數(shù)或偶數(shù)時,so*(2n)的極小冪零軌道維數(shù)為dimOα(1)+2,其中Oα(1) 是so*(2n) 的最高根的基本余伴隨軌道.

1 預(yù)備知識

本文規(guī)定運算符′和t 為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置和轉(zhuǎn)置.

上文已經(jīng)定義過群SO*(2n)的具體形式,但是具體操作起來不太方便,本文將其通過復(fù)數(shù)矩陣群來代替,即

SO*(2n)的極大緊子群為

注意到,SO*(2n)/K 是黎曼對稱空間[8].對任意g ∈SO*(2n),定義對合(非Cartan 對合)為τ(g).設(shè)H :{g ∈SO*(2n): τ(g)g}.并且H ?SO(n,C),則SO*(2n)/H 是Herimitian 型仿射對稱空間[6－7].設(shè)so*(2n) 為SO*(2n) 的李代數(shù),其具體形式如下:

設(shè)so*(2n)k⊕p 為so*(2n) 在Cartan 對合θ(X)-X′下分解為±1 的特征空間,其中X ∈so*(2n),則

設(shè)so*(2n)h⊕q 為so*(2n) 在共軛對合τ(X)下分解為±1 的特征空間,其中X ∈so*(2n),則

對于仿射對稱空間SO*(2n)/H,我們有一個等價的定義,即(so*(2n),h) 是仿射對稱對.因為τθθτ 成立,則有正交分解

現(xiàn)在來討論李代數(shù)SO(n,C).

引理1[2]ap∩q在so*(2n) 中的根系為:

證明設(shè)

設(shè)ap∩q如式(2) 所示,則ap∩q在so*(2n) 中的根可由以下公式得到:

進一步有

通過引理1,我們得到如下的正根系:

2 限制極小冪零軌道的維數(shù)

本節(jié)討論極小冪零軌道.利用式(1),我們有so*(2n)g+⊕g－,其中

命題1ap∩q在g+中的根系為:

證明因為g+(k∩h)⊕(p∩q),則

通過式(2) 和引理1 的證明,命題1 得證.

定義1[3]對于軌道上每一個元素是冪零的,則稱軌道是冪零軌道,記為O.極小維數(shù)冪零軌道定義為Omin.

引理2[3,10]設(shè)g 是單李代數(shù),則g 的極小冪零軌道的維數(shù)等于1 加上不與最高根α 正交的正根個數(shù).

注1若so*(2n)so*(4m),我們以通常的方式選擇so*(4m) 的素根并計算其最高根(具體計算見文獻[8]),且容易計算不與最高根正交的正根個數(shù)為4n-7.根據(jù)引理2,得到dim(Omin)1+(4n-7)2(2n-3).同樣的證明,對于so*(2n)so*(4m+2),也可以得到dim(Omin)1+(4n-5)2(2n-2).

定理1設(shè)n ＞2,則g+的極小冪零軌道Omin的維數(shù)為n-2 或n-1.

證明當(dāng)n2m ＞2 時,選擇素根Ξ{?i-?i+1:1 ≤i ≤m-1},則最高根為α?1-?m,不與最高根α 正交的正根個數(shù)為2m-3.根據(jù)引理2,得到dim(Omin)1+(2m-3)2m-2n-2.同樣的,當(dāng)n2m+1 時,其素根為Ξ{?i-?i+1,?m:1 ≤i ≤m-1},且最高根為α?1+?2,則dim(Omin)1+(2m-1)2mn-1.

3 基本余伴隨軌道和極小冪零軌道的維數(shù)

受到文獻[10-11] 的啟發(fā),本節(jié)討論so*(2n) 的一些冪零子代數(shù)的基本余伴隨軌道,給出了計算so*(2n) 的極小冪零軌道維數(shù)的新公式,這個公式不同于引理2 的計算方法.

設(shè)n 是so*(2n) 的冪零李代數(shù).下文假定n 為2n×2n 的嚴(yán)格上三角矩陣.設(shè)

注2需要注意的是εi(1 ≤i ≤n) 與上節(jié)的根向量?i(1 ≤i ≤m) 不同,究其原因是εi為k 中極大交換子代數(shù)計算的根向量[8],而?i是p ∩q 的極大交換子空間計算的根向量.定義{eα:α ∈Φ+} 為根向量的基,其中eαEi,n+j-Ej,n+i,且Ei,j為i 行j 列的元素是1,其它位置為0 的矩陣.對任意α ∈Φ+,β ∈Φ+,設(shè)e*α為對偶空間n*的元素,

在這種情形下,S(εi+εj) 的維數(shù)為

定理2設(shè)0/c ∈C,α 為n 的最高根,Oα(c) 和Omin如上所述,則dimOmindimOα(c)+2.

推論1設(shè)0/c ∈C,α 為n 的最高根,則

證明因為F ∈Oα(c) 當(dāng)且僅當(dāng)1/c F ∈Oα(1),則我們只考慮c1 的情形.若n3,則最高根為αε1+ε2,

4 展望

對于其它Hermitian 李代數(shù)[7－8,12],如何給出其李代數(shù)的對偶,這將是重點考慮的對象.如果能夠給出具體的對偶,則利用本文的方法,可以類似地探究其余伴隨軌道.這將是我們未來進一步研究的方向.