大概念引領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)*
——以“數(shù)列求和”為例

黃暉明|福建省廈門(mén)市集美區(qū)灌口中學(xué)

一、大概念及其分類

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材以知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系為基本依據(jù)編排.編寫(xiě)者先對(duì)“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合，以形成相對(duì)完整的單元模塊，再按研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路（背景—概念—要素—表示—分類—關(guān)系—運(yùn)算—性質(zhì)—應(yīng)用）為線索劃分課時(shí)，最后設(shè)計(jì)符合知識(shí)自然發(fā)生發(fā)展及學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，以便教師展開(kāi)單元整體教學(xué).用于統(tǒng)攝和組織上述單元教學(xué)的便是大概念.

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價(jià)值［1］.按照所在層級(jí)，大概念可以分為課程大概念、單元大概念、課時(shí)大概念.根據(jù)教學(xué)功能的不同，這些不同層級(jí)的大概念還可以分為以下三類：一是指向內(nèi)容“是什么”的大概念，如“幾何圖形的性質(zhì)是什么”“解析幾何的數(shù)學(xué)思維方式是什么（先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)解決幾何問(wèn)題）”等；二是指向內(nèi)容“怎么學(xué)”的大概念，如“借助單位圓研究三角函數(shù)”“通過(guò)運(yùn)算研究數(shù)列問(wèn)題”“運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)”等；三是指向內(nèi)容所蘊(yùn)含數(shù)學(xué)基本思想的大概念，如“向量是自由的，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁”“三角函數(shù)性質(zhì)是圓幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）的直接反映”等.從教學(xué)功能看，大概念具備知識(shí)技能和研究方法雙重屬性，能將離散的知識(shí)結(jié)構(gòu)化、方法系統(tǒng)化，能統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的有序展開(kāi).

二、大概念引領(lǐng)下的單元教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

大概念是高度抽象的，其與具體對(duì)象的關(guān)聯(lián)以及在解決問(wèn)題中的引導(dǎo)作用并不是顯而易見(jiàn)的；大概念也不可能一蹴而就地學(xué)會(huì)，而是要經(jīng)歷一個(gè)從接觸到熟悉到領(lǐng)悟再到自覺(jué)運(yùn)用的“生長(zhǎng)”過(guò)程.因此，高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于大概念的引領(lǐng)，主要包含大概念的提取、生成和驅(qū)動(dòng).

（一）多角度關(guān)聯(lián)，提取大概念

多角度提取大概念是教師理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生的基點(diǎn)，也是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn).大概念可以通過(guò)課程標(biāo)準(zhǔn)、核心素養(yǎng)、專家思維、學(xué)習(xí)難點(diǎn)等路徑來(lái)提取，但經(jīng)常是幾條路徑相互關(guān)聯(lián)、共同作用的結(jié)果.如人教A版普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)第四章中的“數(shù)列求和”知識(shí)：其內(nèi)容本身涉及課時(shí)大概念“前n項(xiàng)和公式是數(shù)列的一種表示”、單元大概念“數(shù)列是一類特殊函數(shù)”；從研究方法角度可以提煉課時(shí)大概念“減項(xiàng)求和是數(shù)列求和的原理”、單元大概念“通過(guò)運(yùn)算研究數(shù)列相關(guān)問(wèn)題”；從學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)出發(fā)可以提煉單元大概念“數(shù)列求和化簡(jiǎn)要立足數(shù)列的性質(zhì)”；從核心素養(yǎng)角度出發(fā)可以提煉課程大概念“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等.

（二）設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，生成大概念

專家思維是以大概念來(lái)組織的，常常鑲嵌在具體情境之中，大概念的層次越高，越需要更多的具體案例來(lái)支撐.生成大概念往往需要具體與抽象思維協(xié)同作用，因此在實(shí)際教學(xué)中，“具體—抽象—具體”是一種常用的生成機(jī)制，而挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)則是承載大概念生成的重要依托.圍繞大概念，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，將大概念滲透于學(xué)習(xí)任務(wù)的逐步解決中，是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的重要考量和關(guān)鍵環(huán)節(jié).

筆者將“數(shù)列求和”知識(shí)整合為1個(gè)單元4個(gè)課時(shí)，并設(shè)置了7項(xiàng)挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，具體如下.

第一課時(shí)：（1）求1+2+3+···+n；（2）推導(dǎo)一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；（3）用其他方法得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式.

第二課時(shí)：（4）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.

第三課時(shí)：（5）棋盤(pán)麥粒數(shù)問(wèn)題；（6）求一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式.

第四課時(shí)：（7）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.

通過(guò)以上學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生既經(jīng)歷“首尾配對(duì)—倒序相加”的知識(shí)發(fā)現(xiàn)之旅，循序漸進(jìn)地積累代數(shù)推理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又經(jīng)歷從特殊到一般再回到特殊的等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)及應(yīng)用過(guò)程，逐步生成、滲透、應(yīng)用大概念.這樣螺旋上升地安排學(xué)習(xí)任務(wù)，可讓大概念（數(shù)列求和化簡(jiǎn)要立足數(shù)列的性質(zhì)）得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì)，使學(xué)生深度體驗(yàn)解決數(shù)列求和問(wèn)題的思考結(jié)構(gòu)、思維方式，并能在新的求和情境中激活、運(yùn)用，從而感受大概念在問(wèn)題解決過(guò)程中的引領(lǐng)作用.

（三）設(shè)置問(wèn)題鏈，驅(qū)動(dòng)大概念

問(wèn)題鏈?zhǔn)谴蟾拍畹摹伴T(mén)窗”，為大概念的滲透“鋪路”，為大概念的理解提供脈絡(luò)化探索路徑，為核心素養(yǎng)的培育提供現(xiàn)實(shí)載體.數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈?zhǔn)歉鶕?jù)教學(xué)內(nèi)容及其所蘊(yùn)含的思維脈絡(luò)，立足學(xué)生的認(rèn)知水平而設(shè)計(jì)的具有系統(tǒng)性、層次性、結(jié)構(gòu)化的一系列問(wèn)題，由橫向的主干問(wèn)題及縱向的追問(wèn)組成.教師要以從整體到局部的結(jié)構(gòu)化思想為指導(dǎo)，先融合學(xué)習(xí)任務(wù)及其所蘊(yùn)含的思維主線，設(shè)置主干問(wèn)題，搭建問(wèn)題鏈整體框架，構(gòu)建思維層次，再細(xì)化局部，設(shè)計(jì)追問(wèn)，延展思維深度.主干問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中的核心問(wèn)題；追問(wèn)是遵循學(xué)生認(rèn)知過(guò)程、聯(lián)結(jié)主干問(wèn)題間的思維跨度、指引學(xué)生深入思考的重要問(wèn)題［2］.

三、大概念引領(lǐng)下的單元教學(xué)設(shè)計(jì)案例

筆者綜合考慮從各個(gè)角度提煉出來(lái)的大概念，確定以“數(shù)列求和”為主題進(jìn)行單元教學(xué)的原則：組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)，以課時(shí)大概念“前n項(xiàng)和公式是數(shù)列的一種表示”、單元大概念“數(shù)列是一類特殊函數(shù)”、課程大概念“數(shù)學(xué)運(yùn)算”為統(tǒng)領(lǐng)；梳理教學(xué)思路、設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈、開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，以“怎么學(xué)”方面的大概念“減項(xiàng)求和是數(shù)列求和的原理”“通過(guò)運(yùn)算研究數(shù)列相關(guān)問(wèn)題”為思維引領(lǐng).

在具體的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者將教學(xué)重點(diǎn)放在公式推導(dǎo)的“思想方法”上，引導(dǎo)學(xué)生感受代數(shù)推理的一般方法，經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)公式的代數(shù)思維過(guò)程.如在“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)中，筆者按照“多角度并聯(lián)—設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)—設(shè)置問(wèn)題鏈”的單元教學(xué)流程，設(shè)計(jì)了如下探究過(guò)程及問(wèn)題鏈.

【環(huán)節(jié)一】創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題

［問(wèn)題情境］棋盤(pán)中的麥粒數(shù)問(wèn)題

主干問(wèn)題1：棋盤(pán)中麥?？倲?shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？你準(zhǔn)備如何解決這個(gè)問(wèn)題？

［師生活動(dòng)］學(xué)生自主抽象出等比數(shù)列模型，并將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列前64項(xiàng)和的數(shù)學(xué)問(wèn)題；學(xué)生獨(dú)立思考求和方法后，與同桌交流解決方案.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，用一個(gè)有趣的實(shí)際問(wèn)題情境引入等比數(shù)列求和問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望；讓學(xué)生嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供思考空間.

【環(huán)節(jié)二】合作探究推導(dǎo)公式

主干問(wèn)題2：如何求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？你有哪些求和的經(jīng)驗(yàn)可以借鑒？

［師生活動(dòng)］教師引導(dǎo)學(xué)生歸納數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是將Sn=a1+a2+a3+…+an中的省略號(hào)部分消除，然后用“有限”項(xiàng)數(shù)的式子表示，經(jīng)常用基本量來(lái)表示；學(xué)生回顧首尾配對(duì)、分組求和、迭代、倒序相加等求和經(jīng)驗(yàn).

追問(wèn)1：你能歸納出等差數(shù)列求和的原理嗎？

［師生活動(dòng)］教師引導(dǎo)學(xué)生再次歸納數(shù)列求和單元的大概念“減項(xiàng)求和是數(shù)列求和的原理”“通過(guò)運(yùn)算研究數(shù)列相關(guān)問(wèn)題”“數(shù)列求和化簡(jiǎn)要立足數(shù)列的性質(zhì)”.

追問(wèn)2：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可以用上述方法推導(dǎo)嗎？

［師生活動(dòng)］學(xué)生借鑒等差數(shù)列求和方法（倒序相加），對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)行直接相加、相減、相乘、迭代運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)都達(dá)不到消項(xiàng)的效果.教師再引導(dǎo)學(xué)生在大概念“數(shù)列求和化簡(jiǎn)要立足數(shù)列的性質(zhì)”的思維引領(lǐng)下進(jìn)行運(yùn)算，考慮乘以某數(shù)再兩式相加或相減，觀察①Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1與②qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn?(q≠1)，再聯(lián)系其他情況，最終可得Sn=

追問(wèn)3：考慮等比數(shù)列的性質(zhì)，還有其他推導(dǎo)方法嗎？

［師生活動(dòng)］學(xué)生回想并羅列等比數(shù)列性質(zhì)=q（n≥2），教師引導(dǎo)學(xué)生將其與前n項(xiàng)和Sn相關(guān)聯(lián)，對(duì)上述連等式變形化簡(jiǎn)可得到(q≠1)，注意驗(yàn)證n=1時(shí)等式是否成立.根據(jù)關(guān)系Sn-1=Sn-an(n≥2)及等比數(shù)列性質(zhì)，進(jìn)行如下變形Sn=a1+a2+···+an=a1+q(a1+a2+···+an-1)=a1+qSn-1，控制變量留基本量，得Sn=a1+qSn-1=a1+q(Snan)，化簡(jiǎn)可得(q≠1)，注意驗(yàn)證n=1時(shí)等式是否成立.

追問(wèn)4：以上三種思路各有何特點(diǎn)？你是如何想到這些求和方法的？

［師生活動(dòng)］學(xué)生回顧思路1“根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn)，運(yùn)用乘比錯(cuò)位相減”，思路2“運(yùn)用等比數(shù)列定義及合比定理”，思路3“運(yùn)用an與Sn關(guān)系巧妙構(gòu)造”，都能達(dá)到減項(xiàng)求和效果.教師引導(dǎo)學(xué)生歸納這三個(gè)思路的由來(lái)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們都是基于大概念“通過(guò)運(yùn)算研究數(shù)列相關(guān)問(wèn)題”“數(shù)列求和化簡(jiǎn)要立足數(shù)列的性質(zhì)”“減項(xiàng)求和是數(shù)列求和的原理”的思維引領(lǐng)而進(jìn)行的化簡(jiǎn)求和.

設(shè)計(jì)意圖：如何避免“強(qiáng)行”得到錯(cuò)位相減法是教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中需要重點(diǎn)突破的問(wèn)題，而這主要是由學(xué)生思想方法層面（化多為少，化繁為簡(jiǎn)）的知識(shí)準(zhǔn)備不充分造成的.在學(xué)生經(jīng)歷了第一環(huán)節(jié)的“試錯(cuò)”后，立即引導(dǎo)其回顧總結(jié)歸納出數(shù)列求和的原理（即大概念）.學(xué)生基于大概念，從兩個(gè)方向思考：一是消項(xiàng)思想貫穿整個(gè)數(shù)列求和單元；二是要抓住等比數(shù)列定義和性質(zhì)再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.這可強(qiáng)化大概念在求和過(guò)程中的思維引領(lǐng)作用，化解求和過(guò)程中“想不到”的尷尬.然后通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)該課時(shí)所學(xué)的錯(cuò)位相減法與另外兩種思路“形異神似”，本質(zhì)上都是利用等比數(shù)列的定義，通過(guò)不同的方式進(jìn)行消項(xiàng)，其中錯(cuò)位相減法對(duì)定義的利用更充分、適用性更強(qiáng)，也更易于理解和操作.最后通過(guò)不同思路的公式推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生多次經(jīng)歷基于等比數(shù)列性質(zhì)，尋找代數(shù)運(yùn)算技巧，將多項(xiàng)、不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和的過(guò)程，從而切實(shí)掌握求和中的代數(shù)變換技巧.

主干問(wèn)題3：當(dāng)公差不為零時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是一個(gè)特殊的二次函數(shù)，那么，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式又跟什么函數(shù)有關(guān)聯(lián)呢？

［師生活動(dòng)］學(xué)生思考后小組交流、展示結(jié)論.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1是關(guān)于n的一次函數(shù)，當(dāng)q≠1時(shí)=kqn+b是一個(gè)特殊的指數(shù)型函數(shù).

追問(wèn)5：你覺(jué)得故事里的國(guó)王能夠兌現(xiàn)承諾嗎？

［師生活動(dòng)］利用推導(dǎo)出來(lái)的公式解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，及指數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的“威力”.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的多元聯(lián)系，感受教學(xué)過(guò)程的前后邏輯連貫性，加深對(duì)公式的理解，建構(gòu)知識(shí)的結(jié)構(gòu).

四、大概念引領(lǐng)下的單元教學(xué)實(shí)踐反思

（一）大概念讓單元教學(xué)有邏輯可循

核心素養(yǎng)是對(duì)教學(xué)目標(biāo)的描述，而素養(yǎng)形成的前提是理解大概念，形成專家思維.單元是素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成的單位，大概念是單元教學(xué)設(shè)計(jì)的“靈魂”，為單元教學(xué)“引路”.在大概念的引領(lǐng)下進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，將散布在教材中“具有關(guān)聯(lián)性”的知識(shí)按“是什么”的大概念進(jìn)行串聯(lián)、整合、重構(gòu)，找到單元整合的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)，可使單元教學(xué)設(shè)計(jì)有邏輯可循.而“怎么學(xué)”的大概念，則為單元教學(xué)提供了整體設(shè)計(jì)思路，引領(lǐng)教師開(kāi)展課堂教學(xué)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)的“上接下聯(lián)”（即上接學(xué)科核心素養(yǎng)、下聯(lián)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)）、上位學(xué)科核心素養(yǎng)與下位課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的貫通，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

（二）問(wèn)題鏈促進(jìn)大概念的具象化

大概念看不見(jiàn)、摸不著，具有內(nèi)隱性.大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)應(yīng)以大概念滲透為核心目標(biāo)，教學(xué)過(guò)程中需要借助具體研究對(duì)象，以問(wèn)題為載體，將大概念的生成融于有邏輯、有結(jié)構(gòu)的問(wèn)題鏈中，讓學(xué)生更容易直觀感知大概念及內(nèi)隱化的數(shù)學(xué)基本思想和方法.教師還要適當(dāng)變化問(wèn)題情境，讓學(xué)生應(yīng)用大概念解決新問(wèn)題.這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，能有效地細(xì)化、具象化大概念，破解大概念的抽象性.問(wèn)題鏈為大概念的滲透和理解提供脈絡(luò)化探索路徑，能夠引發(fā)與大概念相關(guān)的持續(xù)性思考，不斷激活具體經(jīng)驗(yàn)，逐步引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷大概念的建構(gòu)過(guò)程，進(jìn)而建立復(fù)雜認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)成對(duì)知識(shí)的深度理解.

（三）大概念可提供解決問(wèn)題的思維支架

大概念引領(lǐng)下的單元教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生解決真實(shí)問(wèn)題的專家思維為核心目標(biāo).通過(guò)重組的單元教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生有機(jī)會(huì)反復(fù)體驗(yàn)同一類屬知識(shí)建構(gòu)過(guò)程中的大概念，對(duì)知識(shí)背后的邏輯、方法關(guān)聯(lián)有更深刻的體會(huì).教師要設(shè)計(jì)一系列緊密聯(lián)系的問(wèn)題，將大概念引領(lǐng)問(wèn)題解決的思維過(guò)程具象化，構(gòu)建解決實(shí)際問(wèn)題的思維支架，使學(xué)生體會(huì)問(wèn)題解決過(guò)程中專家的思維方式，而不僅僅是記住“專家結(jié)論”.由此，學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)就能從模仿自然過(guò)渡到應(yīng)用，最終學(xué)會(huì)像專家那樣思考.