基于極點(diǎn)配置和橢球分析的傳感器故障檢測(cè)

張文瀚 王振華 沈 毅

現(xiàn)代控制系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜,相應(yīng)地,控制系統(tǒng)的安全性和可靠性就顯得尤為重要.但是,實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)發(fā)生的各種故障會(huì)降低其可靠性甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性從而造成嚴(yán)重的安全事故.因此,為了提高控制系統(tǒng)的可靠性和安全性,故障診斷技術(shù)在過去30 年中得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,取得了很多優(yōu)秀的研究成果[1-5].一般來說,故障診斷技術(shù)主要分為3 個(gè)部分: 檢測(cè)、隔離和估計(jì).故障檢測(cè)的目的是確定控制系統(tǒng)中是否發(fā)生故障;故障隔離則是在檢測(cè)到故障后確定其位置與類型;而故障估計(jì)則是用于得到故障的幅值信息.

故障檢測(cè)作為故障診斷的第一步,對(duì)于提高控制系統(tǒng)的可靠性和安全性具有十分重要的意義,因此得到了廣泛的研究.在目前的故障檢測(cè)方法中,基于模型的故障檢測(cè)方法是一種較為深入的研究方法,涌現(xiàn)了很多研究成果[6-9].基于模型故障檢測(cè)方法的主要思想是借助系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和輸入輸出值設(shè)計(jì)一個(gè)故障檢測(cè)觀測(cè)器,該觀測(cè)器可以生成殘差信號(hào),用于指示是否發(fā)生故障.從其思想可以看出,該方法的檢測(cè)性能主要取決于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和輸入輸出信號(hào)的準(zhǔn)確性.但是,實(shí)際控制系統(tǒng)中總是存在著各種各樣的不確定因素,如模型不確定性、過程擾動(dòng)和測(cè)量噪聲等,這些因素會(huì)降低基于模型方法的故障檢測(cè)性能.為了解決這一問題,近年來很多學(xué)者開始研究基于模型的魯棒故障檢測(cè)方法[10-12].基于模型的魯棒故障檢測(cè)方法要求觀測(cè)器生成的殘差能夠同時(shí)滿足對(duì)擾動(dòng)與噪聲的魯棒性和對(duì)故障的敏感性[13].為了實(shí)現(xiàn)這一性能,基于H-/H∞的故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)受到了研究者們的廣泛關(guān)注.特別地,文獻(xiàn)[14]中給出了一種基于迭代線性矩陣不等式和多目標(biāo)優(yōu)化的H-/H∞故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)算法.針對(duì)離散時(shí)間Takagi-Sugeno 模糊系統(tǒng),文獻(xiàn)[15]通過使用廣義Kalman-Yakubovich-Popov 引理設(shè)計(jì)了一類有限頻H-/H∞模糊故障檢測(cè)濾波器,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)傳感器和執(zhí)行器故障的檢測(cè).文獻(xiàn)[16]中設(shè)計(jì)了一種H-/H∞觀測(cè)器來檢測(cè)存在參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的故障.針對(duì)非線性奇異系統(tǒng),文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)出了一種新型的有限頻H-/H∞故障檢測(cè)觀測(cè)器結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)具有更多的設(shè)計(jì)自由度,從而提高了故障檢測(cè)的性能.需要說明的是,上述方法全都是使用H∞范數(shù)來實(shí)現(xiàn)殘差對(duì)擾動(dòng)與噪聲的魯棒性.注意到H∞范數(shù)是用于描述信號(hào)能量之間的增益關(guān)系,而實(shí)際信號(hào)的能量往往都是無界的,故使用H∞范數(shù)來描述殘差的魯棒性并不十分適合[18].考慮到信號(hào)雖然能量是無界的但都滿足峰值有界,因此采用描述信號(hào)峰值之間增益關(guān)系的L∞范數(shù)來設(shè)計(jì)殘差對(duì)擾動(dòng)與噪聲的魯棒性更加合理.特別地,文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)了一種H-/L∞觀測(cè)器來檢測(cè)參數(shù)時(shí)變系統(tǒng)的執(zhí)行器故障.針對(duì)Lipschitz 非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一類有限頻域上的H-/L∞故障檢測(cè)觀測(cè)器.通過使用L∞范數(shù)分析技術(shù),文獻(xiàn)[21]提出了一種基于區(qū)間觀測(cè)器的故障檢測(cè)方法.雖然L∞范數(shù)在故障檢測(cè)領(lǐng)域有所應(yīng)用,但與H∞范數(shù)相比,相關(guān)成果并不多.同時(shí),目前大部分方法都使用H-因子來衡量殘差對(duì)故障的敏感性,同樣需要考慮故障能量有界,這一假設(shè)很難在實(shí)際應(yīng)用中得到滿足,需要進(jìn)行改進(jìn).

另一方面,在故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)完成以后,還需要對(duì)生成的殘差進(jìn)行評(píng)價(jià)以生成合理的閾值來進(jìn)行故障檢測(cè).但是,目前的大部分方法都只選用固定的常值閾值來檢測(cè)故障,若常值閾值選取不當(dāng)則容易造成虛警現(xiàn)象[22-24].雖然文獻(xiàn)[19-20]通過使用L∞范數(shù)分析技術(shù)得到了動(dòng)態(tài)的故障檢測(cè)閾值,可以有效消除虛警現(xiàn)象,但是其存在閾值初值過大的問題,這會(huì)在一定程度上影響檢測(cè)性能[25].為了解決上述問題,學(xué)者們開始研究基于集員估計(jì)技術(shù)的動(dòng)態(tài)閾值設(shè)計(jì)方法,這類方法的主要思想是基于集員估計(jì)技術(shù),利用特殊的幾何體如平行多面體、中心對(duì)稱多面體、橢球等來包含系統(tǒng)每一時(shí)刻的所有無故障殘差以得到動(dòng)態(tài)的殘差閾值集合;然后,通過判斷實(shí)際殘差是否被該閾值集合包含即可實(shí)現(xiàn)故障檢測(cè).這類方法不存在虛警問題且檢測(cè)性能優(yōu)于文獻(xiàn)[19-20]中的結(jié)果.近年來,中心對(duì)稱多面體由于其求取線性映射和閔科夫斯基之和的簡(jiǎn)便性受到了學(xué)者們的關(guān)注,涌現(xiàn)了一類利用中心對(duì)稱多面體描述殘差閾值集合進(jìn)而實(shí)現(xiàn)故障檢測(cè)的方法.基于自適應(yīng)觀測(cè)器和中心對(duì)稱多面體技術(shù),文獻(xiàn)[26]設(shè)計(jì)了針對(duì)非線性系統(tǒng)的執(zhí)行器故障檢測(cè)方法.文獻(xiàn)[27] 基于中心對(duì)稱多面體提出了一種輸入設(shè)計(jì)方法,并將其應(yīng)用到參數(shù)時(shí)變系統(tǒng)的故障檢測(cè)中.文獻(xiàn)[28]在多目標(biāo)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上利用中心對(duì)稱多面體和區(qū)間分析技術(shù)解決了線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳感器故障檢測(cè)問題.文獻(xiàn)[29]將H-/H∞故障檢測(cè)觀測(cè)器與中心對(duì)稱多面體殘差評(píng)價(jià)結(jié)合來檢測(cè)控制系統(tǒng)的執(zhí)行器故障.針對(duì)受到未知擾動(dòng)和噪聲影響的事件觸發(fā)系統(tǒng),文獻(xiàn)[30]設(shè)計(jì)了一種基于H-/L∞觀測(cè)器與中心對(duì)稱多面體殘差評(píng)價(jià)的故障檢測(cè)方法.雖然上述方法利用中心對(duì)稱多面體實(shí)現(xiàn)了較好的故障檢測(cè)性能,但中心對(duì)稱多面體在其應(yīng)用過程中維數(shù)會(huì)不斷增長(zhǎng),容易造成維數(shù)災(zāi)難.同時(shí),這些方法均需要計(jì)算高維的中心對(duì)稱多面體來保證故障檢測(cè)精度,計(jì)算量消耗巨大.盡管這些計(jì)算量可以通過降維操作進(jìn)行降低,但也會(huì)在一定程度上降低檢測(cè)性能,難以很好地兼顧檢測(cè)精度和計(jì)算效率[31].

除了中心對(duì)稱多面體,橢球也是集員估計(jì)方法中常用的幾何體,在控制系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)領(lǐng)域受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注與研究[32-37].特別地,近些年來有學(xué)者借助其光滑邊界的幾何性質(zhì)和凸優(yōu)化技術(shù)研究基于橢球的故障檢測(cè)方法.針對(duì)線性變參數(shù)系統(tǒng),文獻(xiàn)[38]通過判斷包含上一時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的橢球集與測(cè)量數(shù)據(jù)生成的超平面是否相交來檢測(cè)系統(tǒng)故障.通過引入適應(yīng)度函數(shù)和輔助信號(hào),文獻(xiàn)[39]設(shè)計(jì)了一種基于殘差橢球凸優(yōu)化技術(shù)的主動(dòng)式故障檢測(cè)方法.針對(duì)離散時(shí)間線性切換系統(tǒng),文獻(xiàn)[40]通過給定的輸入輸出數(shù)據(jù)來計(jì)算無故障情況下的系統(tǒng)參數(shù)橢球集,并判斷該橢球集與切換子系統(tǒng)參數(shù)集合是否相交來檢測(cè)故障.文獻(xiàn)[41]通過在線求解線性矩陣不等式確定狀態(tài)預(yù)測(cè)橢球和校正橢球并判斷兩者的交集是否為空集,實(shí)現(xiàn)了對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的故障檢測(cè).雖然上述文獻(xiàn)中的方法能實(shí)現(xiàn)較好的故障檢測(cè)性能,但大都依賴于實(shí)時(shí)求解凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式,這需要消耗很大的計(jì)算量,不利于實(shí)際系統(tǒng)的線上實(shí)現(xiàn).同時(shí),判斷橢球與超平面或橢球與橢球是否存在交集需要求解多組代數(shù)方程,在一定程度上會(huì)降低故障檢測(cè)方法的運(yùn)算效率.實(shí)際上,除了利用凸優(yōu)化技術(shù)或線性矩陣不等式方法來進(jìn)行橢球故障檢測(cè),還可以借助基于線性映射與閔科夫斯基之和運(yùn)算的橢球分析技術(shù)來確定殘差閾值集合以進(jìn)行故障檢測(cè).特別地,橢球的線性映射與閔科夫斯基之和計(jì)算過程可以轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算且計(jì)算過程中橢球維數(shù)不會(huì)發(fā)生改變,無需計(jì)算高維橢球來提高精度,計(jì)算量需求少[42].考慮到基于檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)和中心對(duì)稱多面體殘差評(píng)價(jià)的方法難以良好兼顧檢測(cè)精度和計(jì)算效率,而現(xiàn)有的橢球故障檢測(cè)方法又大都采用凸優(yōu)化或線性矩陣不等式技術(shù),運(yùn)算效率較低,本文旨在結(jié)合故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)和基于線性映射與閔科夫斯基之和運(yùn)算的橢球殘差評(píng)價(jià)技術(shù),設(shè)計(jì)一種能良好兼顧性能和計(jì)算效率的故障檢測(cè)方法.

基于上述討論,本文針對(duì)具有未知擾動(dòng)與測(cè)量噪聲的線性離散時(shí)間系統(tǒng),提出了一種基于極點(diǎn)配置和橢球分析的傳感器故障檢測(cè)方法.首先,將傳感器故障視為增廣狀態(tài),將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)等效的新線性系統(tǒng).然后,利用極點(diǎn)配置和L∞技術(shù)設(shè)計(jì)故障檢測(cè)觀測(cè)器,使得生成的殘差滿足故障敏感性和未知擾動(dòng)魯棒性.最后,使用橢球分析方法來評(píng)價(jià)殘差,生成動(dòng)態(tài)的無故障殘差橢球以實(shí)現(xiàn)故障檢測(cè).本文的研究方法采用了基于極點(diǎn)配置的故障敏感性評(píng)價(jià)因子和基于L∞范數(shù)的魯棒性分析技術(shù),將傳統(tǒng)H-/H∞技術(shù)需要信號(hào)能量有界的假設(shè)放松至信號(hào)峰值有界,具有更好的適用性.此外,基于橢球的殘差評(píng)價(jià)方法只需要簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算,計(jì)算量需求小,具備良好的計(jì)算效率,易于實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).

1 符號(hào)說明與相關(guān)概念

符號(hào)說明.Rn和Rn×m分別表示n維歐氏空間及n×m維矩陣構(gòu)成的集合.In表示n×n維的單位矩陣,0 表示具有適當(dāng)維數(shù)的零向量或零矩陣.對(duì)于給定矩陣XRn×m,X?代表矩陣X的偽逆.對(duì)于給定矩陣YRn×n,Y-1,tr(Y)和det(Y) 分別代表矩陣Y的逆、跡以及行列式.對(duì)于對(duì)稱矩陣Rn×n,P?0(P ?0)表示矩陣P為正定(負(fù)定)矩陣.

本文中還將使用如下的定義、性質(zhì)和引理.

定義1.對(duì)于離散信號(hào)xRn,其L∞范數(shù)定義為

定義 2.對(duì)于兩個(gè)集合M和N,它們的閔科夫斯基和運(yùn)算定義為

其中,⊕表示閔科夫斯基和運(yùn)算符號(hào).

定義 3[43].一個(gè)n維空間中的非退化橢球E(c,X)定義為

其中,向量cRn稱為橢球E(c,X) 的中心,矩陣X ?0Rn×n稱為橢球E(c,X) 的形狀矩陣,決定了橢球E(c,X) 的形狀和體積.

注 1.雖然式(2)中橢球的定義得到廣泛使用,但是該定義只能描述非退化形式的橢球,即X ?0的情形.事實(shí)上,退化形式的橢球在很多實(shí)際問題中也應(yīng)當(dāng)被考慮到.為了不失橢球描述的一般性,本文引入了如下的橢球定義.

定義 4[44].一個(gè)n維空間中的橢球E(c,M) 可視為一個(gè)n維空間中單位球的線性映射,定義如下:

其中,cRn稱為橢球E(c,M)的中心,Rn×n稱為橢球E(c,M) 的形狀矩陣.

注 2.注意到式(3)中橢球的定義不要求形狀矩陣M?0,故可同時(shí)描述退化與非退化形式的橢球,具有更好的描述普適性.特別地,在描述非退化形式的橢球時(shí),定義3 與定義4 是等價(jià)的且XMMT關(guān)系成立.不失一般性,本文中的橢球采用式(3)中的定義形式.

性質(zhì) 1[44].對(duì)于橢球E(c,M)中的每個(gè)元素x進(jìn)行yKx+b的線性映射可得到一個(gè)新橢球,且有

其中,bRn和KRm×n為已知的向量和矩陣.

性質(zhì) 2[44].對(duì)于給定的N個(gè)橢球E(ci,Mi),i1,···,N,它們的閔科夫斯基和運(yùn)算滿足

注 3.不同的參數(shù)α1,···,αN會(huì)產(chǎn)生不同形狀和體積的橢球E(cm,M(α)).為了保證橢球閔科夫斯基之和運(yùn)算的精度,可選擇不同的優(yōu)化準(zhǔn)則來求取參數(shù)α1,···,αN,以得到優(yōu)化的橢球E(cm,M(α)).常用的優(yōu)化準(zhǔn)則為橢球的體積和半軸長(zhǎng)平方和,分別對(duì)應(yīng)最小化橢球形狀矩陣的行列式和跡.在這兩種優(yōu)化準(zhǔn)則下,優(yōu)化參數(shù)α1,···,αN具體形式為[44]:

從式(6)～ (8)中可以看出,求解最小化體積橢球的參數(shù)過程十分復(fù)雜,耗費(fèi)很大計(jì)算量,不利于實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).與之相比,求取最小化半軸長(zhǎng)平方之和橢球的參數(shù)計(jì)算量較小,實(shí)時(shí)性較好,因此本文選用橢球的半軸長(zhǎng)平方之和作為優(yōu)化準(zhǔn)則來求取最優(yōu)的閔科夫斯基之和橢球E(cm,M(α)).

引理 1[45].對(duì)于矩陣XRa×b,Rb×c,Ra×c.如果 rank(Y)c,則方程XYZ的通解為

其中,SRa×b為任意矩陣.

2 問題描述

考慮如下存在傳感器故障的線性離散時(shí)間系統(tǒng)

本文假設(shè)系統(tǒng)(10)的狀態(tài)變量初值和受到的過程干擾與測(cè)量噪聲均為未知但有界的,即

為了檢測(cè)故障fk,本文將其視為增廣狀態(tài),則可得到如下的增廣狀態(tài)向量

并構(gòu)造出如下的增廣系統(tǒng)

顯然,上述狀態(tài)增廣過程并未采用任何假設(shè),所以系統(tǒng)(13)與原系統(tǒng)(10)完全等價(jià).因此,若系統(tǒng)(13)檢測(cè)到故障,則表明原系統(tǒng)(10)發(fā)生了故障.所以,原系統(tǒng)(10)的傳感器故障檢測(cè)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榱藢?duì)增廣系統(tǒng)(13)的故障檢測(cè).

為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo),本文針對(duì)系統(tǒng) (13)提出了一種結(jié)合極點(diǎn)配置和橢球分析技術(shù)的故障檢測(cè)方法.首先,針對(duì)系統(tǒng) (13)設(shè)計(jì)了一個(gè)故障檢測(cè)觀測(cè)器,其產(chǎn)生的殘差能夠同時(shí)滿足對(duì)故障的敏感性和對(duì)擾動(dòng)與噪聲的魯棒性.特別地,殘差對(duì)故障的敏感性通過極點(diǎn)配置方法來實(shí)現(xiàn);同時(shí)使用L∞技術(shù)來抑制擾動(dòng)與噪聲對(duì)殘差的影響.基于設(shè)計(jì)的檢測(cè)觀測(cè)器,本文采用橢球技術(shù)來進(jìn)行殘差評(píng)價(jià)并給出故障檢測(cè)結(jié)果.

3 主要成果

3.1 故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)系統(tǒng)(13)構(gòu)造如下形式的故障檢測(cè)觀測(cè)器

定義估計(jì)誤差為

則由式(13)和式(14),可得如下的誤差系統(tǒng)

為了分析傳感器故障和擾動(dòng)與噪聲對(duì)殘差的影響,將誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng) (16) 拆分為如下的兩個(gè)子系統(tǒng)

其中,ed,0e0,ef,00,則有eked,k+ef,k和rkrd,k+rf,k.

假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)ζ使得下式成立

將式(19)代入到誤差系統(tǒng)(17)中并進(jìn)行迭代,可得到

從式(21) 中可看出,ζ反映了殘差對(duì)故障的敏感程度,可通過提高ζ的數(shù)值來提升殘差對(duì)故障的敏感性.

為了求取矩陣L,將式(19)改寫為

注意到式(23) 僅給出了增益矩陣L滿足故障敏感性能的通解形式,并沒有給出矩陣S的選取方法.同時(shí),故障檢測(cè)過程中還需要使用魯棒技術(shù)來抑制未知擾動(dòng)與噪聲對(duì)殘差的影響.因此,本文將引入L∞技術(shù)來保證誤差系統(tǒng)(18) 是漸近穩(wěn)定的且殘差rd,k對(duì)擾動(dòng)與噪聲滿足如下的L∞性能

基于誤差系統(tǒng)(17)和(18),本文給出定理1,保證殘差滿足式(21)和式(24)中的故障敏感性能和未知擾動(dòng)與噪聲魯棒性能.

則殘差rk滿足式(21)和式(24)中的故障敏感性能和未知擾動(dòng)魯棒性能.特別地,當(dāng)線性矩陣不等式(25)和(26)可解時(shí),則矩陣S和L可由下式求得

證明.選取如下形式的李雅普洛夫函數(shù)

則根據(jù)誤差系統(tǒng)(18),可得

注意到WPS,LΘ1+SΘ2,則式(25)可寫為

在上式兩邊左乘右乘矩陣 Ξ和ΞT可得:

其中,矩陣 Ξ 具體形式為

當(dāng)擾動(dòng)wk和噪聲vk均為零時(shí),由不等式(31)可推導(dǎo)出

這表明誤差系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的.

另一方面,不等式(31)等價(jià)于

對(duì)不等式(26)運(yùn)用舒爾補(bǔ)引理[46],可將其轉(zhuǎn)換為

根據(jù)式(18)和式(28),上式等價(jià)于如下形式

將式(33)代入上式可得上式等價(jià)于

由此可知,殘差rk滿足式(24) 中的L∞魯棒性能.□

注4.為了使設(shè)計(jì)的故障檢測(cè)觀測(cè)器(14)性能最佳,增益矩陣的設(shè)計(jì)是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題.一方面,需要使得殘差對(duì)故障的敏感性好,即ζ的數(shù)值盡可能的大;另一方面,需要抑制未知擾動(dòng)和噪聲對(duì)殘差的影響,即γw和γv的數(shù)值應(yīng)盡可能的小.注意到 0＜ζ ＜1,因此可在該區(qū)間內(nèi)選取線性矩陣不等式(25)和(26)有解的ζ的最大值.同時(shí),對(duì)于給定的ζ,可通過求解下列優(yōu)化問題來確定故障檢測(cè)觀測(cè)器的增益矩陣

若優(yōu)化問題(35)可解,則觀測(cè)器(14)的增益矩陣L可由SP-1W,LΘ1+SΘ2得到.

3.2 橢球殘差評(píng)價(jià)

基于模型的故障檢測(cè)方法主要包括兩個(gè)步驟:殘差生成和殘差評(píng)價(jià),這兩部分對(duì)于故障檢測(cè)性能都有重要的影響.但是,現(xiàn)有文獻(xiàn)中的大部分工作都集中在殘差生成器的設(shè)計(jì)上,只有少部分的工作涉及到殘差評(píng)價(jià)部分.在本節(jié)中,本文提出了一種基于橢球分析的動(dòng)態(tài)檢測(cè)閾值生成方法,可以高效快速地實(shí)現(xiàn)對(duì)殘差的評(píng)價(jià).需要說明的是,本節(jié)假設(shè)故障檢測(cè)觀測(cè)器已由第3.1 節(jié)中提出的方法設(shè)計(jì)完成,即增益矩陣L已知并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行橢球殘差評(píng)價(jià).

從式(17)和式(18)中可看出,在理想狀態(tài)下,無故障時(shí)殘差等于零.然而實(shí)際系統(tǒng)中總是存在著未知擾動(dòng)和噪聲,因此無故障時(shí)殘差往往不為零,但是可以使用橢球來包住所有無故障時(shí)殘差的可能值.首先,根據(jù)橢球定義將有界假設(shè)(11)轉(zhuǎn)化為如下的橢球形式

基于上述的橢球有界假設(shè),本文給出如下定理來求解包住所有無故障時(shí)殘差可能值的動(dòng)態(tài)橢球.

在系統(tǒng)無故障時(shí),存在rd,krk關(guān)系成立,即無故障時(shí)始終有從屬關(guān)系rk E(0,Rk) 成立.但是,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障后,rk E(0,Rk) 的條件就無法保證.由此,本文給出了如下的故障檢測(cè)邏輯:

其中,σk為故障檢測(cè)結(jié)果指示值,σk0,系統(tǒng)正常;σk1,系統(tǒng)故障.特別地,故障檢測(cè)邏輯(38)可通過求解如下帶約束線性規(guī)劃問題來進(jìn)行判斷

若規(guī)劃問題(39)有解,則rk E(0,Rk),σk0,系統(tǒng)正常;反之,則rkE(0,Rk),σk1,系統(tǒng)故障.

注5.從定理2 中可看出,動(dòng)態(tài)橢球E(0,Rk) 的計(jì)算只需要簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算且無需降維操作,更不涉及到凸優(yōu)化問題或線性矩陣不等式的實(shí)時(shí)求解,具備良好的計(jì)算效率.同時(shí),對(duì)無故障殘差動(dòng)態(tài)橢球生成方法的時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度的比較與分析結(jié)果具體如下:

注6.為了理論簡(jiǎn)便性起見,本文只考慮了擾動(dòng)和噪聲所在橢球的中心為原點(diǎn)且形狀矩陣為常值的情況,即wk E(0,W)和vk E(0,V).事實(shí)上,本文中的殘差評(píng)價(jià)方法也可以推廣到擾動(dòng)和噪聲所在橢球的中心為非原點(diǎn)且形狀矩陣時(shí)變的情形,即wk E(cw,k,Wk)和vk E(cv,k,Vk). 此時(shí),定理2推廣如下.

需要說明的是,在未知擾動(dòng)和噪聲所在橢球的中心為非原點(diǎn)且形狀矩陣時(shí)變時(shí),無故障殘差動(dòng)態(tài)橢球生成算法的計(jì)算量會(huì)略有上升,但是時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度量級(jí)仍為 O(n3),即所設(shè)計(jì)方法依舊保持著較好的計(jì)算效率,利于線上實(shí)時(shí)應(yīng)用.

4 仿真結(jié)果

本節(jié)通過一個(gè)二階RC 電路模型來驗(yàn)證所提出傳感器故障檢測(cè)方法的有效性與優(yōu)越性,該二階RC 電路的原理圖如圖1 所示.

圖1 二階RC 電路原理圖Fig.1 The schematic diagram of the second-order RC circuit

二階RC 電路的動(dòng)態(tài)模型可描述為

其中,U(t) 表示電路的輸入電壓,U1(t)和U2(t) 分別表示電容C1和C2兩端的電壓.

動(dòng)態(tài)模型(4)可寫為如下的線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

仿真中,二階RC 電路的電子元件參數(shù)為R1R2200 Ω,C1C21 000μF,同時(shí)考慮系統(tǒng)受到的未知擾動(dòng)和噪聲以及傳感器故障,再利用歐拉一步化離散方法(離散時(shí)間Ts0.05 s)將二階RC電路系統(tǒng)(40)轉(zhuǎn)換為式(10)形式的離散系統(tǒng),相關(guān)參數(shù)矩陣為

則可得廣義系統(tǒng)(13)的矩陣參數(shù)為

選取ζ0.75,λ0.5,并求解優(yōu)化問題(35),則可得到μ0.3021,γw0.3022,γv0.3346 以及觀測(cè)器增益矩陣L為

本文主要考慮兩種常見類型的傳感器故障: 突變故障和時(shí)變故障.首先,考慮如下的傳感器突變故障

傳感器突變故障檢測(cè)的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示.圖2 中給出了故障檢測(cè)結(jié)果指示值σk的曲線,從圖2 中可看出,在傳感器發(fā)生突變故障后,本文所設(shè)計(jì)的方法可以快速地檢測(cè)到故障,具備高效的故障檢測(cè)性能.為了直觀理解基于橢球分析的殘差評(píng)價(jià)方法,圖3 中給出了采樣時(shí)刻k在95 到105 的時(shí)間內(nèi),殘差rk與殘差橢球E(0,Rk) 的仿真結(jié)果.從圖3 中可看出,rkE(0,Rk),k ≥100.根據(jù)檢測(cè)邏輯(38)可知檢測(cè)到系統(tǒng)發(fā)生故障,驗(yàn)證了橢球殘差評(píng)價(jià)方法的有效性.

圖2 突變故障檢測(cè)結(jié)果指示值Fig.2 Indication of abrupt fault detection result

圖3 突變故障的殘差 rk 與殘差橢球E(0,Rk)(k=95～105)Fig.3 Residual rk and residual ellipsoid E (0,Rk) of abrupt fault (k=95～105)

仿真中,考慮如下形式的時(shí)變傳感器故障

時(shí)變傳感器故障檢測(cè)的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示.圖4 中給出了故障檢測(cè)結(jié)果指示值σk的曲線,從圖4 中可以看出,本文所設(shè)計(jì)的方法在系統(tǒng)傳感器發(fā)生時(shí)變故障后可以快速給出準(zhǔn)確的檢測(cè)結(jié)果,具備良好的檢測(cè)性能.圖5 中給出了采樣時(shí)刻k在95 到105 時(shí)間內(nèi),殘差rk與殘差橢球E(0,Rk)的仿真結(jié)果.從圖5 中可以看出,rkE(0,Rk),k ≥100,同樣表明系統(tǒng)發(fā)生了故障,再次驗(yàn)證了橢球殘差評(píng)價(jià)方法的有效性.

圖4 時(shí)變故障檢測(cè)結(jié)果指示值Fig.4 Indication of time-varying fault detection result

圖5 時(shí)變故障的殘差 rk 與殘差橢球E(0,Rk)(k=95～105)Fig.5 Residual rk and residual ellipsoid E (0,Rk) of time-varying fault (k=95～105)

為了驗(yàn)證本文檢測(cè)方法的優(yōu)越性,仿真中將本文方法與H-/H∞和H-/L∞故障檢測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比.

針對(duì)系統(tǒng)(10),設(shè)計(jì)如下形式的H-/H∞故障檢測(cè)觀測(cè)器

針對(duì)系統(tǒng)(10),設(shè)計(jì)如下形式的H-/L∞故障檢測(cè)觀測(cè)器

仿真中,H-/H∞和H-/L∞故障檢測(cè)方法也采用橢球技術(shù)來進(jìn)行殘差評(píng)價(jià),并采用如下的檢測(cè)邏輯

其中,E(0,Hk)為H-/H∞故障檢測(cè)方法的殘差橢球,E(0,Lk)為H-/L∞故障檢測(cè)方法的殘差橢球,δk和?k為兩種方法故障檢測(cè)結(jié)果的指示值.故障檢測(cè)邏輯(43)和(44)同樣通過求解帶約束的線性規(guī)劃問題來進(jìn)行判斷,此處不再贅述.

不失公平性,本文方法與H-/H∞和H-/L∞故障檢測(cè)方法均采用與上述相同的仿真參數(shù).仿真中,考慮如下的傳感器微小突變故障:

仿真對(duì)比結(jié)果如圖6～ 9 所示.圖6 中給出了3 種方法故障檢測(cè)結(jié)果指示值σk、δk和?k的對(duì)比曲線.從圖中可看出,本文中的方法對(duì)傳感器的微小突變故障仍有檢測(cè)能力,H-/L∞方法雖然能檢測(cè)到故障,但漏檢率明顯高于本文方法;而H-/H∞方法則完全無法檢測(cè)到該微小突變故障.仿真結(jié)果說明本文方法具備更良好的故障檢測(cè)性能.圖7～ 9中分別給出了采樣時(shí)刻k在95 到105 時(shí)間內(nèi),本文方法的殘差rk與殘差橢球E(0,Rk)、H-/H∞方法的殘差?k與殘差橢球E(0,Hk) 以及H-/L∞方法的殘差?k與殘差橢球E(0,Lk) 的仿真結(jié)果.從圖中可看出,rkE(0,Rk),103≤k ≤105,而?k E(0,Hk),?k E(0,Lk),95≤k ≤105.這表明本文方法檢測(cè)到了故障,但H-/H∞和H-/L∞方法在此時(shí)間段內(nèi)未檢測(cè)到故障,驗(yàn)證了本文方法的有效性與優(yōu)越性.

圖6 微小突變故障檢測(cè)指示值對(duì)比結(jié)果Fig.6 Comparison result of small abrupt fault detection indication values

圖7 本文方法的殘差 rk 與殘差橢球E(0,Rk)(k=95～105)Fig.7 Residual rk and residual ellipsoid E (0,Rk) by the proposed approach (k=95～105)

圖8 H-/H∞ 方法的殘差 ?k 與殘差橢球E(0,Hk)(k=95～105)Fig.8 Residual ?k and residual ellipsoid E (0,Hk) by the H-/H∞ method (k=95～105)

圖9 H-/L∞ 方法的殘差 ?k 與殘差橢球E(0,Lk)(k=95～105)Fig.9 Residual ?k and residual ellipsoid E (0,Lk) by the H-/L∞ method (k=95～105)

其中,εk為文獻(xiàn)[29]中方法故障檢測(cè)結(jié)果指示值,εk0,系統(tǒng)正常;εk1,系統(tǒng)故障.

仿真對(duì)比過程中,采用與上述相同的仿真參數(shù)和傳感器微小突變故障,由此可得到如圖10 所示的殘差區(qū)間分析仿真結(jié)果和如圖11 所示的故障檢測(cè)對(duì)比結(jié)果.通過對(duì)故障檢測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后可知,在傳感器故障的100 個(gè)采樣時(shí)刻內(nèi),本文方法共在43 個(gè)采樣時(shí)刻檢測(cè)到故障;文獻(xiàn)[29]中方法共在30 個(gè)采樣時(shí)刻檢測(cè)到故障,說明本文中的橢球故障檢測(cè)方法可以得到比文獻(xiàn)[29]中方法更良好的故障檢測(cè)結(jié)果,漏檢率更低,驗(yàn)證了本文方法優(yōu)秀的故障檢測(cè)性能.

圖11 本文方法與文獻(xiàn)[29]方法的故障檢測(cè)結(jié)果Fig.11 Fault detection results of the proposed method and the approach in [29]

為了說明本文方法計(jì)算量需求小、運(yùn)算效率高的優(yōu)勢(shì),仿真中將本文方法與文獻(xiàn)[41]中的橢球故障檢測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比.對(duì)比過程中,采用與上述相同的仿真參數(shù)和傳感器微小突變故障,將兩種方法在同一環(huán)境下各運(yùn)行7 次并記錄算法的運(yùn)行時(shí)間,由此得到如表1 所示的數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果.仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)選用了如下測(cè)試環(huán)境: Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU@ 2.8 GHz、16.00 GB 內(nèi)存、Windows10 系統(tǒng).從表1 中可以看出,本文方法運(yùn)行時(shí)間更短,可得到比文獻(xiàn)[41]中方法更高的計(jì)算效率.這一對(duì)比結(jié)果也驗(yàn)證了注5 中算法時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度的分析結(jié)果,文獻(xiàn)[41]中高量級(jí)時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度方法所需的運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)大于本文中 O(n3) 時(shí)間計(jì)算復(fù)雜度的方法.

表1 本文設(shè)計(jì)方法與文獻(xiàn)[41]中方法的運(yùn)行時(shí)間(s)Table 1 Running time of the proposed approach and the method in [41] (s)

仿真中還對(duì)比了本文方法與文獻(xiàn)[41]中方法的故障檢測(cè)性能,仿真對(duì)比結(jié)果如圖12 所示.通過對(duì)故障檢測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后可知,在傳感器微小突變故障作用的100 個(gè)采樣時(shí)刻內(nèi),本文方法共在43 個(gè)采樣時(shí)刻檢測(cè)到故障,文獻(xiàn)[41]中方法共在27 個(gè)采樣時(shí)刻檢測(cè)到故障,說明本文方法可以得到比文獻(xiàn)[41]中方法更優(yōu)秀的故障檢測(cè)性能,驗(yàn)證了本文方法的有效性.

圖12 本文方法與文獻(xiàn)[41]方法的故障檢測(cè)結(jié)果Fig.12 Fault detection results of the proposed method and the approach in [41]

5 結(jié)束語

本文針對(duì)具有未知擾動(dòng)與測(cè)量噪聲的線性離散時(shí)間系統(tǒng),提出了一種新的傳感器故障檢測(cè)方法.首先,通過將傳感器故障視為增廣狀態(tài),將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個(gè)等效的新線性系統(tǒng).基于該系統(tǒng),本文使用魯棒觀測(cè)器設(shè)計(jì)和極點(diǎn)配置方法構(gòu)造了一個(gè)故障檢測(cè)觀測(cè)器,使得生成的殘差能夠同時(shí)滿足對(duì)擾動(dòng)與噪聲的魯棒性和對(duì)故障的敏感性,并將檢測(cè)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為易于求解的線性矩陣不等式形式.為了檢測(cè)故障,本文還提出了一種基于橢球分析的殘差評(píng)價(jià)方法,可通過判斷殘差是否被無故障殘差橢球包含來檢測(cè)故障.特別地,無故障殘差橢球生成算法所需的計(jì)算量較小,具備良好的計(jì)算效率,易于實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).最后,通過一個(gè)二階RC 電路的仿真算例驗(yàn)證了所提出方法的有效性與優(yōu)越性.此外,本文中所提出線性系統(tǒng)傳感器故障檢測(cè)方法可以通過線性變參數(shù)模型近似的方式推廣到非線性系統(tǒng),這將是我們下一步的研究工作.