基于種群個(gè)體數(shù)自適應(yīng)的多尺度量子諧振子優(yōu)化算法

焦育威 王 鵬

伴隨人工智能的發(fā)展,大量的啟發(fā)式算法相繼提出,如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等,這些算法在優(yōu)化領(lǐng)域中有著出色的表現(xiàn).隨著優(yōu)化問題復(fù)雜程度的加深,這些算法的弊端開始顯現(xiàn),如算法“早熟”或種群多樣性喪失導(dǎo)致精度下降、計(jì)算成本上升等問題,為解決這些問題近年來大量的改進(jìn)策略被提出,這些改進(jìn)策略可以劃分為兩大類.

第1 類改進(jìn)方案屬于經(jīng)典力學(xué)范疇,如對(duì)算法的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié),文獻(xiàn)[1-3] 對(duì)粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization,PSO) 的慣性系數(shù)進(jìn)行研究,分析慣性系數(shù)對(duì)全局搜索和局部搜索的影響,以此提高 PSO 的性能.或是融合其他算法的某種機(jī)制以提高自身性能,如文獻(xiàn)[4]將粒子群優(yōu)化算法的局部快速收斂性與模擬退火算法的全局收斂性結(jié)合,提出一種協(xié)同進(jìn)化的算法,新算法在全局收斂能力和收斂速度上都有所提高;或是以算法迭代過程中的種群為入手點(diǎn),改變種群的更新方式或?qū)我环N群進(jìn)行分組或劃分,使其多種群化,如基于生物學(xué)上物種劃分的小生境遺傳算法[5].2010 年Luo 等[6]基于人工智能體的原始結(jié)構(gòu),將人工智能體劃分為幾個(gè)獨(dú)立的子群體,不同的子群體中進(jìn)行通信,這一方法被證實(shí)有效.同時(shí)也有學(xué)者基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)對(duì) PSO 中粒子進(jìn)行種群劃分[7-9],以此平衡算法的勘探能力和開采能力[10].

第2 類改進(jìn)方案是在原算法基礎(chǔ)上引入量子機(jī)制,從量子物理與優(yōu)化問題在概率意義上的相似性出發(fā),通過引入量子機(jī)制提高算法的性能,在優(yōu)化算法中應(yīng)用較為廣泛的量子機(jī)制可分為如下幾種:

1) 量子波動(dòng)的引入.1994 年 Finnila 等[11]在模擬退火算法(Simulated annealing,SA)中引入量子波動(dòng),利用系統(tǒng)中逐級(jí)遞減的量子波動(dòng)尋找經(jīng)典系統(tǒng)的基態(tài),提出量子退火算法(Quantum annealing,QA).量子波動(dòng)的引入將函數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解系統(tǒng)基態(tài)的問題,目標(biāo)函數(shù)f(x) 則對(duì)應(yīng)量子系統(tǒng)中的勢(shì)阱,伴隨量子系統(tǒng)的演化,粒子有一定的概率發(fā)生隧道效應(yīng),在量子系統(tǒng)中粒子能通過勢(shì)壘貫穿出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)(可映射為最優(yōu)解區(qū)間),這稱為隧道效應(yīng).隧道效應(yīng)增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力,但量子退火算法并未對(duì)隧道效應(yīng)的發(fā)生概率進(jìn)行主觀控制.

2) 勢(shì)阱等效.通過薛定諤方程建立采樣函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)f(x) 之間的關(guān)系,文獻(xiàn)[12-13]以 Delta勢(shì)阱下的波函數(shù)模方引導(dǎo)粒子位置更新,提出量子粒子群優(yōu)化算法(Quantum PSO,QPSO),將粒子尋優(yōu)空間等效為勢(shì)阱,粒子的搜索行為受勢(shì)阱約束,全局最優(yōu)位置映射為勢(shì)能最低點(diǎn)位置.王鵬等[14]通過模擬量子諧振子從高能態(tài)向基態(tài)收斂過程,將目標(biāo)函數(shù)以諧振子勢(shì)進(jìn)行等效,提出用于解決高維函數(shù)優(yōu)化問題的多尺度量子諧振子優(yōu)化算法(Multiscale quantum harmonic oscillator algorithm,MQHOA),并于 2019 年通過模擬量子系統(tǒng)下自由粒子的運(yùn)動(dòng)過程解決函數(shù)優(yōu)化問題,提出了基于自由粒子模型的優(yōu)化算法框架[15].通過勢(shì)阱等效,采用某一勢(shì)阱下的波函數(shù)對(duì)粒子搜索過程進(jìn)行概率描述,較經(jīng)典力學(xué)的種群確定性演化過程而言該體系下算法的隨機(jī)性更強(qiáng).

3) 疊加態(tài)原理的應(yīng)用.首先是 Narayanan 等[16]在 1996 年通過多種群的方式將量子多宇宙的概念引入遺傳算法;隨后,Han 等[17]將量子編碼和量子旋轉(zhuǎn)門應(yīng)用在種群的編碼和更新過程中,提出量子遺傳算法,疊加態(tài)原理在遺傳算法中的應(yīng)用提升了算法的尋優(yōu)能力,采用量子編碼的染色體可表達(dá)多個(gè)態(tài)的疊加,通過量子手段增加了種群的多樣性,類似的改進(jìn)工作有量子蟻群算法[18];同時(shí)文獻(xiàn)[19]采用量子編碼的方式對(duì)差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn),并在電力系統(tǒng)的優(yōu)化問題中取得了不錯(cuò)的效果,將量子疊加態(tài)的概率特性以量子編碼的形式應(yīng)用在已有的算法改進(jìn)工作中已被證明是有效的.

無論是量子退火算法中以遞減的量子波動(dòng)尋找量子系統(tǒng)基態(tài),還是通過勢(shì)阱等效的方法使粒子在量子系統(tǒng)下尋找勢(shì)能最低點(diǎn),在算法的迭代過程中,粒子都有一定的概率發(fā)生量子隧道效應(yīng),發(fā)生隧道效應(yīng)的概率在函數(shù)優(yōu)化問題中可衡量采樣點(diǎn)從局部最優(yōu)跳到全局最優(yōu)的能力.隧道效應(yīng)的發(fā)生是量子系統(tǒng)特有的現(xiàn)象,目前應(yīng)用量子機(jī)制改進(jìn)算法的方案中雖然涉及隧道效應(yīng)的發(fā)生,但未對(duì)隧道效應(yīng)發(fā)生概率有效控制以及隧道效應(yīng)概率大小對(duì)算法性能影響進(jìn)行研究.勢(shì)壘與粒子簇對(duì)量子隧道效應(yīng)的發(fā)生概率具有較大的影響,因此在算法迭代過程中對(duì)這兩個(gè)變量信息的獲取與利用變得尤為重要.本文以經(jīng)典力學(xué)中多種群搜索方式為基礎(chǔ),將子種群的個(gè)體數(shù)映射為某一粒子簇中粒子的數(shù)量,將子種群間分布的相對(duì)位置用于評(píng)估當(dāng)前粒子簇(采樣點(diǎn))到函數(shù)最優(yōu)解間的勢(shì)壘寬度,將經(jīng)典力學(xué)下的多種群搜索策略賦予量子意義,通過動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)迭代過程中子種群規(guī)模而增加種群整體量子隧道效應(yīng)的發(fā)生概率,達(dá)到增強(qiáng)算法性能的目的,從控制隧道效應(yīng)發(fā)生概率的角度為算法改進(jìn)提供一種新思路.

本文結(jié)構(gòu)安排如下.第1 節(jié)闡述優(yōu)化算法的隧道效應(yīng),并建立多種群搜索策略與隧道效應(yīng)發(fā)生概率的關(guān)系;第2 節(jié)和第3 節(jié)以 MQHOA 為例,說明其優(yōu)化過程背后的物理背景,同時(shí)從發(fā)生隧道效應(yīng)的角度分析該算法的不足之處,證明通過多種群手段增加隧道效應(yīng)發(fā)生概率的必要性,然后基于蒙特卡洛評(píng)估的思想提出子種群規(guī)模自適應(yīng)的策略;第4 節(jié)給出改進(jìn)后具體的算法MQHOA-d (Multiscale quantum harmonic oscillator algorithm based on dynamic subpopulation),并以雙阱函數(shù)為例設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)跟蹤算法在尋優(yōu)過程中發(fā)生量子隧道效應(yīng)點(diǎn)的數(shù)量變化情況,同時(shí)說明隧道效應(yīng)對(duì)算法尋優(yōu)的影響;第5 節(jié)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)并對(duì)改進(jìn)后的算法(MQHOA-d) 從尋優(yōu)誤差、計(jì)算資源消耗等方面進(jìn)行分析.

1 多種群策略與隧道效應(yīng)

在經(jīng)典力學(xué)體系下,將優(yōu)化算法的采樣方式由單一種群采樣改進(jìn)為多種群采樣,從某種程度上增加了算法迭代過程中解的多樣性,由此提高原算法尋優(yōu)能力.但該方法仍存在弊端,對(duì)于將原算法單一種群采樣變?yōu)槎喾N群采樣這一類改進(jìn)方案,普遍存在一個(gè)共性,即當(dāng)算法對(duì)子種群的劃分完成后,其子種群的數(shù)目是固定的,隨著迭代進(jìn)行,子種群的個(gè)體數(shù)并不會(huì)動(dòng)態(tài)變化.

對(duì)于類似多種群化的改進(jìn)策略,除種群間的協(xié)作或?qū)W習(xí)等方式對(duì)算法性能的提高外,采樣過程中子種群規(guī)模的變化對(duì)算法性能也具有影響,大量的算法改進(jìn)專注于種群間的行為方式,而忽略子種群規(guī)模自身對(duì)性能的影響.如果從量子力學(xué)的角度看待多種群策略,可將以多種群的形式代表的整體采樣點(diǎn)中子種群的數(shù)量映射為粒子簇的數(shù)量,某一子種群規(guī)模(個(gè)體數(shù)) 映射為粒子簇中粒子的數(shù)量.當(dāng)前子種群到最優(yōu)解區(qū)間的距離用于勢(shì)壘的評(píng)估,目標(biāo)函數(shù)f(x) 用于勢(shì)能評(píng)估,詳細(xì)對(duì)應(yīng)關(guān)系見表1.由此可將函數(shù)優(yōu)化過程看作種群尋找勢(shì)能最低點(diǎn)位置的過程,在量子體系下粒子向勢(shì)能最低點(diǎn)的搜索過程中,粒子存在穿越勢(shì)壘到達(dá)勢(shì)能最低點(diǎn)的可能性,即采樣點(diǎn)從局部最優(yōu)跳到全局最優(yōu)區(qū)間,這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng),也是量子系統(tǒng)特有的現(xiàn)象.而隧道效應(yīng)的發(fā)生概率受子種群個(gè)體數(shù)與當(dāng)前子種群到最優(yōu)解區(qū)間的距離(勢(shì)壘) 所影響,通過勢(shì)壘信息自適應(yīng)地調(diào)節(jié)子種群規(guī)模,可改變總體隧道效應(yīng)的發(fā)生概率,達(dá)到增強(qiáng)算法尋優(yōu)能力的目的,同時(shí)彌補(bǔ)了經(jīng)典力學(xué)下多種群改進(jìn)方案忽略子種群規(guī)模自身影響算法性能的弊端.

表1 量子理論與優(yōu)化算法的對(duì)應(yīng)關(guān)系Table 1 The relationship between quantum theory and optimization algorithm

通過定義優(yōu)化問題的波函數(shù),可將最優(yōu)區(qū)域[x0-ε,x0+ε] (x0為最優(yōu)解,ε為求解誤差) 發(fā)生隧道效應(yīng)的概率通過波函數(shù)進(jìn)行計(jì)算,此處記為Pi.則通過量子隧道效應(yīng)在下一次迭代中出現(xiàn)在最優(yōu)區(qū)域的個(gè)體數(shù)為×Pi,其中k為種群數(shù),dyni為第i個(gè)子種群的規(guī)模(個(gè)體數(shù)).在尋優(yōu)過程中,發(fā)生隧道效應(yīng)的粒子將出現(xiàn)在最優(yōu)解區(qū)域,由于多種群采樣方式具有一定的信息交流,發(fā)生量子隧道效應(yīng)的個(gè)體可引導(dǎo)所屬的子種群向最優(yōu)解方向遷移,以此達(dá)到由各子種群組成的種群整體向最優(yōu)區(qū)域收斂.

這里不妨假設(shè)一種情況,某一子種群i的規(guī)模(個(gè)體數(shù)) 為dyni,且當(dāng)前區(qū)域內(nèi)發(fā)生隧道效應(yīng)的概率為Pi,則該子種群在下一次迭代過程中通過隧道效應(yīng)達(dá)到全局最優(yōu)區(qū)間的個(gè)體數(shù)期望為Pi×dyni.無限制的增大子種群規(guī)模dyni可以增強(qiáng)該種群向最優(yōu)解區(qū)間的遷移能力,但該操作會(huì)改變種群采樣率.文獻(xiàn)[20]指出增加采樣點(diǎn)(種群規(guī)模)的數(shù)量會(huì)提高采樣率,而采樣率越小算法效率越高,出于上述考慮,基于蒙特卡洛估計(jì)的思想[21],提出可以根據(jù)種群適應(yīng)度動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)子種群個(gè)體數(shù)的策略.該策略在不改變算法采樣率的基礎(chǔ)上改變了迭代過程中種群發(fā)生隧道效應(yīng)的概率,由此提高了算法性能,同時(shí)這一策略可以廣義地應(yīng)用在各種優(yōu)化算法的改進(jìn)工作中.

第2 節(jié)將以 MQHOA 為例,從控制隧道效應(yīng)的角度對(duì)該算法進(jìn)行改進(jìn).選擇 MQHOA 作為改進(jìn)案例的原因在于該算法是基于量子理論提出的優(yōu)化算法,若選擇經(jīng)典力學(xué)體系下的優(yōu)化算法作為目標(biāo)算法,量子機(jī)制的引入容易從多個(gè)維度增強(qiáng)算法隨機(jī)性(如種群在量子體系下的疊加性),雖然能增強(qiáng)算法性能達(dá)到改進(jìn)的目的,但無法準(zhǔn)確地驗(yàn)證通過子種群規(guī)模自適應(yīng)改變隧道效應(yīng)的發(fā)生對(duì)提高算法尋優(yōu)能力的有效性.而 MQHOA 以薛定諤方程為基礎(chǔ),建立了優(yōu)化問題與量子系統(tǒng)之間的關(guān)系,將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解粒子在約束下的基態(tài)波函數(shù).MQHOA在迭代過程中會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生隧道效應(yīng),以 MQHOA為目標(biāo)算法,通過動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)子種群個(gè)體數(shù)的方式改變其迭代過程中發(fā)生隧道效應(yīng)的粒子數(shù),可以更好地驗(yàn)證通過隧道效應(yīng)改進(jìn)優(yōu)化算法的有效性和可行性.

2 標(biāo)準(zhǔn) MQHOA

2.1 MQHOA 物理模型

量子力學(xué)中波函數(shù)可以描述粒子在某位置出現(xiàn)的概率,通過文獻(xiàn)[22]可知,薛定諤方程可以描述量子系統(tǒng),不隨時(shí)間變化的薛定諤方程表示為

通過薛定諤方程的變換,可將求解目標(biāo)函數(shù)最小值問題轉(zhuǎn)化為求解諧振子勢(shì)阱下的基態(tài)波函數(shù)的問題.經(jīng)過近似操作后,波函數(shù)在基態(tài)的概率密度函數(shù)為

由式(3) 可知,目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的概率分布為高斯分布.MQHOA 算法以高斯采樣為基本操作,k個(gè)高斯采樣點(diǎn)作為粒子,利用k個(gè)高斯采樣疊加作為波函數(shù)描述當(dāng)前最優(yōu)解的概率分布.在 MQHOA 的收斂過程中,諧振子波函數(shù)從高能態(tài)逐步變向基態(tài),從高能態(tài)多個(gè)正態(tài)分布的概率疊加,逐步收斂到基態(tài)單一正態(tài)分布的穩(wěn)定狀態(tài),此時(shí)算法獲得最優(yōu)解.

2.2 MQHOA 基本流程

MQHOA 算法流程如算法1 所示.

算法 1.MQHOA 算法

算法1 中,參數(shù)k為采樣中心數(shù),S為第1 次采樣區(qū)間,σ0和σmin分別為初始尺度和最小尺度,其中σmin對(duì)算法解的精度具有重要影響.f(x) 為目標(biāo)函數(shù).偽代碼中從內(nèi)到外的3 層循環(huán)分別對(duì)應(yīng)MQHOA 的3 種物理過程,分別是能級(jí)穩(wěn)定、能級(jí)下降、尺度下降.第1 層循環(huán)即對(duì)應(yīng)能級(jí)穩(wěn)定過程,在此過程中以k個(gè)采樣點(diǎn)為中心分別按正態(tài)分布N(xi,)在每一個(gè)維度進(jìn)行采樣,以此生成新的采樣點(diǎn).計(jì)算當(dāng)前采樣點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值f() 是否小于當(dāng)前采樣中心的目標(biāo)函數(shù)值f(xi),滿足則進(jìn)行替換,不滿足則暫不替換當(dāng)前采樣中心.此外,如采樣過程中受優(yōu)化空間限制,則使用映射操作將越界點(diǎn)映射到優(yōu)化空間內(nèi),本文不討論上述映射機(jī)制.

當(dāng)k個(gè)位置的采樣中心全部完成采樣后,計(jì)算x0～xk的方差σk,然后與迭代前的方差做差,計(jì)算出迭代前后方程的變化量 Δσk.如果Δσk ＜σs則判定算法能級(jí)穩(wěn)定過程結(jié)束,進(jìn)行能級(jí)下降操作,以k個(gè)采樣點(diǎn)的均值替換當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值最差的采樣點(diǎn),即xworstxmean.當(dāng)算法基態(tài)判據(jù)滿足σk ＜σs時(shí),可認(rèn)為算法達(dá)到了尺度σs下的能量基態(tài),將進(jìn)行尺度下降過程,這個(gè)過程通過尺度減半的操作,即σs/2 降低當(dāng)前尺度,這一過程決定了搜索精度,隨著尺度下降這一步驟的進(jìn)行,算法從全局搜索逐步過渡到局部搜索.

3 標(biāo)準(zhǔn) MQHOA 存在的問題及解決方案

3.1 標(biāo)準(zhǔn) MQHOA 存在的問題

原算法(MQHOA)忽視了不同采樣中心在整個(gè)迭代過程中的適應(yīng)度值是變化的,不同采樣中心發(fā)生隧道效應(yīng)概率不同,因此在每個(gè)中心位置采取相同的采樣行為是不合理的.在解空間中,當(dāng)部分采樣點(diǎn)陷入局部最優(yōu)區(qū)域時(shí)應(yīng)增強(qiáng)該區(qū)域種群通過隧道效應(yīng)跳出該區(qū)域的能力,由于原算法存在上述缺陷,由此對(duì)部分函數(shù)尋優(yōu)時(shí)容易發(fā)生算法“早熟”現(xiàn)象.

MQHOA 搜索過程為k個(gè)正態(tài)概率分布不斷向最優(yōu)解位置迭代的過程,即算法的波函數(shù)為k個(gè)正態(tài)分布的疊加,可表示為

以一維函數(shù)為例,xi(i1,2,3,···,k) 為當(dāng)前各正態(tài)分布期望,ε為誤差上限,存在k個(gè)正態(tài)分布Ni(xi,).對(duì)k個(gè)正態(tài)分布約束下的任一采樣點(diǎn)xi,在當(dāng)前采樣中能找到最優(yōu)解的概率為

此時(shí)以該正態(tài)分布進(jìn)行采樣的種群發(fā)生量子隧道效應(yīng)采樣點(diǎn)的數(shù)量計(jì)算式為

其中,x0為最優(yōu)解位置,dyni為以當(dāng)前正態(tài)分布采樣的子種群個(gè)體數(shù).MQHOA 為單一種群采樣,可看作k個(gè)規(guī)模為1 (采樣點(diǎn)) 的子種群集合所構(gòu)成的種群整體(單一種群),因此對(duì) MQHOA 而言,dyni1,i1,2,3,···,k.由于采樣中心xi的不同,進(jìn)行 Ni(xi,) 采樣時(shí),采樣點(diǎn)落在區(qū)間[x0-ε,x0+ε]的概率具有差異性(在高維函數(shù)解空間中任意兩采樣中心x1,x2相等的概率極低,因此不考慮這種情況).圖1 所示的2 條高斯曲線分別代表采樣中心x12,x28 的概率密度分布情況,X軸上的黑點(diǎn)代表最優(yōu)解x0的位置,陰影部分為采樣點(diǎn)落在區(qū)間 [x0-ε,x0+ε] 的概率P(xi).以x2 為中心的高斯曲線下陰影部分面積大于以x8 為中心的高斯曲線下的陰影部分面積,即在這次采樣過程中以x2 為中心的采樣區(qū)域能獲得最優(yōu)解位置的概率大于以x8 為采樣中心的區(qū)域.因此,采樣成功的概率會(huì)隨采樣中心的變化而產(chǎn)生差異.

圖1 不同采樣中心概率密度曲線Fig.1 Probability density curves of different sampling centers

本文將采樣中心在當(dāng)前迭代中能找到最優(yōu)解的概率稱作適應(yīng)度值,適應(yīng)度的大小以采樣點(diǎn)與最優(yōu)解間的勢(shì)壘寬度評(píng)估.在采樣點(diǎn)所構(gòu)成的集合中,采樣點(diǎn)xi通過隧道效應(yīng)跳到最優(yōu)解區(qū)域的概率最大,本文僅需比較k個(gè)采樣中心適應(yīng)度的排名,不需要進(jìn)行精確計(jì)算,且當(dāng)前適應(yīng)度值最大的采樣中心xbest應(yīng)滿

式中,xr為除具有最大適應(yīng)度采樣點(diǎn)xbest外的任一采樣點(diǎn).原算法忽略了對(duì)適應(yīng)度不同的采樣中心進(jìn)行區(qū)別采樣,導(dǎo)致種群在適應(yīng)度較小的區(qū)域采樣時(shí),不能準(zhǔn)確獲取最優(yōu)解位置信息,即能級(jí)穩(wěn)定過程緩慢且易陷入局部最優(yōu)解,同時(shí)影響收斂速度.實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的維度較高時(shí),在規(guī)定的迭代次數(shù)中,MQHOA 的求解成功率會(huì)大幅度降低.當(dāng)算法隨著迭代次數(shù)的增加,從全局搜索過渡到局部搜索后,這種采樣策略在搜索能力上的不足開始體現(xiàn),尋優(yōu)誤差較大.

3.2 基于蒙特卡洛估計(jì)的種群數(shù)分配

函數(shù)的優(yōu)化問題從某方面而言是具有黑盒特性的,在優(yōu)化問題中目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式f(x) 是不確定的,在迭代過程中,每一個(gè)子種群發(fā)生mi次測(cè)量,mi為當(dāng)前子種群的個(gè)體數(shù)(規(guī)模),實(shí)際上可以將采樣映射為對(duì)函數(shù)f(x) 積分的評(píng)估.通過第2 節(jié)可知,增加以當(dāng)前中心xi的采樣次數(shù)mi可以增大找到最優(yōu)解概率,本節(jié)內(nèi)容具體分析對(duì)不同mi之間是否應(yīng)該具有差異.基于蒙特卡洛思想[23],可知采樣越多,越近似于最優(yōu)解.對(duì)于函數(shù)優(yōu)化,在最優(yōu)解xo所在誤差范圍 [x0-ε,x0+ε] 內(nèi),應(yīng)滿足

由于MQHOA 采樣過程中尺度σs是不斷遞減的,對(duì)于k個(gè)子種群搜索過程而言,實(shí)際上是評(píng)估k個(gè)子種群在當(dāng)前尺度下積分最小的問題,表達(dá)為

由于波函數(shù)概率密度函數(shù)為正態(tài)分布,函數(shù)采樣區(qū)間有限,這里做近似處理

式(9)是以xi(i1,···,k) 為中心的子種群對(duì)當(dāng)前區(qū)域的評(píng)估蒙特卡洛算子,mi(i1,···,k)為該子種群的規(guī)模(個(gè)體數(shù)),P(xi)(i1,···,k)為當(dāng)前第i個(gè)子種群的概率密度函數(shù),其中,N為采樣次數(shù),它與mi相對(duì)應(yīng),f(x)為目標(biāo)函數(shù),P(x)為x的概率密度函數(shù),記f(xi)/P(xi)g(xi),據(jù)大數(shù)定律可知

由此可以推出區(qū)間內(nèi)積分在N次重復(fù)采樣下的表現(xiàn)形式為

對(duì)于不同中心Xi而言,定義域內(nèi)的采樣概率密度函數(shù)具有差異,而固定區(qū)間內(nèi)對(duì)函數(shù)的積分為定值,此時(shí)應(yīng)分析概率密度函數(shù)對(duì)積分評(píng)估的影響.我們知道所有采樣中心點(diǎn)服從正態(tài)分布的方差是相同的,不同的是期望,而期望值為采樣中心的坐標(biāo)信息.此時(shí)計(jì)算方差為

記g(xi)方差為σ2,此時(shí)g(xi) 相互獨(dú)立,因此蒙特卡洛方差與σ2的關(guān)系為

4 基于多種群的MQHOA-d

4.1 MQHOA-d 流程

k個(gè)種群以當(dāng)前種群中心的波函數(shù)為基準(zhǔn)進(jìn)行采樣,每個(gè)子種群的個(gè)體數(shù)mi(i1,···,k) 的更新是根據(jù)當(dāng)前中心到適應(yīng)度最高種群中心的歐氏距離決定的,更新式為

其中,n為維度大小,l為當(dāng)前維度,Xi為當(dāng)前種群中心,Xbest為適應(yīng)度最高的采樣中心,依據(jù)歐氏距離的種群規(guī)模更新式為

式 (14)通過各子種群中心Xi到當(dāng)前最優(yōu)子種群中心Xbest的歐氏距離評(píng)估各子種群所處解空間的適應(yīng)度,距當(dāng)前最優(yōu)子種群中心距離越遠(yuǎn),則判斷該子種群適應(yīng)度越差,由此通過式 (15) 更新該子種群規(guī)模(個(gè)體數(shù)).該操作在量子力學(xué)上的意義在于通過評(píng)估粒子簇與最優(yōu)解區(qū)間的勢(shì)壘寬度(式(14)對(duì)子種群中心歐氏距離的計(jì)算) 調(diào)節(jié)粒子數(shù)量(式(15)對(duì)子種群規(guī)模的調(diào)節(jié)),從而改變?cè)搮^(qū)域發(fā)生量子隧道效應(yīng)的概率.

能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)對(duì)算法在當(dāng)前尺度下種群進(jìn)行充分搜索有重要影響,當(dāng)k個(gè)種群遷移速度過快,達(dá)到能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)標(biāo)準(zhǔn)時(shí),會(huì)進(jìn)行能級(jí)下降,種群分布聚集,由此容易導(dǎo)致算法早熟,全局搜索不充分.因此,需要在每輪迭代過程中對(duì)當(dāng)前尺度下的種群空間進(jìn)行限定,即實(shí)現(xiàn)種群遷移步長控制.MQHOAd 在迭代過程中,首先初始化k個(gè)種群中心,以當(dāng)前尺度σs2生成n維協(xié)方差矩陣,具體計(jì)算為

其中,cov(g)表示第g代的協(xié)方差矩陣,在當(dāng)前種群中心Xi處按照正態(tài)分布 N(Xi,cov(g))生成個(gè)采樣點(diǎn),完成當(dāng)前種群個(gè)體初始化.當(dāng)種群方差滿足能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)時(shí) (Δσk ≤σs),MQHOA-d 進(jìn)行能級(jí)下降操作,需要將適應(yīng)度最差的種群所有個(gè)體淘汰.取剩下k個(gè)種群中心位置的均值坐標(biāo),初始化一個(gè)新的種群中心m(g),具體為

以Xi為中心通過式 (14)和式(15) 生成種群個(gè)體,用新種群替換當(dāng)前最差種群,完成替換過程,實(shí)現(xiàn)能級(jí)下降.當(dāng)所有的個(gè)體滿足能級(jí)下降判據(jù),此時(shí)在當(dāng)前尺度的搜索過程完成,下一步在更小的尺度進(jìn)行搜索,進(jìn)行尺度下降操作.MQHOAd 的尺度下降步驟與MQHOA 相同,仍為尺度減半操作.當(dāng)滿足基態(tài)判據(jù)時(shí),輸出當(dāng)前最優(yōu)解,尋優(yōu)結(jié)束.

圖2 表示k為30、λ為1 000 時(shí),MQHOA-d所生成的種群在 Ellipsoidal 函數(shù)上種群分布示意圖.函數(shù)最優(yōu)解位置為(1,2,3,···,n),粗點(diǎn)代表當(dāng)前種群中心Xi,細(xì)點(diǎn)為采樣點(diǎn)(當(dāng)前子種群個(gè)體).本文中子種群是指以當(dāng)前位置Xi為均值,根據(jù)正態(tài)分布 N(Xi,cov(g))生成的個(gè)采樣點(diǎn),即屬于同一個(gè)子種群中的個(gè)體 (采樣點(diǎn)) 變更滿足N(Xi,cov(g)).由圖2 可見,依據(jù)式 (14)和式(15)生成的種群特點(diǎn)如下: 適應(yīng)度差的區(qū)域分布子種群規(guī)模大,即個(gè)體數(shù)多;適應(yīng)度優(yōu)的區(qū)域子種群分布規(guī)模小.這一操作的目的是降低第2.1 節(jié)中對(duì)適應(yīng)度差的子種群空間的評(píng)估誤差,以此保證整體評(píng)估的穩(wěn)定性.

圖2 MQHOA-d 所生成種群在Ellipsoidal 函數(shù)二維空間分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of spatial distribution of subpopulations generated by MQHOA-d in Ellipsoidal function of 2D

MQHOA-d 偽代碼見算法2,k為種群的數(shù)量,S為第1 次采樣區(qū)間,σs和σmin分別為當(dāng)前尺度和最小尺度,其中,σs初始化為σs=UB-LB,初始化的k個(gè)采樣中心.(g1,2,···,k) 代表每一個(gè)種群的規(guī)模 (個(gè)體數(shù)).

算法 2.MQHOA-d 算法

4.2 量子隧道效應(yīng)跟蹤實(shí)驗(yàn)

多種群化可以增加種群發(fā)生量子隧穿的概率,為了更好地分析該策略與粒子發(fā)生量子隧道效應(yīng)的關(guān)系,用 MQHOA/MQHOA-d 做對(duì)照實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)組1 中 MQHOA 采樣方式為單一種群采樣,種群數(shù)為1,個(gè)體數(shù)通常為30,這里為控制參數(shù)一致,將個(gè)體數(shù)設(shè)置為200;實(shí)驗(yàn)組2 中 MQHOA-d 采樣方式為多種群采樣,設(shè)置子種群數(shù)為30,個(gè)體總數(shù)為200.在迭代過程中可以根據(jù)當(dāng)前波函數(shù)的概率密度計(jì)算發(fā)生量子隧道效應(yīng)點(diǎn)的數(shù)量,即

圖3(a) 中實(shí)線為實(shí)驗(yàn)所用函數(shù)的一維示意圖,其中加粗部分為最優(yōu)區(qū)間,圖3(b)為子種群中部分采樣個(gè)體發(fā)生量子隧道效應(yīng),貫穿勢(shì)壘跳出局部最優(yōu)示意圖.由式(18)可知在下一次迭代過程中,該子種群發(fā)生隧道效應(yīng)的個(gè)體數(shù)量與當(dāng)前子種群規(guī)模正相關(guān),式(15) 通過適應(yīng)度的差異性調(diào)節(jié)各子種群的規(guī)模,由此增加適應(yīng)度差的子種群個(gè)體數(shù),以此提高當(dāng)前能級(jí)下該子種群量子隧穿到最優(yōu)解區(qū)域的概率,增強(qiáng)該子種群向最優(yōu)解區(qū)域的遷移能力.隧道效應(yīng)的發(fā)生是粒子數(shù)量與勢(shì)壘(本文映射為適應(yīng)度) 共同影響的結(jié)果,固定子種群規(guī)模的搜索策略忽略了子種群個(gè)體數(shù)量對(duì)隧道效應(yīng)的影響,因此,基于子種群自適應(yīng)策略改進(jìn)的 MQHOA-d 在相同的環(huán)境下較固定種群規(guī)模搜索策略的算法發(fā)生隧道效應(yīng)的概率更大,由此可以提升算法搜索能力.

圖3 一維雙阱函數(shù)圖與隧道效應(yīng)示意圖Fig.3 One dimensional double well function diagram and tunnel effect diagram

實(shí)驗(yàn)的目的之一是計(jì)算種群中通過量子隧道效應(yīng)出現(xiàn)在最優(yōu)區(qū)間的點(diǎn)的數(shù)量,虛線為隨迭代次數(shù)增加采樣概率密度函數(shù)尺度遞減示意圖,當(dāng)?shù)螖?shù)增加到一定數(shù)量時(shí),概率密度函數(shù)中σs收斂于0,此時(shí)發(fā)生量子隧道效應(yīng)的概率也趨近于0,因此會(huì)發(fā)生圖4 中隨迭代次數(shù)增加,量子隧道效應(yīng)的點(diǎn)的數(shù)量先增加后遞減甚至趨于0.圖4 中三角形折線和圓形折線分別代表 MQHOA-d和MQHOA種群中發(fā)生量子隧道效應(yīng)的點(diǎn)數(shù)量與迭代次數(shù)的關(guān)系圖,MQHOA-d 與 MQHOA 的迭代過程中,在相同的迭代次數(shù)下,MQHOA-d 發(fā)生量子隧道效應(yīng)點(diǎn)的數(shù)量要大于 MQHOA,實(shí)驗(yàn)設(shè)置的輸出條件為迭代次數(shù)達(dá)到10 000.通過圖4 可知,MQHOA-d 在迭代次數(shù)達(dá)到約2 500 時(shí)尺度σs收斂于0,即種群已完成搜索,而 MQHOA 需要迭代約9 500 次才完成搜索.從發(fā)生量子隧道效應(yīng)點(diǎn)數(shù)量與迭代次數(shù)的關(guān)系圖可知,快速地達(dá)到隧道效應(yīng)點(diǎn)數(shù)量最大化有利于縮減算法搜索時(shí)間,提高種群收斂速度,這也是對(duì)第3.1 節(jié)中通過歐氏距離評(píng)估適應(yīng)度而動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)子種群規(guī)模使整體發(fā)生量子隧道效應(yīng)最大化的有效性驗(yàn)證.

圖4 MQHOA-d 與MQHOA 發(fā)生隧道效應(yīng)點(diǎn)數(shù)量與迭代次數(shù)關(guān)系圖Fig.4 The relationship between the number of tunneling points and the number of iterations between MQHOA-d and MQHOA

發(fā)生量子隧道效應(yīng)的點(diǎn)數(shù)量越多可映射為當(dāng)前種群分布尋找到最優(yōu)解區(qū)域的概率越大.MQHOA-d在迭代次數(shù)較小時(shí)即可達(dá)到整體種群發(fā)生隧道效應(yīng)的最大狀態(tài),此時(shí)尺度的縮減程度低,可以說明MQHOA-d 在全局搜索時(shí)即可快速定位全局最優(yōu)區(qū)域,面對(duì)復(fù)雜函數(shù)或多峰函數(shù)時(shí)更具有優(yōu)勢(shì);而MQHOA 在整體種群發(fā)生隧道效應(yīng)達(dá)到最大狀態(tài)時(shí)需要的迭代次數(shù)較大,此時(shí)尺度σs縮減程度高,在大尺度下對(duì)全局的評(píng)估不如 MQHOA-d,由此可以推測(cè)當(dāng)測(cè)試函數(shù)為結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)時(shí),MQHOA容易陷入局部最優(yōu)區(qū)域,且 MQHOA 的尋優(yōu)能力不如 MQHOA-d.從蒙特卡洛估計(jì)積分的角度上看,合理降低適應(yīng)度差的子種群采樣方差可以提高對(duì)當(dāng)前種群整體分布的評(píng)估準(zhǔn)確度,有利于解空間的全局評(píng)估.

5 實(shí)驗(yàn)及分析

為了全面分析 MQHOA-d 的性能,選取煙花算法 (Fireworks algorithm,FWA)[24-25]的衍生EFWA (Enhanced FWA)[26]、AFWA (Adaptive FWA)[27]以及 MQHOA、SPSO2011[28]、QPSO[29-30]作為對(duì)照組.

所有的算法在 CEC2013 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試集[31]上進(jìn)行,每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)51 次,單次運(yùn)算的最大迭代次數(shù)為10 000 ×d,其中d為維度,實(shí)驗(yàn)維度設(shè)置為30.測(cè)試集一共包括28 個(gè)測(cè)試函數(shù),根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)不同可劃分為單峰函數(shù) (f1～f5)、多峰函數(shù)(f6～f20)和復(fù)合函數(shù) (f21～f28).所有函數(shù)的定義域?yàn)閇-100,100],后續(xù)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差進(jìn)行分析.實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R) Core(TM) i7-8750H CPU @ 2.20 GHz,2.21 GHz,16.0 GB,程序采用 MATLAB2018a 編寫.其中,MQHOA、MQHOA-d 的種群數(shù)設(shè)置為30,MQHOA-d 的個(gè)體總數(shù)λ設(shè)置為200;QPSO和SPSO2011 粒子總數(shù)設(shè)置為30.具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1(EFWA、AFWA 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自于文獻(xiàn)[32]).表1中 MeanErr 表示誤差均值,Std 代表解的標(biāo)準(zhǔn)差,最優(yōu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在表2 中用粗體標(biāo)出.

5.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

為更直觀地分析數(shù)據(jù),將6 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均值進(jìn)行等級(jí)劃分(1 級(jí)～ 6 級(jí)),均值誤差最小的為1 級(jí),最大的為6 級(jí),同時(shí)計(jì)算對(duì)照組的平均等級(jí)并繪制成圖5.

圖5 CEC2013 測(cè)試集上各算法誤差等級(jí)圖(維度為30,重復(fù)51 次)Fig.5 Rank sum test results of all algorithms on CEC2013 test set (repeated 51 times in the 30-dimensional case)

與原 MQHOA 算法相比較,通過表2和圖6可以看出,MQHOA-d 在單峰函數(shù)上 (除f3) 表現(xiàn)較差,這是由于 MQHOA-d 每一個(gè)高斯采樣空間中產(chǎn)生的個(gè)采樣點(diǎn)并不能實(shí)現(xiàn)向最優(yōu)解空間的快速遷移,一次采樣所需要的計(jì)算次數(shù)為而這一操作對(duì)應(yīng)算法的能級(jí)穩(wěn)定過程: MQHOA 僅在每一個(gè)高斯采樣空間中生成一個(gè)采樣點(diǎn),即一次采樣僅需要計(jì)算k次.而結(jié)構(gòu)簡單的單峰函數(shù)并無過多局部最優(yōu)解,多種群搜索的策略雖可以提高跳出局部最優(yōu)解的概率,但針對(duì)這類型的函數(shù),需要的是整個(gè)種群快速向最優(yōu)解區(qū)域收斂,即搜索空間從大尺度向小尺度的過渡,這一過程對(duì)應(yīng) MQHOA/MQHOA-d 的能級(jí)下降過程,算法需要盡快從全局過渡到局部.而 MQHOA-d 的多種群生成決定了它將大量的計(jì)算資源消耗在能級(jí)穩(wěn)定的過程中,由于實(shí)驗(yàn)計(jì)算次數(shù)存在上限,因此在有限的計(jì)算中,MQHOA-d 進(jìn)行能級(jí)下降的次數(shù)比 MQHOA 少,即尺度縮減程度不如 MQHOA.

從多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)上看,MQHOA-d 的求解誤差要遠(yuǎn)小于原 MQHOA,這也驗(yàn)證了第4.2 節(jié)中根據(jù)量子隧道效應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)算法性能的推測(cè)是可靠的,MQHOA-d 在大尺度的狀態(tài)下盡可能多地進(jìn)行搜索,全局搜索更加全面.此策略在適應(yīng)度低的區(qū)域生成更多的采樣個(gè)體,對(duì)整個(gè)種群的計(jì)算能力進(jìn)行合理分配,提高了種群多樣性,增加跳出局部最優(yōu)解概率.因此,MQHOA-d 對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)更具有針對(duì)性.相比于 SPSO2011、QPSO、EFWA、AFWA 等算法,通過圖6 可知,MQHOA-d 在單峰函數(shù)下處于劣勢(shì),但多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的平均等級(jí)最小,且總體平均誤差等級(jí)最小.綜合28 個(gè)測(cè)試函數(shù)分析,MQHOA-d 的平均誤差等級(jí)值最小,僅為1.93.從表2 中可知,MQHOAd 的標(biāo)準(zhǔn)差在多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)中較小,具有較強(qiáng)的魯棒性.通過每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)51 次的數(shù)據(jù)繪制箱體圖(具體見圖6).這些箱體圖清晰地顯示出MQHOA-d 在多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)中的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性占據(jù)主導(dǎo)地位.

MQHOA-d 性能的增強(qiáng)得益于搜索隨機(jī)性的增強(qiáng),在量子模型下該算法的隨機(jī)性可由量子隧道效應(yīng)衡量.種群個(gè)體數(shù)自適應(yīng)過程擴(kuò)大適應(yīng)度差的子種群規(guī)模,以此增強(qiáng)搜索過程的隨機(jī)性,同時(shí)降低種群對(duì)目標(biāo)函數(shù)的評(píng)估誤差.在量子模型下解釋為當(dāng)勢(shì)壘寬度較寬時(shí),增加粒子數(shù)量可以加大粒子簇發(fā)生隧道效應(yīng)的概率,非量子模型下的優(yōu)化算法通常以增加擾動(dòng)項(xiàng)或設(shè)置變異操作的方式增強(qiáng)算法的隨機(jī)性.如文獻(xiàn)[30]中通過評(píng)估種群所處的階段實(shí)現(xiàn)變異策略的反饋調(diào)節(jié),由此提出基于狀態(tài)估計(jì)反饋的策略自適應(yīng)差分進(jìn)化算法 SEFDE,且 SEFDE 在與 CEC2013 中性能最好的 DE 改進(jìn)算法SHADE 的對(duì)比實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)出較強(qiáng)競(jìng)爭力.將表2 中MQHOA-d 的 CEC2013 測(cè)試數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)[33]中SEFDE 在同等條件下的 CEC2013 測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果顯示,MQHOA-d 在16 個(gè)函數(shù)優(yōu)化上優(yōu)于SEFDE,該16 個(gè)函數(shù)除f2外,都為多峰函數(shù)或復(fù)合函數(shù),與此同時(shí),MQHOA-d 在函數(shù)f8的優(yōu)化上與SEFDE 具有相似的優(yōu)化效果.總體而言,MQHOAd 在多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的優(yōu)化上優(yōu)于 SEFDE.這也驗(yàn)證了基于蒙特卡洛評(píng)估提出的動(dòng)態(tài)種群策略的合理性,增大適應(yīng)度差的種群規(guī)模可以提高算法搜索隨機(jī)性,有利于降低整體評(píng)估誤差.

統(tǒng)計(jì)51 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的平均迭代時(shí)間,繪制成圖7.在圖7 中,方框中數(shù)字代表算法在對(duì)應(yīng)測(cè)試函數(shù)中所消耗的平均時(shí)間,單位為s.將時(shí)間歸一化后進(jìn)行涂色,顏色越深的區(qū)域代表消耗時(shí)間越多.

本次實(shí)驗(yàn)中,算法MQHOA 在測(cè)試函數(shù)f1上的平均迭代次數(shù)為 3.49×104,小于上限D(zhuǎn)×10 000,其他實(shí)驗(yàn)組的平均迭代次數(shù)均達(dá)到上限D(zhuǎn)×10 000.針對(duì)測(cè)試函數(shù)f1而言,MQHOA 所消耗時(shí)間較其他3 種算法少一個(gè)數(shù)量級(jí),且圖6 中箱體圖顯示MQHOA 的51 次求解數(shù)據(jù)分布不穩(wěn)定,可見 MQHOA 在f1測(cè)試函數(shù)上存在算法“早熟” 現(xiàn)象,過早地收斂在某一局部最優(yōu)無法跳出,也驗(yàn)證了增大種群初期發(fā)生量子隧道效應(yīng)的概率更不易陷入局部最優(yōu).在測(cè)試函數(shù)f9上,MQHOA-d 所消耗時(shí)間較其他3 種算法具有極大的優(yōu)勢(shì),平均誤差僅次于 QPSO,且誤差范圍與 QPSO 在同一個(gè)數(shù)量級(jí),當(dāng)實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)面對(duì)結(jié)構(gòu)類似于f9函數(shù)時(shí),可在節(jié)約計(jì)算成本的情況下使用 MQHOA-d.總體而言,MQHOA 算法消耗時(shí)間最少,但尋優(yōu)精度遠(yuǎn)不如其他3種算法;MQHOA-d 消耗時(shí)間僅次于 MQHOA,但尋優(yōu)精度和魯棒性強(qiáng)于 MQHOA、QPSO和SPSO2011.

6 結(jié)束語

本文基于蒙特卡洛估計(jì)中不同子種群對(duì)總體評(píng)估誤差的差異性,提出動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)子種群規(guī)模的尋優(yōu)策略,將此策略應(yīng)用于 MQHOA 的改進(jìn),改進(jìn)后的算法(MQHOA-d)在未增加隨機(jī)化特征,或者添加擾動(dòng)等多余步驟的前提下解決了原算法的“早熟”現(xiàn)象[34].核心在于動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)種群規(guī)模方式增大了種群迭代初期發(fā)生量子隧道效應(yīng)的概率,使其對(duì)解空間全局評(píng)估更加精準(zhǔn).在迭代次數(shù)相同的情況下MQHOA-d 對(duì)多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)尋優(yōu)誤差更小,根據(jù)適應(yīng)度評(píng)估的多種群采樣方式動(dòng)態(tài)地調(diào)節(jié)了種群規(guī)模,在解空間中更加合理地進(jìn)行勘探和開發(fā),同時(shí)種群利用率得到了提高.改進(jìn)后的算法雖然結(jié)構(gòu)上較之前相比變得復(fù)雜,但時(shí)間復(fù)雜度上仍優(yōu)于幾大主流算法(SPSO2011、QPSO).目前,MQHOAd 仍有局限性,如: 1) MQHOA 系列算法的隨機(jī)性和隱含并行性尚不明確[35-36];2) MQHOA-d 種群個(gè)體行為所抽象的隨機(jī)游走模型[37-38]尚未研究.