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    改進(jìn)的多尺度學(xué)習(xí)字典圖像去噪算法*

    2023-08-02 07:08:42
    關(guān)鍵詞:曲波字典尺度

    毛 靜

    (安康學(xué)院電子與信息工程學(xué)院 安康 725000)

    1 引言

    目前,為有效去除圖像噪聲,盡可能保持圖像結(jié)構(gòu)的邊緣/紋理等細(xì)節(jié)信息,多種去噪方法被應(yīng)用于圖像去噪工作中。例如空間域的中值濾波方法[1~2]、高斯濾波方法[3]、非局部均值濾波方法[4]、雙邊濾波方法[5]等,以及變換域的小波閾值方法[6]、奇異值分解方法[7]、曲波變換方法[8]和BM3D 算法[9]等。然而空間域去噪方法受原理限制,對(duì)于復(fù)雜圖像中噪聲去除較為困難。而變換域去噪方法對(duì)變換域系數(shù)做經(jīng)驗(yàn)性假設(shè),單一固定的基函數(shù)難以自適應(yīng)復(fù)雜圖像特征,容易損傷圖像特征的細(xì)節(jié)信息,使圖像變得模糊,部分算法雖然具有較好的去噪能力,但是受算法原理限制,其計(jì)算效率有待進(jìn)一步提高。因而,數(shù)字圖像需要一種能夠既能較好消除圖像噪聲,又能最大程度保留圖像邊緣/紋理細(xì)節(jié)信息的高效率噪聲去除方法[10]。

    近年來(lái),數(shù)字圖像領(lǐng)域去噪方法較多,楊培在2018 年提出多信息結(jié)合字典方法,用于改善常規(guī)字典學(xué)習(xí)方法容易導(dǎo)致去噪結(jié)果模糊的問(wèn)題[11],由于算法抗干擾能力較差,去噪結(jié)果有待提升。陶永鵬等人在2019 年將字典學(xué)習(xí)和變分模型相融合,能夠較好提升結(jié)果圖像的結(jié)構(gòu)相似性[12],然而對(duì)于噪聲較強(qiáng)時(shí)去噪效果較差。朱路等在2020 年提出一種梯度域非參數(shù)的貝葉斯字典學(xué)習(xí)方法,對(duì)于圖像細(xì)節(jié)保護(hù)較好[13],然而算法最優(yōu)的模型參數(shù)較難確定,使得去噪結(jié)果不夠理想。曲波變換具有方向性、多尺度性特征,能夠較好地表示信號(hào)的局部特征,然而合適閾值的確定較為困難,去噪結(jié)果有待提升。針對(duì)上述情況,本文結(jié)合K-SVD 算法和曲波變換的優(yōu)勢(shì),對(duì)K-SVD 算法的字典訓(xùn)練和構(gòu)建方式進(jìn)行改進(jìn),在曲波域構(gòu)建多尺度學(xué)習(xí)字典,克服單一尺度進(jìn)行圖像稀疏表示的局限性,使得新的字典具有多尺度分析優(yōu)點(diǎn),進(jìn)而能夠自適應(yīng)、完整細(xì)致地表達(dá)圖像有效信息。經(jīng)一系列仿真模擬證實(shí),改進(jìn)的去噪算法能夠有效提升去噪效果,對(duì)圖像的邊緣/紋理等細(xì)節(jié)保護(hù)較好,圖像質(zhì)量提升明顯。

    2 曲波變換與字典學(xué)習(xí)原理

    2.1 曲波變換

    曲波變換最初由Candès 等提出[14],先后經(jīng)歷兩次發(fā)展。目前應(yīng)用較廣的是第二代曲波變換,其表達(dá)式為

    式中,j,l,k 分別表示尺度,角度以及位置參數(shù),f 表示目標(biāo)函數(shù),φj,l,k表示曲波函數(shù),則頻率域的表達(dá)式為

    經(jīng)過(guò)曲波變換后,曲波系數(shù)可以分為大尺度系數(shù)層、中尺度系數(shù)層和精細(xì)小尺度層,其中少數(shù)大尺度的曲波系數(shù)對(duì)應(yīng)圖像有效信號(hào),而噪聲信號(hào)混雜在中、小尺度的曲波系數(shù)中[15]。以大小為256×256的圖像為例,曲波變換后,其曲波系數(shù)分為5個(gè)尺度,其尺度、方向等信息如表1所示。

    表1 256×256圖像的尺度系數(shù)及其結(jié)構(gòu)信息

    對(duì)式(1)的曲波系數(shù)進(jìn)行閾值,摒棄噪聲信號(hào)對(duì)應(yīng)的小值系數(shù),保留有效信號(hào)對(duì)應(yīng)的大值系數(shù),最后通過(guò)曲波反變換重構(gòu)有效信號(hào)即可獲取去噪結(jié)果。

    2.2 K-SVD字典學(xué)習(xí)算法

    K-SVD 算法主要包括稀疏編碼和字典更新兩個(gè)步驟,對(duì)于給定的原始無(wú)噪圖像I,含噪圖像X,設(shè)定學(xué)習(xí)字典D,則圖像的稀疏表示去噪可以表示為一個(gè)最優(yōu)問(wèn)題,其表達(dá)式為

    在求解式(4)時(shí),需要設(shè)置一個(gè)初始學(xué)習(xí)字典D0={dk

    0;k=1,2,…,K},該初始字典通常為隨機(jī)矩陣或者離散余弦變換系數(shù)組成,其中k 為迭代次數(shù)。然后計(jì)算稀疏編碼系數(shù),則更新后的稀疏表示系數(shù)公式為

    使用最小角回歸算法(Least angle regression,LARS)求解上式,得到圖像的稀疏表示系數(shù),則更新后的字典公式為

    將式(7)改寫(xiě)為矩陣形式,則去噪后的圖像表達(dá)式為

    式中,E表示單位矩陣,I?表示去噪后圖像結(jié)果。

    由于圖像有效信號(hào)具有良好的稀疏性,而噪聲不具備這一特點(diǎn),根據(jù)這一特征,K-SVD 通過(guò)重構(gòu)圖像的稀疏表示信號(hào)實(shí)現(xiàn)效信號(hào)和噪聲信號(hào)分離目的。

    3 多尺度學(xué)習(xí)字典的去噪算法

    本文在綜合考慮曲波變換和K-SVD 算法的基礎(chǔ)上,提出基于多尺度特征的學(xué)習(xí)字典去噪算法,該算法綜合曲波變換和K-SVD 算法優(yōu)勢(shì),能有效提升去噪效果和邊緣/紋理等細(xì)節(jié)保護(hù)能力,算法原理如下。

    3.1 曲波變換及閾值預(yù)處理

    對(duì)輸入圖像進(jìn)行離散曲波變換,對(duì)不同尺度的曲波系數(shù)進(jìn)行閾值處理并更新,則更新后的系數(shù)為

    式中,x 表示更新后的曲波系數(shù),c 表示更新前的曲波系數(shù),Hτ表示閾值函數(shù),j,l,k 分別表示尺度,角度以及位置參數(shù)。本文采用改進(jìn)的Bayes軟閾值算法對(duì)曲波系數(shù)進(jìn)行噪聲系數(shù)預(yù)處理,則各尺度條件下的閾值計(jì)算步驟為

    1)估計(jì)各尺度條件下的噪聲方差σ2

    2)估計(jì)圖像曲波系數(shù)方差σx2

    則最終的閾值表達(dá)式為

    然而,真實(shí)的噪聲方差很難估計(jì),通常需要多次調(diào)試才能得到可靠閾值參數(shù),因此本文建立一個(gè)稀疏反演模型,用于求解最優(yōu)閾值。

    首先建立一個(gè)含噪的模型,其表達(dá)式為

    其中,x表示有效圖像信息,n 表示噪聲信息,φj,l,k表示曲波函數(shù),c 表示曲波系數(shù)。當(dāng)噪聲信息σ已知時(shí),可以求解式(14)獲取圖像的有效信息x,從而實(shí)現(xiàn)噪聲去除,其表達(dá)式為

    式中,σ表示噪聲方差,由于很難估計(jì)到實(shí)際圖像的真實(shí)噪聲情況,因此本文建立一個(gè)稀疏反演模型用于求解,其表達(dá)式為

    式中,λ為正則化參數(shù),求解式(15)得去噪后的有效信息。

    實(shí)現(xiàn)上述目的的重點(diǎn)在于如何確定合適最優(yōu)的正則化參數(shù),通常情況下,當(dāng)圖像中含有較弱的噪聲時(shí),選取較小的λ值即可;當(dāng)含有較強(qiáng)噪聲時(shí),需要選取較大的λ值,且只有選取的λ最優(yōu)時(shí),才能取得最好的去噪效果。因此,對(duì)于不同尺度下的曲波系數(shù),要選取不同的λ才能有效去除該尺度下的噪聲信息。

    對(duì)于式(15),本文采用一種改進(jìn)迭代逼近的軟閾值方法求取正則化參數(shù)λ,即首先應(yīng)用一個(gè)較大的λ參數(shù)求解式(15)得到下一次迭代的初始解,然后逐步減小正則化參數(shù)λ并求解直至獲取最優(yōu)的正則化參數(shù),為實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)閾值求取,本文定義一個(gè)中間變量參數(shù),其公式為

    由式(16)可知,隨著正則化參數(shù)逐漸減小,‖xk‖1逐漸增大,‖ <x,φj,l,k>-c(j,l,k)‖2也逐漸減小,則中間變量參數(shù)Pk先變大后減小,實(shí)驗(yàn)表明,只有當(dāng)Pk為極大值時(shí),所對(duì)應(yīng)的閾值即為最優(yōu)閾值。

    3.2 在線字典的初始化

    按照稀疏表示理論將式(12)中的每一個(gè)尺度的曲波系數(shù)矩陣按照既定規(guī)格分割為n 塊,每一小塊數(shù)據(jù)成為一個(gè)樣本xi,在進(jìn)行字典學(xué)習(xí)前,每一層曲波系數(shù)設(shè)置一個(gè)初始學(xué)習(xí)字典,則在當(dāng)前尺度、角度和位置下的初始字典可以設(shè)置為D(j,l,k)0={dt0;

    t=1,2,…,K},其中t 為迭 代 次數(shù),通常將該初始字典設(shè)置為一個(gè)隨機(jī)矩陣。

    為避免稀疏表示系數(shù)矩陣中出現(xiàn)小值,通常對(duì)該初始字典列向量的二范數(shù)進(jìn)行約束,則約束公式為

    式中,?表示字典矩陣的凸集,Rm×k表示m×k的實(shí)數(shù)矩陣,dt表示字典矩陣的列向量,dT t表示字典矩陣的列向量的轉(zhuǎn)置。

    3.3 在線字典的學(xué)習(xí)和更新

    1)循環(huán)進(jìn)行稀疏編碼

    根據(jù)式(5),使用LARS計(jì)算稀疏編碼系數(shù)。

    式中,αt表示當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下計(jì)算得到的稀疏系數(shù),xt表示當(dāng)前循環(huán)次數(shù)下的曲波系數(shù)矩陣,α表示原始含噪圖像的曲波系數(shù)x(j,l,k)的稀疏系數(shù),m表示設(shè)定的循環(huán)次數(shù)。

    2)中間量更新

    At為中間變量,且A=[a1,a2,…,ak]∈Rk×k,其目的在于方便字典更新,通常設(shè)置初始量為零矩陣。在每次迭代過(guò)程中,當(dāng)前循環(huán)次數(shù)的數(shù)據(jù)塊xt矩陣中包含由η個(gè)有效信號(hào)xt1,xt2,…,xtη,則迭代更新后為

    式中,

    定 義 中 間 變 量Bt,且Bt=[b1,b2,…,bk]∈Rm×k,通常設(shè)置初始量為零矩陣。在每次迭代過(guò)程中,當(dāng)前循環(huán)次數(shù)的數(shù)據(jù)塊xt矩陣中包含由η個(gè)有效信號(hào),則迭代更新量為

    3)字典更新

    采用式(20)和式(21)完成字典的更新,則當(dāng)前迭代次數(shù)t的字典為

    對(duì)式(22)進(jìn)行求解,兩邊對(duì)D 求導(dǎo),則式(22)變?yōu)?/p>

    式中,E 為單位矩陣,At為對(duì)稱矩陣,則式(23)可繼續(xù)推導(dǎo)為

    以字典的列向量為目標(biāo),進(jìn)行逐列求導(dǎo),則式(24)變?yōu)?/p>

    將式(25)與牛頓迭代法結(jié)合,則得到字典的第m列更新值:

    將上述更新值進(jìn)行歸一化處理,則最終的第m列更新后字典值為

    循環(huán)結(jié)束,得到當(dāng)前尺度、角度和位置的最終字典DT(j,l,k)。

    3.4 去噪處理

    最后將稀疏系數(shù)αt和最終字典DT相乘,去噪后的曲波系數(shù)AT為

    3.5 曲波逆變換

    對(duì)上述曲波系數(shù)進(jìn)行疊加并執(zhí)行曲波逆變換,則得到最終處理后的圖像結(jié)果,其逆變換公式為

    4 算法測(cè)試與應(yīng)用

    為驗(yàn)證本文算法,本文采用含加性噪聲的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像進(jìn)行測(cè)試。原始無(wú)噪圖像和含噪圖像如圖1所示,然后采用K-SVD算法、雙邊濾波方法、非局部均值濾波方法、曲波變換算法、BM3D 算法、文獻(xiàn)[10]方法、文獻(xiàn)[11]方法、文獻(xiàn)[12]方法以及本文方法進(jìn)行測(cè)試。將圖1(b)所示的含噪圖像作為輸入圖像,對(duì)不同方法去噪結(jié)果的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(Structural similarity,SSIM)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果見(jiàn)表2。

    圖1 原始無(wú)噪圖像和含噪圖

    表2 仿真結(jié)果的峰值信噪比-結(jié)構(gòu)相似度

    由表2 可知,45 組測(cè)試結(jié)果中,K-SVD 結(jié)果的PSNR 平均提升為39.7%,SSIM 平均提升0.36;雙邊濾波結(jié)果的PSNR 平均提升為45.5%,SSIM 平均提升0.38;非局部均值濾波結(jié)果的PSNR 平均提升為49%,SSIM 平均提升0.394;曲波變換結(jié)果的PSNR平均提升50.1%,SSIM 平均提升0.402;BM3D 結(jié)果的PSNR 平均提升56.62%,SSIM 平均提升0.442;文獻(xiàn)[10]方法結(jié)果的PSNR 平均提升52%,SSIM 平均提升0.406;文獻(xiàn)[11]方法結(jié)果的PSNR 平均提升53.7%,SSIM 平均提升0.418;文獻(xiàn)[12]方法結(jié)果的PSNR 平均提升54.8%,SSIM 平均提升0.424;本文方法的PSNR 平均提升56.6%,SSIM 平均提升0.436。上述結(jié)果中,具有最高PSNR 和SSIM 的一組結(jié)果是BM3D 方法產(chǎn)生,本文方法和BM3D 結(jié)果最為接近。

    然后將圖1(d)所示的含噪圖像采用不同方法去噪,九種處理結(jié)果如圖2 所示。為詳細(xì)分析細(xì)節(jié)保持情況,對(duì)圖2 中的方框區(qū)域圖像進(jìn)行放大顯示,放大結(jié)果位于各自圖像的左上角位置。

    圖2 不同去噪方法的測(cè)試結(jié)果圖

    由圖2 可知,K-SVD 方法去噪結(jié)果中,圖像邊緣信息較為模糊,紋理細(xì)節(jié)有所損傷;雙邊濾波結(jié)果中,出現(xiàn)“振鈴”現(xiàn)象;非局部均值去噪結(jié)果,去噪程度較好,但是邊緣較模糊;曲波變換去噪效果要稍好于K-SVD 結(jié)果、雙邊濾波結(jié)果和非局部均值結(jié)果,但是去噪結(jié)果的局部細(xì)節(jié)仍舊有所模糊,存在部分“線狀”噪聲,具體如圖2(d)。文獻(xiàn)[10]方法結(jié)果、文獻(xiàn)[11]方法結(jié)果和文獻(xiàn)[12]方法結(jié)果,相對(duì)上述四種方法結(jié)果而言,圖像質(zhì)量明顯較好,但是相對(duì)BM3D 方法和本文方法結(jié)果而言,其圖像局部細(xì)節(jié)的質(zhì)量依然存在模糊或者存在“振鈴”現(xiàn)象。本文方法的處理結(jié)果和BM3D 結(jié)果最好,兩種方法結(jié)果中的邊緣/紋理細(xì)節(jié)保持較好,圖像整體與原始無(wú)噪圖像最為接近,具體如圖2(e)、圖2(i)所示。

    5 結(jié)語(yǔ)

    本文結(jié)合K-SVD 方法的自適應(yīng)性以及曲波變換多尺度、方向性優(yōu)勢(shì),提出改進(jìn)的多尺度學(xué)習(xí)字典去噪算法,通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像測(cè)試,證實(shí)本文方法具有很好的去噪能力和邊緣/紋理等細(xì)節(jié)保持效果。相比較常規(guī)算法而言,效果較好,去噪結(jié)果和BM3D 結(jié)果最為接近,去噪能力和BM3D 方法幾乎一致。但是計(jì)算效率明顯優(yōu)于BM3D 方法,在圖像處理中具有一定的推廣應(yīng)用效果。

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