雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制*

陳志環(huán),戴雪剛,董加順

(武漢科技大學(xué) a.冶金自動(dòng)化與檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心;b.機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院,武漢 430081)

0 引言

柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂(flexible joints manipulator,FJM)因質(zhì)量輕,靈活性好,能耗低等特點(diǎn),廣泛應(yīng)用于航天、醫(yī)療領(lǐng)域[1-2]。由于機(jī)械臂的關(guān)節(jié)存在柔性,其系統(tǒng)更為復(fù)雜,從而系統(tǒng)會(huì)受到柔性振動(dòng)的干擾。機(jī)械臂除了自身振動(dòng)外還受到外界擾動(dòng)的影響,這就要求控制器需要提供更高的控制性能。因此對(duì)FJM控制器的設(shè)計(jì)進(jìn)行深入研究具有重要意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

為了有效地解決上述問(wèn)題,不少學(xué)者圍繞柔性機(jī)械臂的控制問(wèn)題展開(kāi)了一系列的研究,一些控制策略被相繼提出并得到了很好地驗(yàn)證。汪允鶴等[3]引入了一種基于飽和函數(shù)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法,實(shí)現(xiàn)了在一定的系統(tǒng)特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運(yùn)動(dòng)的魯棒控制,從而使FJM系統(tǒng)具有更好的控制精度及穩(wěn)定性。ZHONG等[4]提出了一種基于滑?？刂撇呗院头蔷€(xiàn)性擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器的雙邊控制器,通過(guò)擾動(dòng)觀(guān)測(cè)器來(lái)估計(jì)FJM的模型不確定性和外部擾動(dòng),并補(bǔ)償了系統(tǒng)的控制輸入,有效地衰減了外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。張麗嬌等[5]為了衰減FJM受干擾的程度以及逼近系統(tǒng)的不確定性,引入了魯棒控制項(xiàng),所設(shè)計(jì)的控制方案能夠明顯地提高了系統(tǒng)的魯棒性。

上述的控制方法大多適用于精確的機(jī)械臂模型,然而機(jī)械臂在復(fù)雜的環(huán)境中工作會(huì)受到內(nèi)、外部因素的影響,如系統(tǒng)摩擦、機(jī)械磨損等,以上的因素都會(huì)導(dǎo)致機(jī)械臂模型的不精確。為了不依賴(lài)于機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型,因此一些學(xué)者在機(jī)械臂控制系統(tǒng)中引入LADRC的方法。但傳統(tǒng)的LADRC因控制要求的提升,也凸出了一些自身的不足。LIN等[6]指出LADRC難以獲得比例微分增益的值,提出一種基于誤差的可變?cè)鲆婢€(xiàn)性自抗擾控制器,仿真結(jié)果驗(yàn)證了抗擾性、快速性?xún)?yōu)于傳統(tǒng)的LADRC。ZHOU等[7]指出了傳統(tǒng)的LADRC在面對(duì)高階系統(tǒng)或時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)無(wú)法獲得更好的控制性能,因此引入了一種基于觀(guān)測(cè)器帶寬近似IMC控制器的方法,調(diào)諧后的LADRC性能更佳。近些年,隨著分?jǐn)?shù)階理論的不斷地完善,分?jǐn)?shù)階控制器相對(duì)于整數(shù)階控制器有著更優(yōu)的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性,因此將分?jǐn)?shù)階控制器與自抗擾控制器結(jié)合,融合各自的優(yōu)勢(shì),已經(jīng)在某些方面得到了很好地驗(yàn)證。CHEN等[8]在PMSM伺服速度系統(tǒng)引入了分?jǐn)?shù)階自抗擾控制,相對(duì)于整數(shù)階自抗擾控制,該系統(tǒng)具有更好的速度響應(yīng)性能和魯棒性。

綜上所述,本文針對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂中較為常用的雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的柔性振動(dòng)和受外部干擾問(wèn)題,提出了一種復(fù)合控制器策略。本文的主要貢獻(xiàn)如下:

(1)針對(duì)雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng),采用奇異攝動(dòng)法進(jìn)行解耦,分解成具有多時(shí)間尺度的兩個(gè)子系統(tǒng),然后分別對(duì)代表剛性部分的慢速子系統(tǒng)和代表柔性部分的快速子系統(tǒng)進(jìn)行控制,解決了由柔性關(guān)節(jié)和剛性臂桿的剛?cè)狁詈纤鶐?lái)的高性能控制器設(shè)計(jì)的難題。

(2)相對(duì)于傳統(tǒng)的線(xiàn)性自抗擾控制器,本文所提出的分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器能較好的抑制柔性振動(dòng)和外部干擾,通過(guò)結(jié)合快速子系統(tǒng)的微分補(bǔ)償項(xiàng),系統(tǒng)的控制性能更佳。

1 背景介紹

1.1 分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制

分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器(fractional order LADRC,FOLADRC)將分?jǐn)?shù)階控制器與線(xiàn)性自抗擾控制器結(jié)合,將線(xiàn)性自抗擾控制反饋控制器的整數(shù)階PD控制替換成分?jǐn)?shù)階PDμ控制。當(dāng)μ在(0,1)之間時(shí),就是具有更好控制效果的分?jǐn)?shù)階控制器,而μ=1時(shí)就退化成線(xiàn)性自抗擾中的整數(shù)階PD控制器。FOLADRC的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器

圖1中,FOLADRC主要由以下3個(gè)部分組成:跟蹤微分器(tracking differentiator,TD)、線(xiàn)性擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器(linear extended state observer,LESO)、線(xiàn)性狀態(tài)誤差反饋控制律(linear state error feedback,LSEF)。TD為輸入信號(hào)安排過(guò)渡過(guò)程,得到光滑的輸入信號(hào)以及各階微分信號(hào)。然后根據(jù)系統(tǒng)模型確定LESO的階數(shù),LESO要比系統(tǒng)模型高一階,系統(tǒng)總擾動(dòng)的狀態(tài)作為L(zhǎng)ESO的最高階次。最后,根據(jù)LESO估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)計(jì)LSEF,從而保證系統(tǒng)能根據(jù)設(shè)定值進(jìn)行調(diào)整,最后要對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償消除。分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器既保持線(xiàn)性自抗擾控制可以估計(jì)補(bǔ)償內(nèi)外干擾的特點(diǎn),同時(shí)由于增加了兩個(gè)調(diào)節(jié)自由度,可以使系統(tǒng)調(diào)節(jié)范圍更廣,能更好的抑制外界擾動(dòng)和減弱柔性振動(dòng)。

1.2 Oustaloup算法及其改進(jìn)算法

為了實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階控制器的控制律,選定擬合頻率段,在該頻段內(nèi)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分算子的近似計(jì)算,Oustaloup濾波器的表達(dá)式為:

(1)

(2)

由于式(2)中常規(guī)的Oustaloup算法在逼近的頻率高低段擬合效果不好,而改進(jìn)的Oustaloup算法[9]通過(guò)引入適當(dāng)?shù)南禂?shù),可以大幅度地改善近似頻率段兩端的逼近效果。改進(jìn)的Oustaloup濾波器本身采用分?jǐn)?shù)階近似,其傳遞函數(shù)為:

(3)

式中:b>0,d>0,s=jw,0<α<1。

在頻率段內(nèi)將式(3)使用泰勒展開(kāi),并取一階近似,可得:

(4)

確定擬合頻段為[0.001,1000],α=0.6,逼近階次N=5。通過(guò)經(jīng)驗(yàn)確定改進(jìn)Oustaloup算法中的參數(shù)b=10,d=9。因此可以得到兩種算法的頻率響應(yīng)曲線(xiàn),如圖2所示。

圖2 頻率響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖2可知,相對(duì)于原算法,改進(jìn)的Oustaloup算法可以更好地逼近頻率段兩端,從而使系統(tǒng)的控制效果更佳。因此本文的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)采用的是改進(jìn)的Oustaloup算法。

1.3 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

建立如圖3所示的柔性關(guān)節(jié)和剛性臂桿相結(jié)合的雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂(dual linkage FJM,DLFJM)動(dòng)力學(xué)模型。

圖3 雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂

圖3中,慣性坐標(biāo)系xoy下的DLFJM參數(shù)為:θ1和θ2分別為關(guān)節(jié)電機(jī)1和電機(jī)2的旋轉(zhuǎn)角度,q1為連桿1的旋轉(zhuǎn)角度,q2為連桿2相對(duì)于連桿1的旋轉(zhuǎn)角度,l1和l2分別為連桿1和連桿2的長(zhǎng)度,M1和M2分別為連桿1和連桿2的質(zhì)量,m1和m2分別為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2處電機(jī)和負(fù)載的質(zhì)量,J1和J2分別為關(guān)節(jié)電機(jī)1和關(guān)節(jié)電機(jī)2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,τ1和τ2分別為關(guān)節(jié)電機(jī)1和關(guān)節(jié)電機(jī)2的輸入扭矩,d1和d2分別為機(jī)械臂的未知外部干擾。

DLFJM的總動(dòng)能由臂桿動(dòng)能和關(guān)節(jié)動(dòng)能組成,T1和T2分別為總臂桿動(dòng)能和總關(guān)節(jié)動(dòng)能。

(5)

(6)

則DLFJM的總動(dòng)能T為:

T=T1+T2

(7)

系統(tǒng)的總勢(shì)能P由連桿及其負(fù)載勢(shì)能組成:

(8)

將式(7)和式(8)代入到拉格朗日方程中,可得DLFJM的動(dòng)力學(xué)方程為:

(9)

根據(jù)圖3所示的機(jī)械臂結(jié)構(gòu),兩個(gè)關(guān)節(jié)力矩可以表達(dá)為:

(10)

式中:Ki代表關(guān)節(jié)i的剛度。

根據(jù)式(10),將式(9)進(jìn)一步推導(dǎo)為:

(11)

2 快慢速子系統(tǒng)控制器

慢速子系統(tǒng)描述了剛性機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程。通過(guò)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器可以更好地抑制轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的外界擾動(dòng)和柔性關(guān)節(jié)的彈性振動(dòng)。快速子系統(tǒng)描述了柔性關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)的過(guò)程。通過(guò)設(shè)計(jì)微分補(bǔ)償器來(lái)削弱系統(tǒng)的振動(dòng)。則DLFJM的快慢速子系統(tǒng)組合控制器的原理可如圖4所示。

圖4 快慢速子系統(tǒng)組合控制原理

2.1 模型分解

柔性關(guān)節(jié)和剛性臂桿的剛?cè)狁詈咸岣吡丝刂破鞯脑O(shè)計(jì)難度,因此使用奇異攝動(dòng)法對(duì)DLFJM解耦,使其分解成代表剛性部分的慢速子系統(tǒng)和代表柔性部分的快速子系統(tǒng)。

定義彈力力矩矩陣P,選擇P和連桿轉(zhuǎn)角q分別為兩個(gè)子系統(tǒng)的快、慢變量,令關(guān)節(jié)剛度系數(shù)K=K1/ε2,ε為很小的攝動(dòng)常值,則:

P=K(θ-q)=K1(θ-q)/ε2

(12)

將式(12)代入到式(11)可得:

(13)

(14)

式中:τ為慢速子系統(tǒng)控制律τs和快速子系統(tǒng)控制律τf之和,則τ=τs+τf。

(15)

令上式中值為0,可得式(15)的根為:

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(17)和式(19)簡(jiǎn)化,可得DLFJM系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)形式的表達(dá)式為:

(20)

(21)

式(20)為解耦出的代表剛性部分的慢速子系統(tǒng),式(21)為代表柔性部分的快速子系統(tǒng)。通過(guò)設(shè)計(jì)兩式中τs和τf來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制。

2.2 慢速子系統(tǒng)控制器

為了方便控制器的設(shè)計(jì),將式(17)寫(xiě)成狀態(tài)空間表達(dá)式的形式:

(22)

分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾的線(xiàn)性狀態(tài)觀(guān)測(cè)器可以估計(jì)電機(jī)摩擦等影響系統(tǒng)性能的內(nèi)外干擾,針對(duì)式(17)所示的二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)三階LESO為:

(23)

而分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器的控制律為:

u=u0-z3

(24)

式中:u0的設(shè)計(jì)采用分?jǐn)?shù)階PD控制,具體表示為:

(25)

加入前饋控制量的線(xiàn)性控制律設(shè)計(jì)如下:

(26)

2.3 快速子系統(tǒng)控制器

式(21)為快速子系統(tǒng)的微分方程,該方程中缺少Pf的一階微分項(xiàng),因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定,可以采用如下線(xiàn)性修正項(xiàng)[12]:

(27)

將式(27)代入式(21)中,使原快速子系統(tǒng)的階數(shù)完整,通過(guò)設(shè)定合適參數(shù)可以使快速子系統(tǒng)穩(wěn)定。

綜合式(26)～式(27)的設(shè)計(jì),得到了快慢速子系統(tǒng)的組合控制律τ=τs+τf,從而有效地解決了剛?cè)狁詈系腄LFJM系統(tǒng)所需的高性能控制器設(shè)計(jì)難題。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證與分析

為了評(píng)估本文所提出的復(fù)合控制器性能,對(duì)DLFJM的軌跡跟蹤進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)以下3組實(shí)驗(yàn)來(lái)體現(xiàn)本文所提出的復(fù)合控制器的控制效果:快速子系統(tǒng)的微分補(bǔ)償項(xiàng)削弱系統(tǒng)抖動(dòng)實(shí)驗(yàn)、分?jǐn)?shù)階LADRC和整數(shù)階LADRC對(duì)比實(shí)驗(yàn)以及驗(yàn)證所提分?jǐn)?shù)階LADRC抗擾性能實(shí)驗(yàn)。雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 雙連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂參數(shù)

設(shè)置分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器的參數(shù)與線(xiàn)性自抗擾控制器的相關(guān)參數(shù)相同,具體參數(shù)如表2所示。

表2 各連桿控制器參數(shù)

3.1 快速子系統(tǒng)線(xiàn)性補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證微分修正補(bǔ)償對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的削弱作用,通過(guò)上述系統(tǒng)參數(shù),設(shè)定不同的Kf,對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn),通過(guò)桿1和桿2的跟蹤曲線(xiàn)進(jìn)行分析。兩連桿的跟蹤軌跡為qdes1=qdes2=sin(πt),仿真時(shí)間為5 s。

圖5為連桿1和連桿2在Kf=0.5、Kf=10下的軌跡跟蹤圖。由圖可知,連桿1在Kf=0.5出現(xiàn)了輕微抖動(dòng),但相對(duì)于Kf=10下軌跡跟蹤的抖動(dòng)較為明顯,然而連桿2的軌跡跟 蹤是疊加了桿1控制器的作用,因此在微分補(bǔ)償項(xiàng)較小時(shí),即Kf=0.5下抖動(dòng)大,兩連桿在1 s后由于分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾的作用,連桿軌跡能很好的跟隨設(shè)定軌跡,達(dá)到軌跡跟蹤的目的。

圖5 不同Kf作用下的連桿軌跡跟蹤

3.2 分?jǐn)?shù)階LADRC和LADRC對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階LADRC跟蹤軌跡的優(yōu)越性,采用3.1節(jié)實(shí)驗(yàn)相同的控制輸入,分別使用FOLADRC控制器和LADRC控制器對(duì)DLFJM進(jìn)行控制。

從圖6a和圖6b中的跟蹤曲線(xiàn)和誤差曲線(xiàn)可知,使用FOLADRC控制器和LADRC控制器對(duì)兩桿的軌跡追蹤效果都很好。但在臂桿啟擺時(shí),通過(guò)分?jǐn)?shù)階LADRC控制的兩臂桿振幅小,且在0.3 s后,誤差遠(yuǎn)小于使用LADRC控制的機(jī)械臂跟蹤誤差,證明通過(guò)增加的兩個(gè)自由度,提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。

(a) 桿1的跟蹤曲線(xiàn)和誤差曲線(xiàn) (b) 桿2的跟蹤曲線(xiàn)和誤差曲線(xiàn)圖6 FOLADRC和LADRC的跟蹤曲線(xiàn)和誤差曲線(xiàn)

3.3 分?jǐn)?shù)階LADRC和LADRC抗擾實(shí)驗(yàn)

在3.2節(jié)實(shí)驗(yàn)中,FOLADRC取得了較好的跟蹤效果。本節(jié)實(shí)驗(yàn)中將通過(guò)階躍信號(hào)qdes1=qdes2=π/3來(lái)進(jìn)一步地驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階LADRC的跟蹤特性,并在2 s后對(duì)兩桿加入了階躍頻率擾動(dòng)d1=d2=10,仿真時(shí)間為5 s。

圖7為兩連桿在設(shè)定軌跡的跟蹤曲線(xiàn)圖,圖8為兩連桿的誤差跟蹤圖,表3為兩種控制器作用的部分響應(yīng)指標(biāo)。從圖7和圖8和表3中可知,淺灰色曲線(xiàn)為FOLADRC,灰色曲線(xiàn)為相同參數(shù)下整數(shù)階LADRC,采用LADRC控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間和上升時(shí)間都大于使用FOLADRC的階躍響應(yīng),體現(xiàn)了FOLADRC控制器可以更快地收斂到所需值的優(yōu)越性。同時(shí),使用LADRC存在超調(diào),而FOLADRC的超調(diào)量為0,表明了FOLADRC控制器具有更好的穩(wěn)定性。在2 s后加入持續(xù)的外界擾動(dòng),兩種控制器都能很好地抑制擾動(dòng),但對(duì)于階躍信號(hào)進(jìn)行跟蹤,使用FOLADRC在抑制外界擾動(dòng)上要優(yōu)于整數(shù)階LADRC。

圖7 加入外界擾動(dòng)的位置響應(yīng)曲線(xiàn) 圖8 加入外界擾動(dòng)的位置響應(yīng)誤差曲線(xiàn)

表3 控制器響應(yīng)指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié)論

本文針對(duì)DLFJM的柔性振動(dòng)和受外部干擾的問(wèn)題進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),最終得到結(jié)論如下:

(1)快速子系統(tǒng)控制器能使DLFJM系統(tǒng)更加穩(wěn)定,減少了系統(tǒng)的抖動(dòng),證明了快速子系統(tǒng)線(xiàn)性修正項(xiàng)補(bǔ)償?shù)闹匾浴?/p>

(2)分?jǐn)?shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器相對(duì)于整數(shù)階線(xiàn)性自抗擾控制器,超調(diào)量小,能更好的抑制外界擾動(dòng)和減弱柔性振動(dòng)。

接下來(lái)的工作是進(jìn)行實(shí)物平臺(tái)的搭建和實(shí)驗(yàn),進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提的復(fù)合控制策略在實(shí)體機(jī)械臂中具有良好的軌跡跟蹤性能。