基于定速比的三感應(yīng)電機(jī)多頻復(fù)合同步控制*

潘 成,賈 磊,王國(guó)輝

(沈陽(yáng)理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110159)

0 引言

多軸運(yùn)動(dòng)在工程中有著廣泛的應(yīng)用,如振動(dòng)篩、機(jī)器人、螺旋槳飛機(jī)、多軸數(shù)控機(jī)床和振動(dòng)給料機(jī)[1-4],然而,傳統(tǒng)行業(yè)中的大多數(shù)多軸運(yùn)動(dòng)通常是用皮帶、齒輪、鏈條等來(lái)操作的,這些多軸運(yùn)動(dòng)可以歸類(lèi)為強(qiáng)迫同步運(yùn)動(dòng)。根據(jù)可靠性理論,系統(tǒng)的總可靠性指標(biāo)是各部分可靠性指標(biāo)的乘積。因此,增加現(xiàn)有的部件,降低可靠性指標(biāo)。軸與軸之間采用齒輪、皮帶或鏈條連接,不僅降低了系統(tǒng)的可靠性指標(biāo),而且增加了成本。

基于上述現(xiàn)象,首次提出了兩個(gè)偏心電機(jī)的自同步理論來(lái)代替Blekhman的強(qiáng)迫同步[5-6]。WEN等[7]利用自同步理論研究了一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中兩個(gè)偏心電機(jī)的問(wèn)題,并給出了同步條件和同步狀態(tài)的穩(wěn)定性判據(jù)。JUNKI[8]則在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了二次頻率同步和三次頻率同步。但是無(wú)論采用哪種方法,都不能在一個(gè)動(dòng)力學(xué)模型中實(shí)現(xiàn)任意性的多頻自同步運(yùn)動(dòng)。隨著機(jī)電工程的發(fā)展,ZHAO等[9]建立了機(jī)電耦合模型來(lái)解決一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中兩個(gè)偏心電機(jī)的自同步問(wèn)題。然而具有3個(gè)偏心電機(jī)的自同步理論并不適用于工程。針對(duì)這一現(xiàn)象,提出了控制同步理論來(lái)解決這一問(wèn)題。許多研究人員已經(jīng)用各種控制方法實(shí)現(xiàn)了同步運(yùn)動(dòng)[10-13]。但是,目前還沒(méi)有提出控制相位差的方法。KONG等[14-16]完成了一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中多個(gè)偏心電機(jī)的零相位差控制同步。JIA等[17]實(shí)現(xiàn)了一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中兩個(gè)偏心電機(jī)的多頻控制同步?？刂仆诫m然實(shí)用于工程,但與自同步相比增加了投資,因此為了減低成本和簡(jiǎn)化機(jī)械結(jié)構(gòu),復(fù)合同步運(yùn)動(dòng)理論被提出。KONG等[18-19]研究了相同頻率情況下的復(fù)合同步理論。

根據(jù)以上敘述自同步和控制同步都已經(jīng)得到了有效研究,但是復(fù)合同步目前只有同頻率的研究,而對(duì)多頻部分的研究并不多見(jiàn)。工程實(shí)際中多頻復(fù)合同步理論在振動(dòng)篩、振動(dòng)給料機(jī)等方面研究也未有所涉及。本文對(duì)基于定速比的3臺(tái)感應(yīng)電機(jī)多頻復(fù)合同步控制進(jìn)行了研究,采用多頻復(fù)合同步的方法,使得振動(dòng)系統(tǒng)可以根據(jù)不同的頻率實(shí)現(xiàn)不同的響應(yīng)。不僅解決了同頻振動(dòng)篩的堵篩現(xiàn)象,而且放大了幅值提高了工程上的有效性。并對(duì)所提出的多頻復(fù)合同步方法進(jìn)行了數(shù)值仿真和分析,驗(yàn)證了該方法可以實(shí)現(xiàn)任意定速比的多頻復(fù)合同步控制。

1 三機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 三機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

振動(dòng)系統(tǒng)中3個(gè)感應(yīng)電機(jī)的多頻復(fù)合同步的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。振動(dòng)系統(tǒng)自下而上安裝,一個(gè)鋼制支架固定在地面上,在鋼支架上安裝了4個(gè)彈簧,在x、y和ψ方向上分別提供振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼和剛度。彈簧的減振是粘性減振,不能單獨(dú)考慮,它們被視為3個(gè)方向上的總等效阻尼項(xiàng)。由于彈簧的振動(dòng),阻尼引起能量耗散,感應(yīng)電機(jī)的參數(shù)和振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)分別如表1和表2所示。彈簧上連接著1個(gè)剛體,由3個(gè)感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)分別作為激勵(lì)器,以水平分布的方式固定在剛體上。如圖1所示,電機(jī)2位于中線(xiàn),電機(jī)1和電機(jī)3沿中心線(xiàn)對(duì)稱(chēng)安裝,電機(jī)3在左邊,電機(jī)1在右邊,電機(jī)2逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),電機(jī)1和電機(jī)3都沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。根據(jù)拉格朗日方程,多頻復(fù)合同步的動(dòng)力學(xué)方程如式(1)所示:

圖1 振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

表1 3個(gè)感應(yīng)電機(jī)的參數(shù)

表2 振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)

(1)

(2)

圖中,Jp為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,kx、ky為振動(dòng)系統(tǒng)在x、y方向上的阻尼系數(shù),r為3臺(tái)電機(jī)的偏心半徑,l1、l2、l3為機(jī)體中心與電機(jī)旋轉(zhuǎn)中心之間的距離,θ為同步電動(dòng)角,φ1、φ2、φ3為3個(gè)電機(jī)的相位。

1.2 機(jī)電系統(tǒng)模型

本文除了考慮動(dòng)力學(xué)模型外,還應(yīng)該考慮振動(dòng)系統(tǒng)中感應(yīng)電機(jī)的模型。根據(jù)電機(jī)理論[9,20],給出了感應(yīng)電機(jī)的模型為:

式(3)、式(4)分別表示感應(yīng)電機(jī)在坐標(biāo)軸d軸和q軸同步坐標(biāo)系中的磁鏈方程和電壓方程。由于鼠籠式電機(jī)的特點(diǎn),其內(nèi)部結(jié)構(gòu)形成短路現(xiàn)象,所以u(píng)rd=urq。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí),轉(zhuǎn)子磁鏈q軸上的分量φrq=0,所以轉(zhuǎn)子磁鏈的d軸分量φrd就等于轉(zhuǎn)子磁鏈φr,轉(zhuǎn)子磁鏈φr是給定值,故轉(zhuǎn)子磁鏈在d軸上的分量φrd是一個(gè)常數(shù),所以φrd等于常數(shù),φrq=0。將式(3)代入式(4),即可表示為式(5)。

(3)

(4)

(5)

根據(jù)感應(yīng)電機(jī)的模型,可以得到以下表達(dá)式:

Te=npLm(isqφrd-isdφrq)/Lr

(6)

由于φrd等于常數(shù),并且φrq=0,代入式(6)中:

Te=npLmisqφrd/Lr

(7)

式中:np、Lm和Lr是常量,因此式(7)是關(guān)于變量isq的函數(shù)。

1.3 多頻復(fù)合同步響應(yīng)分析

(8)

(9)

將式(8)代入式(1),忽略高階項(xiàng)。x、y和ψ方向的響應(yīng)表示為式(9)。

(10)

平均電磁轉(zhuǎn)矩可表示為:

平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩可表示為:

(11)

式中:aij,bij和κi(i=1,2,3和j=1,2,3)表達(dá)式均在文獻(xiàn)[22]中可見(jiàn)。由于電機(jī)1和2之間的耦合,φ1-φ2=2α和α=α0+ε4。將相位角展開(kāi)為泰勒公式,忽略高階項(xiàng),代入式(10)可得:

(12)

當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí),同步系統(tǒng)的條件是υ=0,式(12)轉(zhuǎn)化為式(13):

(13)

顯然矩陣A的行列式不等于0,所以矩陣A是可逆的,令D=A-1B,式(13)可被表示為:

(14)

根據(jù)|λI-D|=0,可以得到特征值方程如下:

λ4+d1λ3+d2λ2+d3λ+d4=0

(15)

2 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的任意性,令p/q=n,以比值n為目標(biāo)變量,采用模糊PID方法實(shí)現(xiàn)多頻控制同步。因此,在這一部分,首先提出了一種改進(jìn)的主從式控制策略。在此基礎(chǔ)上,給出了模糊PID控制方法。

2.1 機(jī)電耦合系統(tǒng)設(shè)計(jì)

如圖2所示,電機(jī)1被認(rèn)為是主電機(jī),而電機(jī)3被認(rèn)為是從電機(jī)。電機(jī)3以定速比參數(shù)n來(lái)跟蹤電機(jī)1。在電磁系統(tǒng)中引入了轉(zhuǎn)子磁鏈定向控制(RFOC)及其控制方法。ωt作為初始速度被傳遞到電機(jī)1。通過(guò)該控制方法,得到了電機(jī)1的轉(zhuǎn)速ω1。顯然ω1有兩種用途。一種是作為反饋值,以初始轉(zhuǎn)速ωt控制電機(jī)1的轉(zhuǎn)速,另一種是獲得ω3。最后,電機(jī)3的速度ω3作為反饋給從屬電機(jī)。

圖2 控制系統(tǒng)流程圖

圖3 RFOC:轉(zhuǎn)子磁鏈定向矢量控制

(16)

2.2 模糊PID控制方法設(shè)計(jì)

其中,li=1,2(i=1,2),引入乘積推理器,單點(diǎn)模糊器和中心平均模糊器來(lái)獲取系統(tǒng)的輸出變量,這些變量可以表示為:

(17)

(18)

(19)

該方法采用2個(gè)輸入變量和3個(gè)輸出變量。輸入變量分別為誤差(e)和誤差變化(ec)。輸出變量分別為kp、ki和kd。變量服從兩種子函數(shù)模型的分布。一種是模型Z(zmf),另一種是三角形模型(trimf)。每個(gè)變量都有7種形式。它們分別是NB、NM、NS、Z、PS、PM和PB。其中,“N”表示負(fù),“P”表示正,“M”表示中,“B”表示大,“S”表示小,“Z”表示零。輸入值根據(jù)規(guī)則在圖4中選擇不同的路徑,從而得到不同的輸出值。變量如圖4所示。

(a) 誤差 (b) 誤差變化

(c) kp (d) ki (e) kd圖4 隸屬度函數(shù)

根據(jù)上述模糊規(guī)則,引入49個(gè)規(guī)則以得到式(20)～式(22)。

(20)

(21)

(22)

(a) kp (b) ki (c) kd圖5 kp,ki和kd的圖形模型

3 仿真分析

此節(jié)利用Simulink對(duì)多頻復(fù)合同步進(jìn)行了可行性分析。首先說(shuō)明了自同步運(yùn)動(dòng)不能用圖1所示的動(dòng)力學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn),然后結(jié)合多頻控制同步,實(shí)現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)的多頻復(fù)合同步運(yùn)動(dòng),此外,還研究了多頻控制同步的任意性,驗(yàn)證了所提出的復(fù)合同步方法的有效性和可行性。

3.1 多頻自同步仿真分析

通過(guò)利用圖1中的動(dòng)力學(xué)模型研究了自同步運(yùn)動(dòng)。如圖6a所示,每臺(tái)變流器采用恒壓頻比(V/F)的方法將3臺(tái)電機(jī)的頻率分別設(shè)定為30、30和45 Hz。電機(jī)1、電機(jī)2的頻率均為30 Hz,電機(jī)3的頻率為45 Hz。圖6b表示電機(jī)1和電機(jī)2之間的相位差。圖6c表示電機(jī)1和電機(jī)3之間,以及電機(jī)2和電機(jī)3之間的相位差。根據(jù)自同步理論,當(dāng)1.5φ1-φ3=constant時(shí),振動(dòng)系統(tǒng)可以達(dá)到同步狀態(tài)。然而,它們分別是兩條單調(diào)遞增曲線(xiàn)。通過(guò)圖6b和圖6c,可以知道振動(dòng)系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)多頻自同步運(yùn)動(dòng)。圖6d～圖6f分別是x、y和ψ方向上的響應(yīng)。由于電機(jī)1和電機(jī)2之間的相反運(yùn)動(dòng),x方向上的響應(yīng)幅度在圖6e中被稀釋。然而,兩個(gè)電機(jī)的力是沿y方向疊加的,因此y方向的響應(yīng)幅度呈現(xiàn)疊加形式。

(a) 三臺(tái)電機(jī)速度 (b) 1-2電機(jī)相位差 (c) 1-3、2-3電機(jī)相位差

(d) x方向響應(yīng) (e) y方向響應(yīng) (f) ψ方向響應(yīng)圖6 α0=0,n=1.5條件下三感應(yīng)電機(jī)多頻自同步

3.2 多頻復(fù)合同步仿真分析

根據(jù)上節(jié)的結(jié)論,振動(dòng)系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)多頻自同步運(yùn)動(dòng)。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),引入了模糊PID控制方法來(lái)解決這一問(wèn)題。如圖7所示,電機(jī)1和電機(jī)2構(gòu)成自同步部分。它們的頻率都設(shè)置為30 Hz。在n=1.5的情況下,電機(jī)1和電機(jī)3組成多頻控制同步部分。圖7a顯示3臺(tái)電機(jī)的速度。圖7b表示3個(gè)感應(yīng)電機(jī)的負(fù)載扭矩,其值在-2和2之間。根據(jù)文獻(xiàn)[18],圖7b中的3個(gè)負(fù)載扭矩值滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)方程,所以3個(gè)感應(yīng)電機(jī)可以正常運(yùn)行。圖7c和圖7d分別是電機(jī)1和電機(jī)2與電機(jī)3之間的相位差。圖7c表示在中心點(diǎn)0°附近,相位差從-3°到3°的范圍波動(dòng)。這一結(jié)果證明了電機(jī)1、電機(jī)2能夠?qū)崿F(xiàn)自同步運(yùn)動(dòng)。從圖7d中知,實(shí)現(xiàn)了動(dòng)力學(xué)方程1.5φ1-φ3=constant。由此可知,通過(guò)這種控制方法電機(jī)1、電機(jī)3可以實(shí)現(xiàn)多頻控制同步運(yùn)動(dòng)。與圖6中的振動(dòng)系統(tǒng)相比,圖7中的振動(dòng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了多頻復(fù)合同步。這是因?yàn)楫?dāng)電機(jī)1和電機(jī)3實(shí)現(xiàn)多頻控制同步運(yùn)動(dòng)時(shí),來(lái)自電機(jī)3的轉(zhuǎn)矩隨著電機(jī)1的變化是穩(wěn)定的,而不是自同步運(yùn)動(dòng)中的不規(guī)則變化。因此,在圖6中的相位差從-4°到8°被調(diào)整到圖7中的-3°到3°,并且最后電機(jī)1和電機(jī)2實(shí)現(xiàn)了自同步運(yùn)動(dòng),從而振動(dòng)系統(tǒng)的多頻復(fù)合同步被實(shí)現(xiàn)。圖7e～圖7g分別是x、y和ψ方向上的響應(yīng)。由于電機(jī)1和電機(jī)2在相反方向上的自同步運(yùn)動(dòng),電機(jī)1和電機(jī)2在x方向上的力被抵消。因此,x方向的響應(yīng)取決于電機(jī)3。這就是圖7e呈現(xiàn)基頻同步趨勢(shì)的原因。圖7f呈現(xiàn)與3個(gè)感應(yīng)電機(jī)在相同方向上旋轉(zhuǎn)的情況相同的現(xiàn)象,因?yàn)闆](méi)有任何影響在y方向上。圖7g是振動(dòng)系統(tǒng)的擺動(dòng)角度,給出了n=1.5的情形。

(a) 三臺(tái)電機(jī)速度 (b) 三臺(tái)電機(jī)負(fù)載扭矩 (c) 電機(jī)1與電機(jī)2相位差

(d) 電機(jī)1與電機(jī)3相位差 (e) x方向響應(yīng) (f) y方向響應(yīng)

(g) ψ方向響應(yīng)圖7 α0=0,n=1.5,η=50%條件下三感應(yīng)電機(jī)復(fù)合同步

為了證明參數(shù)n的任意性,將其從1.5調(diào)整為1.2。如圖8所示,圖8b中從-1到1的扭矩載荷也滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)方程。圖8c表示電機(jī)1和電機(jī)2之間的相位差。波動(dòng)范圍從-5°到5°。這是由于具有整數(shù)和半整數(shù)周期的振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性高于非整數(shù)周期振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]證明了這一結(jié)論。因此,自同步運(yùn)動(dòng)部分是穩(wěn)定的。圖8d是電機(jī)1和電機(jī)3之間的相位差。就像圖7d一樣,動(dòng)力學(xué)方程1.2φ1-φ3=constant也被實(shí)現(xiàn)。所以,改變參數(shù)n對(duì)實(shí)現(xiàn)多頻復(fù)合同步運(yùn)動(dòng)沒(méi)有影響。圖8e～圖8g分別是x,y和ψ方向的響應(yīng)。因此,這一結(jié)果證明了參數(shù)n的任意性。

(a) 三臺(tái)電機(jī)速度 (b) 扭矩負(fù)載 (c) 電機(jī)1與電機(jī)2相位差

(d) 電機(jī)1與電機(jī)3相位差 (e) x方向響應(yīng) (f) y方向響應(yīng)

(g) ψ方向響應(yīng)圖8 α0=0,n=1.2,η=50%條件下三感應(yīng)電機(jī)復(fù)合同步

4 結(jié)論