永磁同步電機改進非線性反步自抗擾位置控制*

何棟煒,林杭彬,劉麗桑,陳 健,曾志偉,王 佩

(福建工程學院 a.電子電氣與物理學院;b.福建省工業(yè)集成自動化行業(yè)技術開發(fā)基地;c.電子信息與電氣技術國家級實驗教學示范中心,福州 350118)

0 引言

近年來,永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)位置伺服系統(tǒng)被廣泛應用于工業(yè)機器人、航空航天及數控機床等領域中。而PMSM是一個具有多變量、非線性和強耦合的復雜控制對象,其位置跟蹤性能易受負載轉矩擾動及電機參數攝動等因素影響,傳統(tǒng)的PID算法難以實現高精度的控制。隨著控制理論的發(fā)展,近些年,多種控制方法被引入PMSM位置伺服系統(tǒng)中,如滑模變結構控制[1-2]、智能控制[3-4]、自適應控制[5-6]等,這些控制策略在位置伺服系統(tǒng)中取得了一定的成效。

韓京清[7]在PID控制基礎上提出自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)。ADRC將系統(tǒng)的內部擾動、外部擾動及所有不確定因素歸結為總和擾動,通過擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)對總和擾動及各狀態(tài)變量進行實時觀測,并采用非線性狀態(tài)誤差反饋律(nonlinear state error feedback,NLSEF)對各狀態(tài)的誤差進行反饋調節(jié),最終對擾動進行補償。ADRC不依賴于精確的數學模型、無超調,具有一定的抗干擾能力,因此也被應用于永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)中,并得到了不斷改進。劉春強等[8]提出了位置-電流雙環(huán)自抗擾控制,設計了位置環(huán)二階ADRC和電流環(huán)一階ADRC,提高了系統(tǒng)抗負載轉矩擾動能力。左月飛等[9]受滑?？刂频囊惑w化設計啟發(fā),提出了位置-轉速一體化的設計方法,實現四段式位置伺服系統(tǒng)控制,解決了傳統(tǒng)二階ADRC中轉速不可控的問題。劉丙友等[10]對ESO和NLSEF進行改進,設計了一個在原點附近具有較好平滑性的非線性函數代替?zhèn)鹘y(tǒng)非線性函數,使系統(tǒng)具有較好的抗干擾能力和魯棒性。HUANG等[11]結合了分數階PID理論,提出了分數階ESO,改善了系統(tǒng)的抗干擾性能。周新力等[12]將ADRC與反步法相結合,并在反步法中加入了積分項以確保位置角跟蹤誤差能夠趨于0,提高位置跟蹤精度。

但是在傳統(tǒng)ADRC中,NLSEF設計要求已知系統(tǒng)實際控制增益(轉矩系數與轉動慣量的比值稱之為控制增益),才可使得系統(tǒng)具有理想的控制性能[13]。然而永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)的控制增益存在不確定性,轉矩系數或轉動慣量會隨著運行狀態(tài)發(fā)生變化,顯然會導致使用控制增益的理論值設計得到的ESO的觀測精度下降,從而影響控制器對擾動的補償效果,影響系統(tǒng)的抗干擾性能。針對上述問題,本文設計一種改進的非線性反步自抗擾控制方法。首先,在NLSEF設計過程中引入反步設計方法,并優(yōu)化設計實現未知控制增益下NLSEF的設計,此外,引入連續(xù)光滑的非線性函數,進一步改善控制器的收斂性能。其次,考慮永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)的模型結構,引入朗道自適應觀測器代替ESO,對系統(tǒng)參數及擾動進行辨識與補償,提高控制器的控制精度。

1 PMSM位置伺服系統(tǒng)數學模型

在忽略鐵心飽和、不計渦流損耗和磁滯損耗等情況下,采用id=0矢量控制,PMSM位置伺服系統(tǒng)動態(tài)數學模型可以表示為[14]:

(1)

式中:kT為轉矩系數,θ為轉子位置角,ωm為轉子機械角速度,iq為定子電流q軸分量,J為轉動慣量,B為粘滯系數,TL為負載轉矩。

2 非線性反步自抗擾位置控制

針對參數不確定性及外部擾動對永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)的跟蹤性能的影響,本文設計了一種改進的非線性反步自抗擾控制方法,該控制方法由跟蹤微分器(tracking differentiator,TD)、非線性反步控制器和朗道自適應觀測器3個部分組成,基于本文所提出的改進非線性反步自抗擾控制方法的PMSM位置伺服系統(tǒng)結構如圖1所示。

圖1 PMSM位置伺服系統(tǒng)結構圖

2.1 跟蹤微分器

給定位置軌跡往往會存在突變,導致誤差瞬間過大,對控制器造成沖擊。因此在控制器結構中,引入跟蹤微分器為給定位置軌跡安排過渡過程,同時為后端控制器提供位置和轉速的給定軌跡,其表達式為[15]:

(2)

式中:θ*為跟蹤微分器的輸入信號,θref、ωref分別為跟蹤微分器生成的轉子位置和轉速的給定值,r為速度因子,h0為濾波因子,fhan(θref-θ*,ωref,r,h0)為最速控制綜合函數,其表達式為:

(3)

(4)

在跟蹤微分器中,r的取值決定了系統(tǒng)的響應速度,取值越大則系統(tǒng)響應速度越快,過渡過程時間越短。若r的取值過大,將導致給定位置響應速度過大,使系統(tǒng)產生超調,因此需根據系統(tǒng)的承受能力來決定r的取值[16]。h0決定了濾波效果,適當選取該參數可有效抑制輸入信號的噪聲,該參數的取值與采樣周期有關。當h0的取值與采樣周期相同時,只需通過調節(jié)r來改變過渡過程的速度,同樣可抑制噪聲。

2.2 非線性反步控制器設計

反步法易于與自抗擾控制結合從而得到了廣泛的應用。而傳統(tǒng)反步控制器在設計過程中,對于每一階子系統(tǒng)中待設計部分采用線性方式進行設計,使得最終設計出的控制律只能通過改變增益系數調節(jié)控制器的收斂速度及擾動抑制能力。為獲得較好的抗干擾性能,往往需要較大的增益系數。但大增益易使控制器飽和,甚至使系統(tǒng)振蕩。再之,系統(tǒng)轉矩系數與轉動慣量的變化使得控制增益發(fā)生改變,致使控制器無法精確地補償擾動,影響了控制器的控制精度。積分反步控制器雖然在待設計部分加入了積分項使誤差逼近于0,但仍存在上述問題。為解決傳統(tǒng)ADRC必須已知控制增益及收斂性能有待改善的問題,本文提出了一種非線性反步控制器,通過模型變換優(yōu)化控制器設計,并在控制器設計過程中引入具有“大誤差,小增益;小誤差,大增益”特性的連續(xù)光滑非線性函數使得所設計的控制器具有更好的收斂性能及更強的擾動抑制能力。

記JT=J/kT,BT=B/kT,TT=T/kT,則式(1)可改寫為:

(5)

記轉子位置角θ為狀態(tài)變量x1,轉子機械角速度ωm為狀態(tài)變量x2,f=BTωm+TT為總和擾動,u=iq為控制量,可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

(6)

首先,建立系統(tǒng)誤差方程為:

(7)

由式(5)和式(7)可得:

JTe2=JT(ωref-ωm-φ)

(8)

進一步,將式(8)兩邊對時間求導,并將式(6)代入可得:

(9)

取Lyapunov函數為:

(10)

則式(10)沿系統(tǒng)的導數為:

(11)

取:

(12)

由式(12)得非線性反步控制律為:

(13)

(14)

式(11)可以改寫為:

(15)

由于e2及ρ均有界,進一步可得:

(16)

(17)

由式(17)可知,通過調節(jié)參數k2與α2的值可改變e2的收斂域。顯然,當k2越大、α2越小時,e2將收斂至更小的范圍內。

此外,為改善抖振問題,采用連續(xù)光滑的非線性函數qin(x,α,δ)代替sigα(·)函數[18],qin(x,α,δ)函數表達式如下[19]:

(18)

式中:q1=δα-1,q2=-(α-1)δα-2,q3=(α-1)δα-3,δ為線性區(qū)間,α為冪次,用于改變函數非線性程度。

2.3 朗道自適應觀測器

根據上節(jié)分析,系統(tǒng)跟蹤誤差取決于ρ,因此提高對系統(tǒng)不確定參數JT、f的估計精度才能根本上提高系統(tǒng)的跟蹤性能。朗道離散時間遞推算法屬于模型參考自適應算法。該算法以實際模型作為參考模型,并建立含待辨識參數的未知參數的可調模型,將參考模型與可調模型的誤差通過自適應律調節(jié)可調模型的參數,使得可調模型可以無限逼近參考模型,最終根據遞推機制得出待辨識參數[20-22]。系統(tǒng)不確定參數的朗道自適應觀測器設計如下。

由式(5),系統(tǒng)可以表示為:

(19)

對式(19)進行離散化處理后得:

(20)

式中:Ts為采樣周期。

根據式(20)可以建立系統(tǒng)參考模型為:

y(k)=φT(k-1)θ

(21)

式中:y(k)=ωm(k)-ωm(k-1),θT=[λζ]為待辨識參數向量,φT(k-1)=[iq(k-1) 1]為系統(tǒng)輸出向量,λ=Ts/JT,ζ=-Tsf(k-1)/JT。則可調系統(tǒng)的先驗輸出為:

(22)

先驗廣義誤差為:

(23)

對于并聯可調系統(tǒng),采用自適應律[23]:

(24)

式中:K(k)為自適應增益向量,其表達式為:

(25)

式中:I為單位矩陣,P(k)為誤差的協方差矩陣;μ為遺忘因子,表達式為:

(26)

式中:0<μ1≤1,0<μ2<2,μ1、μ2為遺忘因子的權重。根據系統(tǒng)的特點,適當地選取μ1和μ2的取值,可調節(jié)自適應律收斂性能。

根據遞推機制得到JT和f的估計值為:

(27)

綜上所述,采用朗道算法可實現同時對JT和f進行辨識,在遞推過程中只與q軸電流和轉速誤差有關,獨立性較高。此外,通過選取適當的遺忘因子權重,可減小由負載變化對辨識結果的影響,提高算法的辨識精度,算法收斂性分析詳見文獻[24]。朗道自適應觀測器結構圖如圖2所示。

圖2 朗道自適應觀測器結構圖

3 仿真分析

為驗證本文所提出的非線性反步自抗擾控制方法的有效性,本文使用Simulink對本文所提出方法進行仿真測試,并與文獻[12]的積分反步自抗擾控制方法進行對比。仿真中使用的永磁同步電機參數如表1所示。電流環(huán)采用內?？刂芠25],控制器采樣周期Ts=100 μs。

文獻[12]中積分反步控制器形式為:

(28)

3.1 階躍響應測試

圖3～圖5分別給出了兩種控制方法的位置跟蹤軌跡、位置跟蹤誤差及q軸給定電流。從圖3的跟蹤結果可以看出,在0～0.2 s電機空載運行時,兩種方法跟蹤階躍信號時無超調,均能較好跟蹤階躍給定。由圖4的位置跟蹤誤差可知,積分反步自抗擾方法的響應時間為42 ms(誤差±0.1%內),而非線性反步自抗擾方法的響應時間為20 ms。在跟蹤過程中0.2 s時突加負載轉矩,積分反步自抗擾方法的位置跟蹤曲線在負載突變時存在0.14 rad的波動,經40 ms誤差收斂至0 rad;而本文所提出的非線性反步自抗擾方法在突加負載時其位置軌跡僅存在0.007 5 rad的暫態(tài)誤差,經8 ms誤差收斂至0 rad。圖5給出了階躍響應測試過程中q軸給定電流曲線,在穩(wěn)態(tài)時,二者給定電流基本相同。當突加負載時,從給定電流曲線可以看出本文方法控制律響應快,收斂速度快,抗擾動性能要優(yōu)于積分反步自抗擾方法。

圖3 階躍響應測試結果 圖4 階躍響應測試下位置跟蹤誤差

測試對比數據如表2所示,相比于積分反步自抗擾方法,本文所提出的方法具有更快的響應速度及抗擾動能力。

表2 階躍響應測試結果對比

(a) JT辨識結果 (b) f辨識結果圖6 階躍響應測試下辨識結果

(a) JT辨識放大圖 (b) f辨識放大圖圖7 階躍響應測試下辨識結果放大(0～0.015 s)

(a) JT辨識放大圖 (b) f辨識放大圖圖8 階躍響應測試下辨識結果放大(0.19～0.21 s)

3.2 正弦跟蹤測試

正弦跟蹤測試結果如圖9～圖12所示。從圖9中跟蹤結果來看,兩種方法同樣可以較好地跟蹤正弦給定軌跡。進一步由圖10和圖11中可以看出,電機空載運行時(0～0.2 s),兩種方法在電機運行初期均產生較大的誤差,但本文方法在初期誤差較大時可快速收斂。進入穩(wěn)態(tài)時,采用積分反步自抗擾方法的位置跟蹤誤差波動范圍為±0.011 5 rad,而本文方法的位置跟蹤誤差波動范圍為±0.009 8 rad。在0.2 s時突加負載轉矩后,采用積分反步自抗擾方法時位置跟蹤誤差最大值為0.145 rad,恢復時間約35 ms。本文方法將最大跟蹤誤差控制在0.039 rad,恢復時間約15 ms。由圖12可以看出,相比積分反步自抗擾方法,本文方法的控制響應快,收斂速度與位置跟蹤結果一致。測試對比數據如表3所示。通過對比可以看出,在電機運行初期誤差較大和突加擾動時,本文方法的控制律大于積分反步自抗擾方法(見圖12),調節(jié)速度快,對擾動的抑制效果更佳。

圖9 正弦跟蹤測試結果

(a) 正弦跟蹤放大(0～0.15 s) (b) 正弦跟蹤放大(0.2～0.215 s)圖10 正弦跟蹤測試結果放大圖

圖11 正弦跟蹤誤差 圖12 正弦跟蹤測試下給定電流

表3 正弦跟蹤性能對比

(a) JT辨識結果 (b) f辨識結果圖13 正弦響應測試下辨識結果

(a) JT辨識放大圖 (b) f辨識放大圖圖14 正弦響應測試下辨識結果放大(0～0.004 s)

(a) JT辨識放大圖 (b) f辨識放大圖圖15 正弦響應測試下辨識結果放大(0.19～0.21 s)

上述仿真結果表明,當系統(tǒng)存在擾動和參數失配時,本文所提出的非線性反步自抗擾控制方法收斂速度快、擾動抑制強,具有更好的抗干擾能力。

4 結論

針對擾動及參數失配影響PMSM位置伺服系統(tǒng)軌跡跟蹤性能的問題及傳統(tǒng)自抗擾控制器的不足,本文提出了一種改進的非線性反步自抗擾控制方法。在傳統(tǒng)自抗擾控制器的基礎上,采用反步設計法,并引入連續(xù)光滑的非線性函數設計了非線性控制器,解決了傳統(tǒng)自抗擾控制器需要已知控制增益的問題,并進一步改善控制器的收斂性能;采用帶遺忘因子的朗道算法對系統(tǒng)參數及擾動進行精確辨識,提升控制器的補償控制精度。仿真結果表明,相比于積分反步自抗擾控制,本文所提出的方法具有更快的收斂速度以及更強的抗干擾能力,可以有效地提高PMSM位置伺服系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制性能。