中考常用的三種數(shù)學(xué)思想

王歡

數(shù)學(xué)思想方法是解題的金鑰匙，掌握中考常用的數(shù)學(xué)思想有利于快速找到解題思路，讓自己在中考中取得好成績(jī). 下面舉例介紹中考中常用的三種數(shù)學(xué)思想.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想. 數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題得以解決.

例1 （2022·遼寧·錦州）如圖1，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，∠B1A1O = 60°，OA1 = 3，B1A1 = 1. 以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1 = 60°，C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2，得△C1B1B2；延長(zhǎng)B2D1交射線ON于點(diǎn)A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2 = 60°，C2D2與射線OM交于點(diǎn)B3，得△C2B2B3；延長(zhǎng)B3D2交射線ON于點(diǎn)A3，以B3A3為邊在其右側(cè)作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3 = 60°，C3D3與射線OM交于點(diǎn)B4，得△C3B3B4……，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△C2022B2022B2023的面積為? ?.

分析：由圖象看出此題具有規(guī)律性，因此最終求解答案時(shí)也需要探尋內(nèi)在規(guī)律. 結(jié)合題目中已知條件可過(guò)點(diǎn)B1作B1D⊥OA1于點(diǎn)D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1于點(diǎn)H，B3G⊥B2D2于點(diǎn)G，B4E⊥B3D3于點(diǎn)E，如圖2，根據(jù)菱形的性質(zhì)及題意可得OA1[?]B1D1[?]B2D2[?]B3D3，則有tan O = tan∠B2B1D1 = tan∠B3B2D2 = tan∠B4B3D3 = [35]，進(jìn)而可得出規(guī)律進(jìn)行求解.

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B1作B1D⊥OA1于點(diǎn)D，連接B1D1，B2D2，B3D3，分別作B2H⊥B1D1于點(diǎn)H，B3G⊥B2D2于點(diǎn)G，B4E⊥B3D3于點(diǎn)E.

易得A2B2 = [43]，B2D1 = [13]，

B3D2 = [49]，B4D3 = [1627]，

A3B3 = [169]，A4B4 = [6427]，

由上可得：AnBn = [43n-1]，Bn + 1Dn = [13]·[43n-1]，

∴S△C2022B2022B2023 = S△C2022B2022D2022 - S△B2023B2022D2022 = [34] × [4320212] - [12] × [432021]× [13] × [432021]× [32] = [36] × [434042]. 故填[36] × [434042].

二、函數(shù)與方程思想

從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得到解決的思想方法，就是函數(shù)與方程思想.

直線與拋物線是初中數(shù)學(xué)中的兩類重要函數(shù)，無(wú)論是求其解析式還是研究其性質(zhì)，都離不開(kāi)函數(shù)與方程思想. 例如函數(shù)解析式的確定，往往需要根據(jù)已知條件列方程或方程組并解之而得.

例2 （2022·遼寧·營(yíng)口）如圖3，在四邊形ABCD中，BC[?]AD，∠D = 90°，∠A = 45°，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以[2] cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即停止），點(diǎn)Q以2 cm/s的速度沿折線AD—DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△APQ的面積為y（cm2），若y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，當(dāng)x = [72]（s）時(shí)，則y = cm2.

分析：根據(jù)題意以及函數(shù)圖象可得出當(dāng)點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ為等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式得當(dāng)△APQ面積最大為9時(shí)，x = 3，則AD = 2x = 6 cm，當(dāng)3 < x ≤ 4時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，如圖5，結(jié)合面積公式，分別表示出相關(guān)線段可得y與x之間的函數(shù)解析式，最后代入求解即可.

解：當(dāng)3 < x ≤ 4時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，如圖5，

此時(shí)S△APQ = S△APF + S四邊形PQDF - S△ADQ，

由y = [12] × （[2]x）2 = 9，得x = 3，則AD = 2x = 6，

在Rt△APF中，AP = [2]x，∠PAF = 45°，

∴AF = PF = x，F(xiàn)D = 6 - x，QD = 2x - 6，

∴y = [12]x2 + [12]（x + 2x - 6）·（6 - x） - [12] × 6 × （2x - 6） = - x2 + 6x，

當(dāng)x = [72]時(shí)，y =? - [722] + 6 × [72] = [354]. 故填[354].

三、分類討論思想

分類討論思想可培養(yǎng)同學(xué)們思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性，有些問(wèn)題常常通過(guò)條件的多變性或結(jié)論的不確定性來(lái)進(jìn)行考查，如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解.

例3 （2022·沈陽(yáng)）如圖6，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，MF的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)G，EF交邊BC于點(diǎn)H. EN = 2，AB = 4，當(dāng)點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)時(shí)，MD的長(zhǎng)為.

分析：根據(jù)點(diǎn)H為GN的三等分點(diǎn)，分兩種情況分別討論，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠GMN = ∠MNG，得到MG = NG，再證明△FGH∽△ENH，求出FG的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P，如圖7，則PG = AB = 4，設(shè)MD = MF = x，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可.

解：當(dāng)HN = [13]GN時(shí)，GH = 2HN，

由題易得△FGH∽△ENH，∴[FGEN] = [GHHN] = 2，

∴FG = 2EN = 4，

如圖7，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AD于點(diǎn)P，則PG = AB = 4，

設(shè)MD = MF = x，則MG = GN = x + 4，

∴CG = x + 6，∴PM = 6，

∵GP2 + PM2 = MG2，∴MD = 2[13] - 4；

當(dāng)GH = [13]GN時(shí)，HN = 2GH，同理可得MD = 4.

故填2[13] - 4或4.

（作者單位：沈陽(yáng)市渾南區(qū)第五初級(jí)中學(xué)）